...wd......wd......wd...速算與巧算數學競賽中，都有一定數量的計算題。計算題一般可以分為兩類：一類是根基題，主要考察對根基知識理解和掌握的程度；另一類那么是綜合性較強和靈活性較大的題目，主要考察靈活、綜合運用知識的能力，一般分值在10分到20分之間。這就要求有扎實的根基知識和熟練的技巧。1.速算與巧算主要是運用定律：加法的交換律、結合律，減法的性質，乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律，除法的性質等。2.除法運算規律：(1)A÷B＝1÷(2)a÷b±c÷b＝(a±c)÷b3.拆項法：(1)(2)(3)(4)(5)(6)將分拆成兩個分數單位和的方法：先找出A的兩個約數a1和a2，然后分子、分母分別乘以(a1＋a2)，再拆分，最后進展約分。＝＝＝4.等差數列求和：(首項＋末項)×項數÷2＝和5.約分法簡算：將寫成分數形式的算式中的分子局部與分母局部同時除以它們的公有因數或公有因式。典例巧解例12007÷2007＝。點撥一被除數是2007，除數是一個帶分式，整數局部和分數局部的分子都是2007，我們可以把2007化為假分數，再把分子用兩個數相乘的形式表示，便于約分和計算。解2007÷2007＝2007÷＝2007÷＝2007×＝點撥二根據題目特點，如果利用“A÷B＝1÷〞，此題就可以防止先將帶分數化成假分數后，再相除的一般做法，而采用同數相除商為1的巧方法。解原式＝1÷，＝1÷1＝說明此題“巧〞在倒數概念的運用。例2(第五屆“希望杯〞邀請賽試題)＝。點撥此題分子可化簡去括號變成因數乘積的形式，再約分化簡，分母可通過湊整變形化簡，問題易解。解＝＝例3計算：。點撥初看題目，分子、分母都是一組有一定規律的數列，可以先分別求出和，再求它們的商，但事實上，求出和的結果是不易做到的。再仔細觀察分子、分母，可以發現對應項之間存在一定的規律：3÷1＝×＝2，5÷2＝×＝2，7÷3＝×＝2，…，55÷27＝×＝2，57÷28＝2。這說明分母的總和正好是分子總和的2倍，問題易解。解＝＝說明在計算55÷27時，如果不用常規的方法，先將帶分數轉化為假分數，而是利用題目中的數據，再經過轉化，逆向運用乘法分配律，就更簡便。如：被除數＝55×29＋27＝54×29＋(29＋27)＝2×(27×29)＋2×28＝2×(27×29＋28)，除數＝27×29＋28，仍然可以看出被除數正好是除數的2倍。例4計算：。點撥觀察題目可知，要求計算的繁分數的分子與分母都是較為復雜的分數數列，所以不妨分別計算繁分數的分子和分母，然后再計算最后結果。觀察繁分數的分子，雖然是一列分母從1開場的分數單位的數列，但分母是偶數的分數單位都是減數，所以，得運用一加一減的技巧來滿足等差數列求和的條件。解分子＝＝＝分母＝＝×()原式＝＝2例5計算：。點撥因為＝＝，＝＝…所以此題可以將每一項做適當變形后，用前面的方法使計算簡便。解＝＝2×()＝2×()＝2×(1－)＝1例6計算：＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋。點撥審題知＋＋＝2，＋＋＋＋＝3，…，＋＋…＋＋＋＝1989，即題的前半局部可變形為2＋3＋4＋…＋1989，應用等差數列求和公式求出。題的后半局部是同分母加法，而且分子是一個等差數列，應用等差數列求和公式，可求出分子相加的結果。解原式＝2＋3＋4＋…＋1989＋＝(2＋1989)×1988÷2＋1991÷2＝1979054＋995.5＝1980049.5例7計算：。點撥可利用拆項和乘法分配律分別將兩個加數變形。解第一個加數可變形為＝再應用乘法分配律把此式變形為＝＝1；第二個加數變形為＝分子、分母都分別含有一樣的數，變形為＝。原式＝1＋＝1。例8計算：。點撥可先通過試驗的方法找出規律。，，…解＝＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝＋－＝例9計算：(1＋＋＋)×(＋＋＋)－(1＋＋＋＋)×(＋＋)。點撥可以把1＋＋＋看成一個整體，暫時用字母A來表示這個整體，把＋＋也看成一個整體，用字母B來表示。那么A－B＝1。解令A＝1＋＋＋，B＝＋＋，那么A－B＝1。(1＋＋＋)×(＋＋＋)－(1＋＋＋＋)×(＋＋)＝A×(B＋)－(A＋)×B＝A×B＋A－A×B－×B＝(A－B)＝例10計算：。點撥根據＝×[－]，把所有的分數都拆成兩個分數之差，中間的分數就可以全部消去，原題可解。解＝×()＋×()＋×()＋…＋×()＝×()＝×()＝×()＝×＝例11計算：。點撥根據每個分數的特點，將所有的分數拆成兩個分數之差，化簡計算即可。解＝()×＋()×＋…＋()×＝×(＋＋…＋)＝×(－)＝×(－)＝×(－)＝×＝例12計算：1＋＋＋＋…＋。點撥可將原式設為S，那么計算起來簡便。解設S＝1＋＋＋＋…＋那么S＝＋＋＋＋…＋S－S＝(1＋＋＋＋…＋)－(＋＋＋＋…＋)，S＝1＋－＋－＋…＋－－S＝1－S＝(1－)×2＝2－＝2－＝1∴1＋＋＋＋…＋＝1例13計算：1＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋…＋10。點撥一認真觀察可以發現：1－1＝，1－1＝，1－1＝，…，10－9＝，由此可以看出，公差＝，項數n＝(an－a1)÷d＋1，所以n＝(10－1)÷＋1＝37，那么前37項的和，我們就可以根據公式：S＝求出和。解法一觀察發現，各個加數能組成公差＝的等差數列，項數n＝(10－1)÷＋1＝37，S＝＝＝203。點撥二如果此題我們從另一個角度觀察，把它們每4個數分為一組，那么有(1＋1＋1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(9＋9＋9＋9)＋10。觀察每組對應項的特點，我們很容易計算出結果。解法二1＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋…＋10＝(1＋1＋1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋10＝(1＋2＋3＋…＋9)×4＋(＋＋)×9＋10＝×4＋×9＋10＝180＋13＋10＝203例148.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整數局部是多少點撥此題并未要求這個式子的準確值，只要求其整數局部，所以只要大體估出這個式子的值在哪兩個相鄰整數之間就行了。如果n是整數而能得出n≤a＜n＋1，那么就能肯定a的整數局部是n。觀察這一組數據發現，這組數據與8×1.25＝10很接近，所以應從此著手進展分析。再仔細觀察，發現這個式子中每兩個相乘的數都有規律：8.01，8.02，8.03，都逐個增加0.01，而1.24，1.23，1.22，都逐個減少0.01，于是可知8＋1.25＝8.01＋1.24＝8.02＋1.23＝8.03＋1.22，即相乘兩數的和相等。兩數相加，當其中一個加數增大，另一個加數減小，但其和始終保持固定時，它們二者的積會怎么變化呢如果另取2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5比較，會發現2×8＝16，3×7＝21，4×6＝24，5×5＝25，即2×8＜3×7＜4×6＜5×5，就是當兩個數和固定而兩數相差越大時，這兩數的積越小。這是否是一般規律呢設a1＋b1＝a2＋b2＝k，而a1＞a2＞b2＞b1，這時a1與b1相差就比a2與b2的差大(a1－b1＞a2－b1＞a2－b2)。此時a2b2－a1b1＝a2(k－a2)－a1(k－a1)＝a2k－a22－a1k＋a12；＝a12－a22－(a1k－a2k)＝(a1＋a2)(a1－a2)－k(a1－a2)＝(a1－a2)(a1＋a2－k)由于a1＞a2，而且a1＋a2＞a1＋b1＝k，所以a2b2＞a1b1。也就是說：當兩數的和一定時，兩數相差越大，它們的積就越小。解∵8－1.25＜8.01－1.24＜8.02－1.23＜8.03－1.22，于是8×1.25＞8.01×1.24＞8.02×1.23＞8.03×1.22。而8×1.25＝10，∴8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＜10×3＝30。但8.03×1.22＞8×1.22＝9.76，∴8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＞9.76×3＝29.28。答：所求整數局部為29。這就是說該和數在29.28到30之間，于是其整數局部為29。解題技巧速算與巧算，主要應用各種定律和運算性質，利用數和數之間的特殊關系，合理靈活地進展組合與分解、湊整，進展簡潔、快速地運算。對于分數的混合運算，除了掌握常規的四那么運算法那么外，還應掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。競賽能級訓練A級1.計算：＋＋＋＋。答案；10/2312.計算：。100/513.計算：。3200/96034.計算：325.24＋425.24＋625.24＋925.24＋525.24。2826.25.計算：＋(＋)＋(＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)。285B級1.如果把0.000000000025簡記為。下面有兩個數：a＝，b＝，試求：a＋b，a－b，a×b，a÷b。2.計算：(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×…×(1＋)×(1－)。3.計算：。4.計算：÷。能力測試一、選擇題(每題8分，共16分)1.＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝()。A.B.C.2D.2.計算：1－－－－－＝()A.B.C.D.二、簡算以下各式(第1題6分，第2題15分，第3題8分，第4題15分)1.(1)4.74＋(1.26－0.77)＝；(2)9.9×9.9＋0.99＝。2.(1)(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28)＝；(2)(0.12＋0.22＋0.32＋0.42)2＝；(3)×＝。3.＝。4.不計算，在□中填入“＞〞、“＜〞或“＝〞。(1)0.3÷0.03×0.003÷0.0003□10÷100×1000÷