第三章扭轉材料力學§3–1概述§3–2薄壁圓筒的扭轉§3–3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§3–4等直圓桿扭轉時的應力·強度條件§3–5等直圓桿扭轉時的變形·剛度條件§3–6等直圓桿扭轉時的應變能§3–7非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形第三章扭轉§3–1概述軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。扭轉：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發生的變形為扭轉變形。ABOmmOBA工程實例§3–2薄壁圓筒的扭轉略扭轉角（）：任意兩截面繞軸線轉動而發生的角位移。切應變（）：直角的改變量。T=m剪切胡克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應力與剪應變成正比關系。剪切胡克定律：

式中：G是材料的一個彈性常數，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa

。

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在關系：

可見，在三個彈性常數中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。（推導詳見后面章節）：§3–3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、傳動軸的外力偶矩

傳遞軸的傳遞功率、轉速與外力偶矩的關系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—轉速，轉/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）

n—轉速，轉/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS3扭矩的符號規定：“T”的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規則為正，反之為負。二、扭矩及扭矩圖

1扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作“T”。

2截面法求扭矩MMMTx4扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖線。

目的①扭矩變化規律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT[例1]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nABCDP2

P3

P1

P4解：①計算外力偶矩nABCDM2

M3

M1

M4112233②求扭矩（扭矩按正方向設）③繪制扭矩圖BC段為危險截面。xTnABCDM2

M3

M1

M44.789.566.37––§3–4等直圓桿扭轉時的應力·強度條件等直圓桿橫截面應力①變形幾何方面②物理關系方面③靜力學方面1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無伸縮；

3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉實驗觀察：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：1.變形幾何關系：距圓心為任一點處的與到圓心的距離成正比。——扭轉角沿長度方向變化率。Ttmaxtmax2.物理關系：剪切胡克定律：代入上式得：3.靜力學關系：TOdA令代入物理關系式得：極慣性矩—橫截面上距圓心為處任一點切應力計算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點到圓心的距離。

Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。單位：m4③盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對于實心圓截面：ddO對于空心圓截面：dDOd④應力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料，重量輕，結構輕便，應用廣泛。⑤確定最大切應力：由知：當WP—抗扭截面系數（扭轉截面系數），幾何量，單位：m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：[例]

一個是實心圓截面I軸，一個是空心圓截面II軸，兩軸材料、扭轉力偶矩和長度l均相等，最大切應力也相等。若空心圓截面內、外直徑比為，試求空心圓截面的外徑與實心圓截面直徑之比以及兩軸的重量比。解：帶入最大切應力公式：可得：即：兩軸重量比即為橫截面積比三、等直圓桿扭轉時斜截面上的應力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此，我們需要研究斜截面上的應力。點M的應力單元體如右圖tt′2、斜截面上的應力M1、切應力互等定理：

該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。單元體的四個側面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態稱為純剪切應力狀態。上式稱為切應力互等定理。dxdy′′zOdztt′tt′t′ttasax2、斜截面上的應力t′ttasaxηξ轉角規定：軸正向轉至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“–”由平衡方程：解得：分析：當=45°時，當=–45°時，當=90°時，tt′smaxsmin45°

由此可見：圓軸扭轉時，在橫截面和縱截面上的切應力為最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大壓應力和最大拉應力。根據這一結論，就可解釋前述的破壞現象。當=0°時，四、圓軸扭轉時的強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([]

稱為許用剪應力。)強度計算三方面：①校核強度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：§3–5等直圓桿在扭轉時的變形·剛度條件一、扭轉時的變形由公式可知：長為

l的一段桿兩截面間相對扭轉角

為GIp反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。二、單位長度扭轉角[]

：或三、剛度條件或[]稱為許用單位長度扭轉角。剛度計算的三方面：①校核剛度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：有時，還可依據此條件進行選材。[例]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。該軸由45號鋼制成，為空心圓截面，內、外半徑比為0.5，鋼的許用切應力=40Mpa,切變模量G=80Gpa,許可單位扭轉角。試根據強度與剛度條件選擇軸的半徑。nABCDP2

P3

P1

P4dDxT4.789.566.37––解：由扭矩圖，可知由強度條件由剛度條件綜合強度條件與剛度條件可知由強度條件§3–6等直圓桿在扭轉時的應變能一、應變能與應變能密度acddxbdy′′dzzxy單元體微功：應變能密度：等直圓桿在扭轉時應變能對只在兩端受外力偶矩的等直圓桿的應變能又由§3–7非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。一、自由扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。二、約束扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面的翹曲程度不同。三、矩形桿橫截面上的剪應力:1.切應力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點）

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max注意！b2.最大剪應力及單位扭轉角其中：相當極慣性矩

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max注意！b查表求和時一定要注意，表中