第四章異方差問題【學習目標】1．知識目標：異方差的概念、產生原因與后果；異方差的各種檢驗方式；修正異方差的方法與應用

2．能力目標：對比GQ檢驗、White檢驗、Glejser檢驗等方法；掌握加權最小二乘法中權重的選擇；掌握Eviews軟件操作方法，能應用Eviews軟件解決異方差分析。【情景寫實】我們容易發現，收入越高的家庭，往往對食品選擇的范圍越大，消費者消費行為的隨意性更大，消費者個體之間的食品支出額的差異也越大；收入較低的家庭受收入水平的限制，消費者消費行為隨意性較小，消費者個體之間的食品支出額的差異也越小。通常在分析人均年收入對人均年食品支出額的影響時會假定不同收入階層的食品支出額的差異性是相同的因為應用普通最小二乘法估計多元線性回歸模型的參數時，有一個重要的假定Var(i)=2，即隨機誤差項i具有相同的方差。顯然從實際情況來看，隨著收入水平的提高，消費者個之間的消費行為的隨機誤差項i的方差會越來越大，那么隨機誤差項i滿足同方差的假定不成立，即存在所謂的異方差問題。第一節異方差問題概述一、異方差的概念多元線性回歸模型中，如果有此時，我們認為該模型存在異方差問題。即【相關鏈接】4-1現實中的異方差問題下表列出了某年我國制造工業銷售收入與銷售利潤的統計資料（單位：萬元）行業名稱銷售利潤（Y）銷售收入(X)行業名稱銷售利潤(Y)銷售收入(X)食品加工業187.253180.44醫藥制造業238.711264.1食品制造業111.421119.88化學纖維制品81.57779.46飲料制造業205.421489.89橡膠制品業77.84692.08煙草加工業183.871328.59塑料制品業144.341345紡織業316.793862.9非金屬礦制品339.262866.14服裝制品業157.71779.1黑色金屬冶煉367.473868.28皮革羽絨制品81.71081.77有色金屬冶煉144.291535.16木材加工業35.67443.74金屬制品業201.421948.12家具制造業31.06226.78普通機械制造354.692351.68造紙及紙品業134.41124.94專用設備制造238.161714.73印刷業90.12499.83交通運輸設備511.944011.53文教體育用品54.4504.44電子機械制造409.833286.15石油加工業194.452363.8電子通訊設備508.154499.19化學原料紙品502.614195.22儀器儀表設備72.46663.68以銷售收入為橫坐標，銷售利潤為縱坐標，將各制造工業數據描入二維坐標，得到圖4-1。圖4-1我國制造工業銷售收入與銷售利潤散點圖從圖4-1中可以看出，隨著工業銷售收入的增加，銷售利潤的平均水平不斷提高，同時離散程度也逐步擴大，Var(μi)與Xi成正比，即常數，說明我國制造工業銷售收入與銷售利潤之間存在嚴重的異方差問題。二、異方差類型異方差通常有三種主要類型：1．遞增型，即Var(μi)隨的增大而增大（如圖4-2）例如，以截面數據研究消費與收入之間的聯系：。高收入消費主體的消費呈現出較大的隨意性，低收入者的消費受收入約束而具有較小的隨意性，其消費變動是很小的。體現在模型中μi的方差隨的增大而增大。2．遞減型，即Var(μi)隨的增大而減小（如圖4-3）例如，研究印刷工人的錯誤密度（Y）與從事工作時間(T)的關系。人們不斷學習，其知識積累將與日俱增，而行動中犯錯誤的密度隨時間增加而減少。印刷工人從事印刷工作的時間越長，錯誤密度越小，而且錯誤密度的隨機漲落也越小。體現在模型中便是的方差隨的增大而減小。如圖4.5所示。3．復雜型，即Var(μi)隨的變化呈現復雜形式（如圖4-4）例如，以某一行業的企業為樣本建立企業生產函數模型，產出為被解釋變量，資本、勞動、技術等投入要素為解釋變量，那么每個企業所處的外部環境對產出的影響則包含在隨機誤差項中。由于每個企業所處的外部環境對產出的影響程度不同，造成了隨機誤差項的異方差性。這時，隨機誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規律性變化，為復雜型的一種。如圖4.6所示。三、異方差產生的原因1．略去了某些重要解釋變量模型遺漏了重要解釋變量，那么這些變量的影響將歸入隨機誤差項中，如果這些解釋變量的變化具有異方差性，這種情況下隨機誤差項會表現出和那些被遺漏的解釋變量相同的變化趨勢，從而呈現異方差性。【相關鏈接】服裝需求模型的建立研究人們的服裝需求模型：以服裝需求量為被解釋變量，收入I、服裝價格P和其他商品價格為解釋變量，于是有：在該模型中，氣候因素的影響并沒有作為解釋變量，其影響則包含在隨機誤差項中，而對于不同收入的消費者，氣候變化帶來的對服裝需求量的影響是不同的。高收入者資金比較充足，氣候變化時可以拿出來較多的錢購買服裝以適應氣候的變化，不同人的偏差可以較大，而低收入者的購買能力則很有限，偏差較小。于是不同收入的消費者的服裝需求量偏離的均值的程度是不同的，也就是說不同收入的消費者的服裝需求量具有不同的方差，這就產生了異方差。2.模型設定錯誤引起的異方差很多情況下，解釋變量與被解釋變量之間的關系比較復雜的非線性關系。如果在構造模型時用線性模型表達工資收入的關系。理論上認為，隨著年齡的增長，工作經驗積累，工資慢慢增加，達到頂峰后又慢慢減少，整體工資隨年齡呈現倒“U”型，因此正確設定的模型為非線性關系，或者用簡單的非線性模型表達復雜的非線性關系，就會造成函數形式的設定誤差，進而出現異方差。模型來研究年齡和，理論上認為，隨著年齡的增長，工作經驗積累，工資慢慢增加，達到頂峰后又慢慢減少，整體工資隨年齡呈現倒“U”型，因此正確設定的模型為建立工資收入的關系。分別表示工資收入和年齡。如果在設定模型時將模型錯誤的設定為此時隨機誤差項實際上包含了丟失變量，因此，

方差可能隨變量的變化而變化，出現異方差。3．經濟數據本身存在的異方差經濟數據本身的異方差是指當因變量數據樣本來自于不同類型的個體時，樣本方差的差異。例如上面所提到的消費之間的模型：

消費規律是不一樣的。高收入消費主體的消費呈現出較大的隨意性，低收入者的消費受收入約束而具有較小的隨意性，如靠最低生活保障收入維持生計的消費者，其消費變動是很小的。體現在模型中便是誤差項的異方差。對于不同收入層次的家庭其4．測量誤差一方面，測量誤差常常隨著時間逐漸積累，所以擾動項的方差，趨向于隨時間增加；另一方面，隨著抽樣技術和其他數據采集技術的不斷改進，測量誤差以及擾動項的方差也可能隨時間減少。例如相對于沒有精確數據處理裝備的銀行，有這種裝備的銀行在每月或每季的賬戶收支說明書中會出現更少的差錯。當然，這兩種情況最容易出現在時間序列數據中，故由于測量誤差的影響，時間序列數據建立的模型的項也容易出現異方差。四、異方差的后果1．參數估計值仍是無偏的，但不再具有最小方差性

（4-3）由上式（4-3）可以看出，只要模型滿足誤差項零從OLS估計值的最小方差性證明可以看出，參數估計值具有最小方差性的前提之一就是隨機誤差的同方差性，如果存在異方差，將不能保證OLS估計值的方差最小

均值和解釋變量的非隨機性，異方差的存在并不影響估計值的無偏性。。2．參數顯著性檢驗失效在變量的顯著性檢驗中，構造了t統計量：

如果存在異方差，OLS估計式不再具有最小方差，如果從而增大了t統計值，使拒絕原假設的可能性增加，因而t檢驗失去意義。F檢驗也是如此。在這種情況下，建立在t分布和F分布之上的參數置信區間和顯著性檢驗也是不可靠的。仍然用不存在異方差時的OLS方式估計其方差，將會低估，3．模型的預測失效由于隨機誤差項樣本觀測值的變化而變化，將導致預測區間變大或者變小，預測功能失效。的異方差性，參數估計量的方差隨著第二節異方差問題的檢驗

異方差性，即相對于不同的樣本點，也就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差，那么檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關性。各種檢驗方法就是在這個思路下發展起來的。問題在于用什么來表示隨機誤差項的方差。一般的處理方法是首先采用普通最小二乘法估計模型，以求得隨機誤差項的估計量，用ei表示。于是有一、圖形檢驗法由于異方差指隨機擾動項的方差隨著解釋變量的變化而變化，因此異方差反映在散點圖上，就是殘差平方隨解釋變量Xi的變化而改變。圖4.7列出四種不同的散點圖。其中圖4.7a表示沒有異方差性，圖4.7b,4.7c,4.7d表示有異方差性，分別為遞增型、遞減型、復雜型。圖4.7a同方差圖4.7b遞增型異方差圖示檢驗法只能進行大概的判斷，其它檢驗方法則更為準確。【相關鏈接】異方差的圖形檢驗法【相關鏈接】GQ檢驗方法Eviews6.0軟件操作步驟（數據見表4.2）：第一步：首先將變量按從小到大進行排序。在Procs菜單里選SortCurrentPage命令，出現排序對話框，如果以遞增型排序，選Ascenging，如果以遞減型排序，則應選Descending，鍵入X，點ok。本例選遞增型排序，這時變量Y與X將以X按遞增型排序。如圖4.9.3，4.9.4。第二步：構造子樣本區間，建立回歸模型。在本例中，樣本容量n=31，刪除中間1/4的觀測值，即大約7個觀測值，余下部分平分得兩個樣本區間：1—12和20—31，它們的樣本個數均是12個，即。對后12個樣本進行回歸。在Sample菜單里,將區間定義為20—31，再用OLS方法求得如下結果，見圖4.9.10圖4.10.3white檢驗結果從圖4.10.3white檢驗結果可以看出此外在下，查分布表,得臨界值比較計算的統計量與臨界值，因為＞，所以拒絕原假設，接受備擇假設，表明。模型存在異方差。四、Glejser檢驗

Glejser檢驗由H.Glejser于1969年提出。檢驗原回歸式的殘差的絕對值若有，則說明存在異方差；若無，則說明不存在異方差。通常應檢驗的幾種形式：

是否與解釋變量xi存在函數關系。如果哪一種形式通過了顯著性檢驗，則說明存在該種形式的異方差。該檢驗要求變量的觀測值為大樣本。第三節異方差性的修正經檢驗如果發現模型中存在異方差，就要對模型進行適當的處理，因為異方差雖然不影響OLS估計的線性性和無偏性，但是它不再具有最小方差性，從而t檢驗不可靠，預測精度下降。因此，必須采取相應的修正補救方法以克服異方差的不利影響，下面介紹最常用的加權最小二乘法和對數變換法。一、加權最小二乘法

在該模型中，存在

。即滿足同方差性。于是可以用普通最小二乘法估計其參數，得到關于參數的無偏的、有效的估計量。這就是加權最小二乘法，在這里權數就是底下我們以一元模型為例，給出幾種常見的f(x)形式，看模型異方差的具體修正過程。【相關鏈接】異方差性的修正由上面的各種異方差檢驗結果可知，表4.2農業種植面積（X）對農業總產值（Y）的影響模型存在異方差，接下來將結合Eviews6.0軟件操作說明如何用加權最小二乘法修正異方差。在實際Eviews操作中，我們選用三個常用的權數在EquationEstimation窗口中輸入YCX,然后選擇Options選項卡。在WeightedLS/TSLS前復選框上打勾，依此輸入，可得3個回歸結果。圖4.11.1回歸窗口

圖4.11.2權重選項框經估計檢驗發現用權數模型的擬合優度最高，模型回歸效果最好。下面僅給出用權數的結果。對加權最小二乘法處理后的模型殘差項進行異方差檢驗，即在圖4.11.3的回歸窗口。例如選擇White檢驗，檢驗結果如圖4.11.5所示。由圖4.11.5可知<，所以接受原假設，模型不存在異方差，經過加權后，模型消除了異方差。圖4.11.5White檢驗結果從圖4.11.4