剪力彎矩彎曲正應力及強度條件彎曲切應力及強度條件彎曲剛度分析靜不定梁分析彎曲變形的計算第十二章彎曲變形彎曲內力彎曲強度彎曲變形1、齒輪傳動輪齒不均勻磨損，噪聲增大，產生振動；加速軸承磨損，降低使用壽命；若變形過大，使傳動失效。§12-1引言一、彎曲實例弊端：12122、繼電器中的簧片電磁力當變形足夠大時，可以有效接通電路；觸點當變形不夠大時，不能有效接通電路；簧片工程中，一方面要限制變形，另一方面要利用變形。xw撓曲軸m—mn—n（1）撓度

w

：橫截面形心在垂直于軸線方向的位移（2）轉角θ：橫截面繞中性軸的轉過的角度wθ符號規定：向上為正，向下為負。符號規定：逆時針為正，順時針為負。（3）軸向位移Δx：橫截面形心在軸線方向的位移，小變形情況下，略去不計。ΔXx（連續、光滑平坦的平面曲線）wz二、梁變形的表示方法θ(通常θ<1o=0.0175弧度)撓曲軸曲線性質：撓曲軸xwxw(x)oθ(x)θ(x)（2）撓曲軸上任一點的切線斜率等于梁上該截面的轉角值。（1）撓曲軸上任一點的縱坐標等于梁上該截面的撓度值；三、撓度和轉角之間的關系1、中性層曲率表示的彎曲變形公式(純彎曲變形公式，EI為抗彎剛度）2、數學中的曲率公式一、撓曲軸微分方程Mρoxwρ(x)M(x)§12-2梁變形基本方程3、撓曲軸微分方程4、撓曲軸近似微分方程弧度（1）在小變形條件下，oxwM>0M<0（2）正負號確定：M與w″保持同號（1）線彈性范圍（2）小變形條件（3）平面彎曲適用條件：二、積分法計算梁的變形C、D為積分常數，它由位移邊界與連續條件確定。邊界條件：(2)鉸支座：ABCAB（1）固定端約束：連續條件：C例1：懸臂梁AB，彎曲剛度EI為常數，受力F和力偶M=FL作用，求w(x)，θ(x)；并計算B截面的撓度和轉角值。解：1、建立撓曲軸微分方程并積分A端約束反力FAy=F梁的彎矩方程：LBMAFFAyx撓曲軸近似微分方程：xw2、確定積分常數A端為固定端約束，x=0,w=0x=0,θ=0C=0,D=03、撓度方程、轉角方程及B截面的轉角將x=L代入轉角方程：LBMAFFAyxwx例2：由積分法求圖示梁的wA、A。解：1)坐標系如圖；AC段：則近似微分方程為：積分可得：xwxxFaaaFEICAB2)分兩段進行分析：BC段：

積分可得：則近似微分方程為：利用約束和連續條件確定C1、D1、C2、D2四個常數：時，約束條件：連續條件：處，由此可得：即：

由此可得：最后可得：（向下）（逆時針）(2)由約束和連續條件求積分常數；(1)兩段：四個常數，每增加一段，就增加兩個積分常數；小結：(3)坐標原點一律放在左邊，分段寫出M(x)；(4)注意x的范圍。§12-3計算梁位移的疊加法由于：1）小變形，軸向位移可忽略；簡單載荷下梁的撓度和轉角見附錄E。因此，梁的撓度和轉角與載荷成線性關系，可用疊加原理求復雜載荷作用下梁的撓度和轉角。2）線彈性范圍工作。例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁自由端B截面的撓度和轉角。解：原荷載可看成為圖a和b兩種荷載的疊加，對應的變形和相關量如圖所示。FlllEIFABCDqB1FqC1wC1wC1qC12l直線wB1(a)qD1qB2wD1·FqD1BD直線wD1wB2(b)對圖a，可得C截面的撓度和轉角為：由位移關系可得此時B截面的撓度和轉角為：（向下）（順時針）qB1FqC1wC1wC1qC12l直線wB1(a)對圖b，可得D截面的撓度和轉角為：同理可得此時B截面的撓度和轉角為：（向下）（順時針）qD1qB2wD1·FqD1BD直線wD1wB2(b)

將相應的位移進行疊加，即得：（向下）（順時針）例：由疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的外伸梁C截面的撓度和轉角以及D截面的撓度。解：可將外伸梁看成是圖a和b所示的簡支梁和懸臂梁的疊加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）對圖a，其又可看成為圖c和d所示荷載的組合。+AF=qa(c)qa2/2(d)圖c中D截面的撓度和B截面的轉角為：圖d中D截面的撓度和B截面的轉角為：將相應的位移進行疊加，即得：（向下）（順時針）（2）對圖b，C截面的撓度和轉角分別為：

所以：原外伸梁C端的撓度和轉角也可按疊加原理求得，即：（向下）（順時針）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqB×awCq§12-4梁的剛度條件提高梁的剛度的措施1、梁的剛度校核

保證梁的正常工作除要滿足強度條件外，產生的變形也不能太大，應滿足剛度條件，即有：與為許可值，可查設計手冊。其中，例：圖示空心圓截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E=200GPa，C點撓度不得大于AB跨長的10-4，B截面轉角不得大于10-3rad，校核剛度。解：首先可利用圖a由疊加原理求wC和B。

200200100ADBCF2=1kNF1=2kNDd

(a)AF2CF1BlF1

×BD圖a可看成由圖b和c的疊加而得，圖b和c分別有：wC1qB1wC2qB2ABF2(b)ACBM(c)疊加可得：因為：所以：剛度滿足。則：2、提高剛度措施除外加載荷外，梁的位移w、還與梁的彎曲剛度EI成反比，與跨長l的n次方成正比，因此，提高剛度的措施有：1）升高EI。各種鋼材E相差不大，主要提高I，在截面面積A不變時，盡可能使面積分布遠離中性軸。如工字形、箱形等截面。2）合理安排約束與加載方式增加約束，制作成靜不定梁超靜定梁:BACB§12-5簡單靜不定梁靜不定度與多余約束多余約束多于維持平衡所必須的約束多余反力與多余約束相應的支反力或支力偶矩靜不定度＝支反力（力偶）數－有效平衡方程數靜不定度＝多余約束數5-3=2度靜不定6-3

=

3度靜不定相當系統：受力與原靜不定梁相同的靜定梁相當系統的選擇不是唯一的相當系統1相當系統2相當系統qABABRBqABq小結：分析方法與分析步驟

步驟：

1、判斷靜不定度（確定多余約束數）；2、選取與解除多余約束，建立相當系統；3、列出多余約束處的變形協調條件；4、結合平衡方程，求多余支反力。方法：選取與解除多余約束，代之以支反力；分析相當系統，使多余約束點處滿足位移邊界或連續條件F

相當系統選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種列補充方程：qFBABFAAMqABlqABBqwAFBwBF

可分別求出（也可查表）梁在均布載荷和集中力作用下的撓度為

補充方程變為

解得

也可以取支座A處阻止梁端面轉動的約束作為“多余”約束，解除后可得相當系統

根據原超靜定梁端面A的轉角應等于零的變形相容條件，可由變形協調條件建立補充方程來求解。

可從右向左作出剪力圖和彎矩圖

Fs圖M圖MAABql例：求支反力1.

靜不定度：6-3=32.選取相當系統：