掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)．第8課時拋物線1．高考對拋物線的考查時常出現(xiàn)，主要以拋物線定義的靈活運用、求拋物 線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系為主．2．題目類型有求拋物線的方程，求焦點的坐標(biāo)，求拋物線的參數(shù)值或有關(guān) 參數(shù)的取值范圍等，對拋物線的考查有時也會與橢圓、雙曲線、數(shù)列等 相結(jié)合．3．拋物線是近幾年高考考查的熱點，拋物線定義、幾何性質(zhì)多在填空題中出 現(xiàn)．標(biāo)準(zhǔn)方程的求解通常由待定系數(shù)法、定義法及軌跡法解決．【命題預(yù)測】

1．拋物線定義中的“平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相 等”這個等量關(guān)系可以使解題過程簡捷，應(yīng)注意體會．用待定系數(shù)法求拋物線方程，就是根據(jù)題設(shè)中的條件建立p的方程，求出p的值．注意當(dāng)不能確定拋物線焦點所在的坐標(biāo)軸時，要分類討論．2．利用好拋物線的準(zhǔn)線方程及焦半徑公式，是解決過焦點問題的一個重要途徑，應(yīng)熟練掌握并能靈活運用．焦點弦是比較特殊的線段，應(yīng)能正確地把握住焦點弦的特點并進行相關(guān)問題的解答．求焦點弦的長時，設(shè)直線與拋物線的兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，可用公式|AB|＝x1＋x2＋p求解．【應(yīng)試對策】3．拋物線與向量聯(lián)系使解析幾何與向量有機地結(jié)合起來，不僅增加了題目難度還增加了靈活度，是近幾年高考的重點考查內(nèi)容．將拋物線的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式求最值、其他圓錐曲線等知識融于一體，考查運用所學(xué)知識分析、解決問題的能力，也是高考重點考查內(nèi)容．拋物線的幾個重要結(jié)論1．以焦半徑為半徑的圓：以P為圓心、FP為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切．所有這樣的圓過定點F，且準(zhǔn)線是它們的公切線．2．以焦半徑為直徑的圓：以焦半徑FP為直徑的圓必與過頂點垂直于對稱軸的直線相切．所有這樣的圓過定點F，且過頂點垂直于對稱軸的直線是公切線．【知識拓展】3．以焦點弦為直徑的圓：以焦點弦PQ為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切．所有這樣的圓的公切線是準(zhǔn)線．4．拋物線y2＝2px上的動點可設(shè)為P或P(2pt2,2pt)或P(x0，y0)，其中y＝2px1．拋物線的定義

平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做

，定點F叫做拋物線的

，定直線l叫做拋物線的

．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)(如下表所示)拋物線焦點準(zhǔn)線標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)圖形性質(zhì)范圍

準(zhǔn)線方程x＝x＝焦點對稱軸關(guān)于

對稱頂點離心率e＝焦半徑MF＝MF＝x軸(0,0)1x≥0，y∈Rx≤0，y∈R標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形性質(zhì)范圍準(zhǔn)線方程y＝y(tǒng)＝焦點對稱軸關(guān)于

對稱頂點離心率e＝焦半徑MF＝MF＝y(tǒng)≥0，x∈Ry≤0，x∈Ry軸(0,0)1思考：在求拋物線方程時，怎樣建立坐標(biāo)系才能使拋物線方程是標(biāo)準(zhǔn)方程？提示：在求拋物線方程時，以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，這樣求出的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程．1．(2010·洛陽市高三測試)若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＝1的右焦 點重合，則p的值為________． 解析：拋物線的焦點為，橢圓的右焦點為(2,0)，由題知，＝2，

∴p＝4. 答案：42．已知點(－2,3)與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的距離是5，則p的值為 ________． 解析：拋物線的焦點為.由＝5，得p＝4. 答案：43．設(shè)拋物線y2＝mx的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，則拋物線的方程為________． 解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，則|1＋|＝3，∴m＝8或m＝－16， 故拋物線方程為y2＝8x或y2＝－16x. 答案：y2＝8x或y2＝－16x4．若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，則P的軌跡方程為________． 解析：由題意知P到F(0,2)的距離比它到y(tǒng)＋4＝0的距離小2，因此P到 F(0,2)的距離與到直線y＋2＝0的距離相等，故P的軌跡是以F為焦點，y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，所以P的軌跡方程為x2＝8y. 答案：x2＝8y5．拋物線y＝x2(a≠0)的焦點坐標(biāo)為________． 答案：(0，)1．拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化．2．利用拋物線的定義可以求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【例1】過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F任作一條直線m，交拋物線于P1、P2

兩點，求證：以P1P2為直徑的圓和該拋物線的準(zhǔn)線相切． 思路點撥：利用拋物線的定義證明圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑．證明：設(shè)P1P2的中點為P0，過P1、P2、P0分別向準(zhǔn)線l引垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q0，根據(jù)拋物線的定義，得P1F=P1Q1，P2F=P2Q2，∴P1P2=P1F+P2F=P1Q1+P2Q2.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，P1P0=P0P2，∴P0Q0=(P1Q1+P2Q2)=P1P2.由此可知，P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l.因此，圓P0與準(zhǔn)線相切．

解析：過P作PK⊥l(I為拋物線的準(zhǔn)線)于K，則PF=PK.∴PA+PF=PA+PK.∴當(dāng)P點的縱坐標(biāo)與A點的縱坐標(biāo)相同時，PA+PK最小．此時P點的縱坐標(biāo)為1.把y=1代入y2=-4x得x=-，即當(dāng)P點的坐標(biāo)為時，PA+PF最?。?/p>

答案：變式1：已知點A(－2,1)，y2＝－4x的焦點是F，P是y2＝－4x上的點，為使PA＋PF取得最小值，P點的坐標(biāo)是________．拋物線上一點與焦點F連線的線段叫做焦半徑．過焦點F的直線與拋物線交于A，B，則線段AB稱為焦點弦．通過焦點垂直于對稱軸的拋物線的弦叫拋物線的通徑，通徑長為2p，這是標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的一種幾何意義，而p的幾何意義則是焦點到準(zhǔn)線的距離．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：標(biāo)準(zhǔn)方程焦半徑AF焦點弦長ABy2＝2px(p>0)AF＝x1＋AB＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)AF＝－x1AB＝p－x1－x2x2＝2px(p>0)AF＝y(tǒng)1＋AB＝p＋y1＋y2x2＝－2py(p>0)AF＝－y1AB＝p－y1－y2【例2】求拋物線y2＝2px的焦點弦長的最小值． 思路點撥：設(shè)焦點弦所在直線AB的傾斜角為θ，把直線AB的方程 寫成ycosθ＝sinθ，焦點弦長用θ表示，根據(jù)θ的取值求最值．解：設(shè)焦點弦所在直線的傾斜角為θ，則直線AB的方程為ycosθ=sinθ，如右圖所示．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得sin2θx2-p(2cos2θ+sin2θ)x+sin2θ=0，∴x1+x2=.∴AB=AF+BF=x1+x2+p=，∴當(dāng)sin2θ=1，即θ=時，AB取最小值2p.變式2：過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，引兩條互相垂直的弦AC，BD，求四邊形ABCD面積的最小值． 解：由方程組,得4k2x2－4p(k2＋2)x＋p2k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，由公式AC＝|x1＋x2|＋p，得AC＝x1＋x2＋p

＝， 同理可得BD＝2p(k2＋1)．∴四邊形ABCD的面積S＝

AC·BD＝＝2p2≥8p2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝±1，Smin＝8p2.復(fù)習(xí)中應(yīng)緊抓拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)．(1)頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，此時a不具有p的幾何意義．(2)拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離．因此，涉及拋物線的焦半徑，焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化．【規(guī)律方法總結(jié)】(3)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法或軌跡法，為避免開口不一定而分成y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)兩種情況求解的麻煩，可以設(shè)成y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)，若m＞0，開口向右；m＜0，開口向左；n＞0，開口向上；n＜0，開口向下，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四個.

【例3】

(2009·福建卷)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直 線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________. 分析：根據(jù)條件寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后根據(jù)直線被曲線所截得的弦長公式求解．【高考真題】規(guī)范解答：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知過焦點的直線方程為y＝x－，與拋物線方程聯(lián)立，得

，消元后得x2－3px＋＝0.又AB＝· ＝8，解得p＝2.答案：2

本題屬于以考查解析幾何的基本方法為主的常規(guī)試題，試題可以看做是對教材題目的適當(dāng)加工改造，如人教A版選修2－1第二章2.4.2的練習(xí)第3題：過點M(2,0)作斜率為1的直線l，交拋物線y2＝4x于A，B兩點，求AB.類似試題也經(jīng)常出現(xiàn)在往年的高考中，如2007年寧夏、海南卷：已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有【命題探源】【全解密】A．FP1＋FP2＝FP3 B．

C．2FP2＝FP1＋FP3 D．

答案：C

拋物線焦點弦的主要性質(zhì)：拋物線y2＝2px(p>0)過焦點F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長AB＝x1＋x2＋p.同樣對于拋物線y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py，也可得到類似的性質(zhì)．【知識鏈接】拋物線焦點弦長的求法求拋物線的焦點弦長有兩種方法：一是根據(jù)直線被二次曲線所截得的一般的弦長公式；二是根據(jù)拋物線的焦點半徑直接得到弦長，用前面的方法在使用根與系數(shù)關(guān)系整體代入時要用到兩根之和和兩根之積，用后面這個方法僅僅用到兩根之和，還省去了開方的麻煩，故在求拋物線的焦點弦長時一般是用后面這種方法．【方法探究】

根據(jù)拋物線的焦點半徑，可得到AB＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝8，即p＝2.本題在用一般的直線被二次曲線所截得的弦長公式解答時，消掉x解題更為簡單，這是因為本題中的拋物線方程中，x是一次的，但要注意此時的弦長公式也發(fā)生了變化．求解拋物線問題最容易出現(xiàn)的錯誤就是把焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程弄錯，解題時一定要注意，千萬不要弄錯了符號或是漏掉了分母2.

【發(fā)散思維】【技巧點撥】【誤點警示】點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點O.分析：證直線AC經(jīng)過原點O，即證O，A，C三點共線，為此，只需證kOC＝kOA.本題也可結(jié)合圖形特點，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識去解決．1．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，證明：證法一：設(shè)直線AB：x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根與系數(shù)關(guān)系，得yAyB＝－p2，即yB＝－.∵BC∥x軸，且C在準(zhǔn)線x＝－上，證法二：如圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點為E，過A作AD⊥l，垂足為D，則AD∥EF∥BC，連接AC交EF于點N，則，.∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴|EN|=