實驗八對弧長的曲線積分及其MATLAB計算一、實驗目的學習高等數學中有關對弧長的曲線積分的定義和計算方法，掌握利用MATLAB軟件進行曲線積分的計算。二、相關知識曲線積分是工程計算中需要用到的一個重要內容，典型的用途可以是曲線形構件質量的計算，重心、轉動慣量的計算，曲線長度的計算等等。例1計算曲線形構件質量。在設計曲線形構件時，為了合理使用材料，應該根據構件各部分的受力情況，把構件上各點處的粗細設計得不完全一樣。因此，可以認為這個構件的線密度（單位長度的質量）是變量。假設這構件所處的位置在xOy面內的一段曲線弧L上，它的端點是A，B，在L上任一點(x,y)處，它的線密度為現在要計算這構件的質量m。二、相關知識如果構件的線密度為常量，那么這構件的質量就等于它的線密度與長度的乘積。但現在構件上各點處的線密度是變量，就不能直接用上述方法來計算。為了解決這個問題，我們將曲線L分成若干個小段，即用L上的點把分成若干個小段，取其中一小段構件來分析，在線密度連續的前提下，只要這小段很短，就可以用這小段上任意一點處的線密度來代替這小段上其他各點處的線密度，從而得到這小段構件的質量的近似值為：二、相關知識其中表示的長度，于是整個曲線構件的質量為

用λ表示n個小弧段的最大長度。為了計算m的精確值，取上式右端的和式當時的極限，從而得到這種形式的極限，我們在研究其他問題時也會遇到，為了一般地研究這類問題，我們給出這樣一類和式極限的定義。圖8.1二、相關知識定義：設L為xOy平面內的一條光滑曲線弧，函數在L上有界，在L上任意插入一系列的點，則這些點把L分成n個小段。設第i個小段的長度為，又為第i個小段上任意取定的一點，作乘積，并作和，如果當各小弧段的長度的最大值時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作，即其中叫做被積函數，L叫做積分弧段。二、相關知識根據對弧長的曲線積分的定義可知，這種積分有以下性質：性質1

設α，β為常數，則性質2

若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧段L1和L2，則有性質3

設L在上，則特別地有：二、相關知識在這個定義的基礎上，我們給出如下的計算方法：設在曲線弧上有定義且連續，L的參數方程為

()其中、在上具有一階連續導數，且，則曲線積分存在，且

根據這個公式，我們把一個計算曲線積分的問題轉化成了一個計算定積分的問題，從而就可以利用MATLAB的函數int來計算積分。二、相關知識如果曲線弧L的方程由方程給出，則可以看成是特殊的參數方程

()的情形，這時公式成為：

()類似地，如果曲線弧L的方程由方程給出，則可以看成是特殊的參數方程

()的情形，這時公式成為：

()二、相關知識同時，這個計算公式可以推廣到空間曲線弧Γ由參數方程

()

給出的情形，這時有：

()我們通過具體的例子來說明曲線積分的計算。

二、相關知識例1計算，其中L是拋物線上點O(0,0)與點B(1,1)之間的一段弧，圖8.2。解：由于L的方程給出，因此可以將x看成參數，因此得到：

=這時就可以用MATLAB程序：clearsymsxI=int(x*sqrt(1+4*x*x),x,0,1)結果為：5/12*5^(1/2)-1/12

圖8.2二、相關知識例2計算半徑為R、中心角為2α的圓弧L對于它的對稱軸的轉動慣量J(設線密度μ=1)解：取坐標系如圖8.3，則為了便于計算，利用L的參數方程

()于是

圖8.3二、相關知識利用MATLAB軟件，編寫程序clearsymssitaR=1alfa=1.2J=R^3*int(sin(sita)*sin(sita),sita,-alfa,alfa)其結果為：-cos(6/5)*sin(6/5)+6/5二、相關知識例3計算曲線積分，其中Γ為螺旋線，，相應于t從0到2π的一段弧。解：二、相關知識利用MATLAB軟件，編寫程序clearsymsta=1K=1J=int((a^2+k^2*t^2)*sqrt(a^2+k^2),0,2*pi)其結果為：8/3*2^(1/2)*pi^3+2*2^(1/2)*pi二、相關知識例4求，其中L是由直線x=0，y=0，x=4和y=2所構成的矩形回路。解：根據性質2，積分可以分為4個部分I1，I2，I3，I4，分別為被積函數在曲線弧段L1，L2，L3，L4上的積分。即：則顯然有：二、相關知識到這里，我們就可以應用MATLAB了，編制程序如下：clearsymsxyI3=int(4*y*exp(4*y),y,0,2)I4=int(2*x*exp(2*x),x,0,4)I=I3+I4其結果為：21/4*exp(8)+3/4三、實驗內容1．計算曲線積分，其中C是的一段。2．計算曲線積分，其中L為擺線的一拱，；3．計算曲線積分，其中L為螺線，；4．計算曲線積分，其中L是圓周；提示：先將圓周的方程化為參數方程。Clear？？？symsxyI3=int(4*y*exp(4*y),y,0,2)I4=int(2*x*exp(2*x),x,0,4)