第4章時變電磁場本章內容4.1

波動方程4.2電磁場的位函數4.3電磁能量守恒定律4.4惟一性定理4.5時諧電磁場4.1波動方程在無源空間中，設媒質是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質，則有無源區的波動方程波動方程——二階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性。

麥克斯韋方程——

一階矢量微分方程組，描述電場與磁場間的相互作用關系。

麥克斯韋方程組波動方程。

問題的提出電磁波動方程同理可得

推證4.2電磁場的位函數

討論內容位函數的性質位函數的定義位函數的規范條件位函數的微分方程引入位函數來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。

引入位函數的意義

位函數的定義

位函數的不確定性滿足下列變換關系的兩組位函數和能描述同一個電磁場問題。即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數來描述。不同位函數之間的上述變換稱為規范變換。

原因：未規定的散度。為任意可微函數除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即

位函數的規范條件造成位函數的不確定性的原因就是沒有規定的散度。利用位函數的不確定性，可通過規定的散度使位函數滿足的方程得以簡化。

位函數的微分方程同樣說明應用洛侖茲條件的特點：①位函數滿足的方程在形式上是對稱的，且比較簡單，易求解；②解的物理意義非常清楚，明確地反映出電磁場具有有限的傳遞速度；③矢量位只決定于J，標量位只決定于ρ，這對求解方程特別有利。只需解出A，無需解出就可得到待求的電場和磁場。電磁位函數只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數，應用不同的規范條件，矢量位A和標量位的解也不相同，但最終得到的電磁場矢量是相同的。達朗貝爾方程4.3電磁能量守恒定律

討論內容

坡印廷定理

電磁能量及守恒關系

坡印廷矢量進入體積V的能量＝體積V內增加的能量＋體積V內損耗的能量電場能量密度：磁場能量密度：電磁能量密度：空間區域V中的電磁能量：

特點：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動。

電磁能量守恒關系：電磁能量及守恒關系其中：——單位時間內體積V中所增加的電磁能量。——

單位時間內電場對體積V中的電流所做的功；在導電媒質中，即為體積V內總的損耗功率。——

通過曲面S進入體積V的電磁功率。表征電磁能量守恒關系的定理積分形式：坡印廷定理微分形式：在線性和各向同性的媒質中，當參數都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到由

推證即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式物理意義：單位時間內，通過曲面S進入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向——電磁能量傳輸的方向的大小——通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）4.4惟一性定理

在以閉曲面S為邊界的有界區域V內，如果給定t＝0時刻的電場強度和磁場強度的初始值，并且在t

0時，給定邊界面S上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在t>0時，區域V內的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。

惟一性定理的表述在分析有界區域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。

惟一性問題

惟一性定理的證明

利用反證法對惟一性定理給予證明。假設區域內的解不是惟一的，那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。則在區域V內和的初始值為零；在邊界面S上電場強度的切向分量為零或磁場強度的切向分量為零，且和滿足麥克斯韋方程令根據坡印廷定理，應有所以由于場的初始值為零，將上式兩邊對t積分，可得根據和的邊界條件，上式左端的被積函數為上式中兩項積分的被積函數均為非負的，要使得積分為零，必有（證畢）即惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場問題的求解提供了理論依據，具有非常重要的意義和廣泛的應用。

4.5時諧電磁場

復矢量的麥克斯韋方程

時諧電磁場的復數表示

復電容率和復磁導率

時諧場的位函數

亥姆霍茲方程

平均能流密度矢量時諧電磁場的概念如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。

研究時諧電磁場具有重要意義在工程上，應用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信的載波等都是時諧電磁場。

任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。4.5.1時諧電磁場的復數表示時諧電磁場可用復數方法來表示，使得大多數時諧電磁場問題的分析得以簡化。

設是一個以角頻率隨時間t作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關系可以表示成其中時間因子空間相位因子利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標有關的相位因子。實數表示法或瞬時表示法復數表示法復振幅時諧電磁場的復數表示復數式只是數學表示方式，不代表真實的場。照此法，矢量場的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，電場強度為

有關復數表示的進一步說明復矢量真實場是復數式的實部，即瞬時表達式。由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有關的部分就可表示復矢量。例4.5.1

將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數形式（2）解：（1）由于（1）所以（2）因為故所以

例4.5.2

已知電場強度復矢量解其中kz和Exm為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量以電場旋度方程為例，代入相應場量的矢量，可得將、與交換次序，得上式對任意t均成立。4.5.2復矢量的麥克斯韋方程從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關系，轉換為復矢量之間關系。因此得到復矢量的麥克斯韋方程

—略去“.”和下標m例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中

解：（1）因為故電場的復矢量為試求：（1）電場的復矢量;（2）磁場的復矢量和瞬時值。（2）由復數形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復矢量磁場強度瞬時值實際的介質都存在損耗：

導電媒質——當電導率有限時，存在歐姆損耗。

電介質——受到極化時，存在電極化損耗。

磁介質——受到磁化時，存在磁化損耗。損耗的大小與媒質性質、隨時間變化的頻率有關。一些媒質的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。4.5.3復電容率和復磁導率

導電媒質的等效介電常數其中c=

－jσ/ω、稱為導電媒質的等效介電常數。

對于介電常數為、電導率為的導電媒質，有電介質的復介電常數同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質磁介質的復磁導率

對于存在電極化損耗的電介質，有，稱為復介電常數或復電容率。其虛部為大于零的數，表示電介質的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數。對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質，復介電常數為

對于磁性介質，復磁導率數為，其虛部為大于零的數，表示磁介質的磁化損耗。損耗角正切導電媒質導電性能的相對性電介質導電媒質磁介質——弱導電媒質和良絕緣體——一般導電媒質——良導體

工程上通常用損耗角正切來表示介質的損耗特性，其定義為復介電常數或復磁導率的虛部與實部之比，即有

導電媒質的導電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導電媒質具有不同的導電性能。理想介質4.5.4亥姆霍茲方程

在時諧時情況下，將、，即可得到復矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時矢量復矢量導電媒質中c=

－jσ/ω把導電媒質等效的看作一種介質，把傳導電流和位移電流用同一個等效的位移電流來代替，相應的等效介電常數為c，應用復介電常數，波動方程所對應的復矢量形式為引入c后與理想介質中的方程具有完全相同的形式4.5.5時諧場的位函數

在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以表示成復數形式。洛侖茲條件達朗貝爾方程瞬時矢量復矢量4.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量

二次式本身不能用復數形式表示，其中的場量必須是實數形式，不能將復數形式的場量直接代入。設某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方關系，這種關系式稱為二次式。

時諧場中二次式的表示方法則能流密度為如把電場強度和磁場強度用復數表示，即有先取實部，再代入使用二次式時需要注意的問題二次式只有實數的形式，沒有復數形式。場量是實數式時，直接代入二次式即可。場量是復數式時，應先取實部再代入，即“先取實后相乘”。如復數形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因子。二次式的時間平均值在時諧電磁場中，常常要關心二次式在一個時間周期T中的平均值，即平均能流密度矢量平均電場能量密度平均磁場能量密度在時諧電磁場中，二次式的時間平均值可以直接由復矢量計算，有則平均能流密度矢量為如果電場和磁場都用復數形式給出，即有時間平均值與時間無關例如某正弦電磁場的電場強度和磁場強度都用實數形式給出具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他時變電磁場；而只適用于時諧電磁場。

在中，和都是實數形式且是時間的函數，所以也是時間的函數，反映的是能流密度在某一個瞬時的取值；而中的和都是復矢量，與時間無關，所以也與時間無關，反映的是能流密度在一個時間周期內的平均取值。利用，可由計算，但不能直接由計算，也就是說

關于和的幾點說明

解：（1）由得（2）電場和磁場的瞬時值為例4.5.4

已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復矢量為，其中k和E0為常數。求：（1）磁場強度復矢量

；（2）瞬時坡印廷矢量

；（3）平均坡印廷矢量

。（3）平均坡印廷矢量為或直接積分，得瞬時坡印廷矢量為第四章小結一、電磁波動方程二、位函數洛倫茲條件達朗貝爾方程三、惟一性定理在以閉曲面S為邊界的有界區域V內，如果給定t＝