5/5§6.3.4平面向量數乘運算的坐標表示一、內容和內容解析內容：平面向量數乘運算的坐標表示．內容解析：本節是高中數學人教A版必修2第六章第3節第四課時的內容．前面已經找出兩個向量共線的條件，本節則進一步地把向量共線的條件轉化為坐標表示，只要將向量用坐標表示出來，再運用向量相等的條件就可以得出平面向量共線的坐標表示.掌握兩個向量數乘的坐標運算法則，培養學生數學運算的核心素養；能根據平面向量的坐標，判斷向量是否共線，培養學生邏輯推理的核心素養.二、目標和目標解析目標：（1）掌握向量數乘運算的坐標表示.（2）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線．目標解析：（1）利用平面向量正交分解將向量用基底表示，利用分配律，推導出向量數乘運算的坐標表示．（2）三點共線問題和定比分點問題都可以轉化為向量平行問題，利用共線向量基本定理推導得出結論.（3）數學核心素養是數學教學的重要目標，但數學核心素養需要在每一堂課中尋找機會去落實．在平面向量數乘運算的坐標表示的教學中，從已知向量的坐標推導向量數乘運算的坐標是進行數學推理教學的很好機會．基于上述分析，本節課的教學重點定為：向量數乘運算的坐標表示，根據向量的坐標，判斷向量是否共線．三、教學問題診斷分析1．教學問題一：研究向量數乘運算的坐標表示是本節課的第一個教學問題．解決方案：利用正交分解表示向量，結合平面向量的坐標表示推理出結論．2.教學問題二：研究三點共線和定比分點問題是本節課的第二個教學問題．解決方案：將三點共線轉為兩個向量平行，利用共線向量基本定理，結合平面向量基本定理推導出結論．基于上述情況，本節課的教學難點定為：向量的坐標表示的理解及運算的準確性．四、教學策略分析本節課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示．為了讓學生通過觀察、歸納得到平面向量數乘運算的坐標表示，應該為學生創造積極探究的平臺．因此，在教學過程中以問題串的形式引導學生探究，可以讓學生從被動學習狀態轉到主動學習狀態中來．在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點的目的．在教學過程中，重視平面向量數乘運算的坐標表示，讓學生體會數學推理的基本過程．因此，本節課的教學是實施數學具體內容的教學與核心素養教學有機結合的嘗試．五、教學過程與設計教學環節問題或任務師生活動設計意圖創設情境生成問題貝貝和晶晶同做一道數學題：“一人從A地到E地，依次經過B地、C地、D地，且相鄰兩地之間的距離均為502km.問從A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：貝貝：502＋502＋502＋502＝1004＋502＋502＝1506＋502＝2008(km).晶晶：502×4＝2008(km).可以看出，晶晶的計算較簡捷，乘法是加法的簡便運算，構建了乘法運算體系后，給一類問題的解決帶來了很大的方便.用實際問題引入，激發學生學習的積極性.探索交流，解決問題[問題1]當a∥b時，a，b的坐標成比例嗎？[問題2]如果兩個非零向量共線，你能通過其坐標判斷它們是同向還是反向嗎？[問題3]已知a＝(x，y)，你能得出2a、3a的坐標嗎？【練習】已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a－b＝________.[問題4]如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根據共線向量定理，a與b共線時，存在唯一實數λ，使a＝λb，那么根據向量數乘運算的坐標表示，你能發現a與b的坐標之間的關系嗎？[問題5]如圖，線段P1P2的端點P1，P2的坐標分別為，點P是直線P1P2上的一點，當時，點P的坐標是什么？教師1：提出問題1．學生1：學生思考．橫、縱坐標均不為0時成比例.教師2：提出問題2．學生2：能.將b寫成λa形式，λ>0時，b與a同向，λ<0時，b與a反向.教師3：提出問題3．學生3：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x,2y)；3a＝2a＋a＝(2x,2y)＋(x，y)＝(3x,3y)．教師4：平面向量數乘運算的坐標表示：已知a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)，即實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘以原來向量的相應坐標．教師5：完成練習學生4：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).教師6：提出問題4.學生5：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a與b共線，則x1y2＝x2y1.教師7：平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.教師8：中點坐標公式若P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點P的坐標為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點坐標公式.教師9：提出問題5.學生6：通過復習共線向量定理引入本節新課.建立知識間的聯系，提高學生概括、類比推理的能力.通過探究讓學生掌握向量的數乘的坐標表示，培養數學運算的核心素養.通過探究得出一般結論，通過學生解決問題的能力.典例分析鞏固落實1.向量數乘運算的坐標表示例1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，試求a＋3b,3a－2b＋eq\f(1,2)c.2.平面向量共線的坐標運算例2.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？3.向量共線的判定及解決點共線問題例3.如果向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝i－2j，eq\o(BC,\s\up6(→))＝i＋mj，其中i，j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數m的值，使A，B，C三點共線．[課堂練習]1.已知，求的坐標.2.已知，且，求.教師10：完成例1．學生7：因為a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，所以a＋3b＝(1,2)＋3(3，－4)＝(1,2)＋(9，－12)＝(10，－10)，3a－2b＋eq\f(1,2)c＝3(1,2)－2(3，－4)＋eq\f(1,2)(－2,6)＝(3,6)－(6，－8)＋(－1,3)＝(－4,17)．教師11：完成例2學生8：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)．得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq\f(1,3).當k＝－eq\f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，∵λ＝－eq\f(1,3)<0，∴ka＋b與a－3b反向．學生9：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b與a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).故ka＋b與a－3b反向．教師12：完成例3學生10：∵A，B，C三點共線，即eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))共線，∴存在實數λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即i－2j＝λ(i＋mj)．于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λm＝－2，))∴m＝－2.故m＝－2時，A，B，C三點共線．教師13：布置課堂練習1、2．學生11：完成課堂練習，并核對答案．通過例1進一步掌握向量加法、減法、數乘向量的坐標運算，提高學生的觀察、概括能力.通過例2練習共線向量的坐標運算，提高學生解決問題的能力.通過例3練習共線向量的坐標運算，提高學生解決問題的能力.課堂小結升華認知[問題6]通過這節課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數學思想？[課后練習]1．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，則3a－2b的坐標是()A．(5，3)B．(4，3)C．(8，3)D．(0，－1)2．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，則m＝()A．－9B．9C．3D．－33．與向量a＝(1，2)平行，且模等于eq\r(5)的向量為________．4．已知向