第二章流體靜力學

運動是絕對的，靜止是相對的。流體靜止，就是流體相對于地球這個慣性坐標系是靜止的。因此流體靜力學研究流體處于相對靜止或相對平衡狀態的特性，即研究流體平衡的規律。由于處在相對靜止狀態的流體流層之間沒有相對運動，因而粘性作用反映不出，故流體靜力學所討論的內容，不論對理想流體，還是實際流體都是適用的。第二章流體靜力學§2.1流體靜壓強及其特性§2.2流體平衡微分方程式§2.3流體靜力學基本方程式§2.4液柱式測壓計§2.1流體靜壓強及其特性

當流體處于靜止或相對靜止時，作用在流體上的力只有法向應力，切向應力為零。此時作用在流體上的法向應力，或流體壓強稱為流體靜壓強。即流體靜壓強有兩個重要特性。特性一：流體靜壓強方向沿作用面的內法線方向。∵流體受任何微小剪切力作用都要連續變形，流體靜止，沒有剪切力；流體受任何拉力作用也將產生流動，流體靜止，沒有拉力。∴靜止狀態，沒有剪切力，沒有拉力，只有沿作用面內法線方向的壓強作用。∴靜止流體對容器的靜壓強恒垂直于器壁。(器壁對流體的壓強沿器壁的內法線方向)

特性二：靜止流體中任一點的流體靜壓強與其作用面在空間的方位無關，只是該點坐標的函數。證：取微元四面體ABCD各面上的表面力px×1/2dydz，py×1/2dxdz，pz×1/2dxdy，pn×△BCD四面體質量力沿坐標軸的分力：fxρ×1/6dxdydz，fyρ×1/6dxdydz，fzρ×1/6dxdydz，微元四面體在這些表面力和質量力作用下處于平衡狀態，故諸力在三坐標方向投影的代數和為零。

考慮X方向:px×1/2dydz-pn×△BCD×cos(pn^x)+fxρ×1/6dxdydz=0△BCD×cos(pn^x)是△BCD在Ayz平面上的投影面積,就等于1/2dydz，所以:(px-pn)×1/2dydz+fxρ×1/6dxdydz=0,

或px-pn+1/3fxρdx=0

當微元體以A點為極限，

dx，dy，dz趨近于零時，上式成為：px=pn同理可證：py=pn

,pz=pn∴px=py=pz=pn

因此，靜止流體中任一點的流體靜壓強與其作用面在空間的方位無關。但空間不同點的靜壓強則可以是不一樣的，即流體靜壓強是空間點的坐標的函數,

p=f(x,y,z).§2.2流體平衡微分方程式一.流體平衡微分方程式

微元平行六面體dxdydz，中心點a，a點壓強為p，p=f(x,y,z)，平均密度為ρ，單位質量流體質量力的分力fx,fy,fz

。∵微元六面體處于平衡狀態,各個方向所受質量力與表面力的合力為零。對X方向：即同理可得沿y軸和z軸的平衡方程各式除以六面體的質量ρdxdydz得，寫成矢量形式或這就是流體的平衡微分方程式。它是Eular在1755年首先提出的。故又稱Eular平衡方程式。由于流體靜壓強是坐標點的函數，它的全微分為：將

代入得：§2.3流體靜力學基本方程式一.重力場中的流體靜力學基本方程式

作用在流體上的質量力與流體所受力場的作用有關，若流體僅受重力場的作用，則作用在流體上的質量力僅為重力，自然界或工程實際中經常遇到的是此類情況。

如圖，坐標系的x,y軸水平，z軸垂直向上，單位質量的質量力沿坐標軸的分力fx=0,fy=0,fz=-g代入：得：dp=-ρgdz或設流體不可壓縮,ρ等于常數，則積分上式得：式中C為積分常數，由邊界條件確定。

將上式應用于右圖中的1，2兩點，得：

上面兩式稱為流體靜力學的基本方程式。它適用于平衡狀態下的不可壓縮重力流體。對于可壓縮流體是不適用的。二、流體靜力學基本方程式的意義1．位置水頭（位勢能）流體靜力學基本方程式:式中gz代表單位質量流體的位勢能（物理書上物體的勢能為mgh，單位質量的勢能為gh，與gz相當），z又是流體質點（微團）距離某基準面的高度，所以gz又稱為位置高度或位置水頭。

2．壓強水頭（壓強勢能）

第二項代表單位質量流體的壓強勢能,如圖所示,當把已被抽成完全真空的閉口測壓管bc連接到容器上具有壓強p的a點時,容器內的液體將在壓強p和完全真空之間的壓差作用下在測壓管中上升一定的高度。可見，在液柱上升過程中，壓差克服重力作了功，從而增加了液柱的位勢能。也稱為壓強高度，它可通過將流體靜力學方程式應用于圖中a，b二點得到：即單位質量流體的壓強勢能與一段液柱高度相當,故又稱它為壓強高度或壓強水頭。3．靜水頭（總勢能）位置水頭+壓強水頭=靜水頭位勢能+壓強勢能=總勢能∴流體靜力學基本方程式的意義：在靜止的不可壓縮重力流體中，任意點的單位質量流體的總勢能保持不變。即：它們的靜水頭的連線為平行于基準的水平線。稱靜水頭線。

閉口測壓管（抽真空）與開口測壓管（接大氣）之間相差一個與大氣壓強相當的液柱高度。用開口測壓管測得的靜水頭又稱為計示靜水頭。靜水頭線A′A′又稱為計示靜水頭線。4．流體內任一點的靜壓強

由流體靜力學基本方程式得：

淹深為h液面上∴流體內任一點的靜壓強由兩部分組成：一部分是來自表面上的壓強p0，另一部分是深度為h，密度為ρ的液柱所產生的壓強ρgh。深度相等的諸點壓強都相等，這便是等壓面。∴在重力作用下，流體的等壓面為水平面，自由表面就是一個等壓面。5．帕斯卡原理

自由表面壓強p0有任何變化，都會引起流體內所有流體質點壓強的同樣變化。對于這種壓強在流體中傳遞的現象，法國人帕斯卡歸納為帕斯卡原理：施加在不可壓縮重力流體表面上的壓強將以同一數量沿各方向傳遞至流體中的所有流體質點。水壓機、液壓傳動裝置的設計都是以此原理為基礎的。§2.4液柱式測壓計一.絕對壓強，相對壓強，真空

與大氣交界的液面上的壓強就是大氣壓，即p0=pa∴p=pa+ρghp-pa=ρgh=pe式中的p稱為流體的絕對靜壓強,是以完全真空為基準計量的壓強。簡稱為絕對壓強。式中的pe代表絕對靜壓強與大氣壓強之差，稱為流體的相對壓強（或計示壓強），它是以大氣壓強為基準計量的壓強。

當流體的絕對靜壓強低于大氣壓強，即相對壓強pe為負值，便說它處于真空狀態，負的相對壓強——真空，用pv表示：pv=pa–p當流體的絕對壓強為零時，達到完全真空。這在實際中很難辦到，特別是當容量中盛有液體時，只要壓強降低到液體的飽和蒸汽壓，液體便要汽化，壓強就不會再下降。流體壓強的計量單位主要用SI制中的帕斯卡。如表2-1示。

絕對壓強，大氣壓強，相對壓強，真空的相互關系示于右圖。物理學中一般用絕對壓強去計量壓強。工程技術中大都用相對壓強去計量壓強。這是由于工程技術中用以測量壓強的儀表，都與大氣相通，（如U形管測壓計），因而實際測量的就是絕對壓強與大氣壓強之差。二、液柱式測壓計1．U形管測壓計如圖所示，在圖中取1，2兩點，由于1,2兩點在同一水平面，即同一等壓面上,故:p1=p2p1=p+ρ1gh1p2=pa+ρ2gh2解得：p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1其相對壓強為：Pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1對圖b，p<pa，是真空的情況p+ρ1gh1+ρ2gh2=papv=pa-p=ρ2gh2+ρ1gh1當被測流體是氣體時，氣體的ρ1很小，ρ1gh1這一項可忽略不計。

例1.如圖，有一直徑d=12cm的圓柱體，其重量W=520N，在力F=588N的作用下，當淹深h=0.5m處于靜止狀態，求測壓管中水柱的高度H。解：圓柱體底面上各點上所受的壓強：pe=ρg（H+h）H=pe/(ρg)-h=10-0.5=9.5m

例2．如圖所示的測壓裝置，假設容器A中水面上的相對壓強pe=2.45×104N/m2,h=500mm，h1=200mm，h2=100mm，h3=300mm,水的密度ρ1=1000kg/m3,乙醇的密度ρ2=800kg/m3，水銀的密度ρ3=13612kg/m3，試求B容器中空氣的相對壓強p。解：標出如圖所示的1,2，3，4四個交界面.1點的相對壓強為：p1=pe+ρ1g(h+h1)2點的相對壓強為：p2=p1-ρ3gh1=pe+ρ1g

(h+h1)-ρ3gh13點的相對壓強為：p3=p2+ρ2g