1.

理解等差數列的概念．2．掌握等差數列的通項公式與前n項和公式．3．能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題．4．了解等差數列與一次函數的關系.【考綱下載】第2講等差數列及其前n項和1．等差數列的有關概念(1)等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第

項起，每一項與它的前一項的差等于

，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的

，通常用字母d表示．(2)等差中項：在兩個數a與b之間插入一個常數A，使a，A，b成等差數列，則把

叫做a與b的等差中項，

＝，即a＋b＝

.同一個常數2公差AA2A(3)等差數列的通項公式：

．an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)提示：通項公式an＝a1＋(n－1)d可以寫成an＝dn＋(a1－d)，它是關于n的一次函數(d≠0時)或常函數(d＝0時)，它的圖象是一條直線上點的橫坐標為正整數的一群孤立的點，公差d是這條直線的斜率．2．等差數列的前n項和公式等差數列的前n項和公式：Sn＝

＝

.【思考】

等差數列的前n項和Sn與函數的關系如何？(從d≠0與d＝0分別說明)答案：當d≠0時，Sn＝n2＋

n，Sn是關于n的二次函數，它的圖象是過原點的拋物線上橫坐標為正整數的一群孤立點；當d＝0時，Sn＝na1，它的圖象是一條射線上橫坐標為正整數的一群孤立點．3．等差數列的重要性質(1)若m＋n＝p＋q，則

.(m，n，p，q∈N*)特別地，若m＋n＝2p，則2ap＝am＋an.(2)等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d推廣為an＝am＋(n－m)d.(3)設Sn是等差數列{an}的前n項和，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構成的數列是等差數列．am＋an＝ap＋aq提示：這些重要結論，在解答選擇題和填空題時非常有用(可直接應用)，在做解答題時雖然不能作為公式和定理用，但至少可以當作解題的目標或方向，檢驗結果的正誤時可直接套用，運用上述結論時要注意它成立的條件．1．在等差數列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，則a5等于(

)

A．3B．7C．10D．11解析：設公差為d，則 .∴a1＝－2，d＝3，∴a5＝a1＋4d＝－2＋3×4＝10.答案：C2．已知{an}為等差數列，a2＋a8＝12，則a5等于(

)A．4B．5C．6D．7解析：∵a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.答案：C3．(2009·湖南)設Sn是等差數列{an}的前n項和，已知a2＝3，a6＝

11，則S7等于(

)A．13B．35C．49D．63解析：S7＝

＝

＝49.答案：C4．(2009·山東)在等差數列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝

________.解析：設公差為d，∴3d＝a5－a2＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案：131.等差數列{an}中，a1和d是兩個基本量，用它們可以表示數列中的任何一項，利用等差數列的通項公式與前n項和公式，列方程組解a1和

d，是解決等差數列問題的常用方法；2．由a1，d，n，an，Sn這五個量中的三個量可求出其余兩個量，需選用恰當的公式，利用方程組求解．【例1】

(2009·全國Ⅱ卷)已知等差數列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝ 0，求Sn.思維點撥：列方程組解a1和公差d.解：設{an}的公差為d，則即解得

，或因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．變式1：等差數列的前n項和為Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.解：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則Sn＝na1＋n(n－1)d.∵S12＝84，S20＝460，

∴ 解得∴Sn＝－15n＋n(n－1)×4＝2n2－17n.∴S28＝2×282－17×28＝1092.證明{an}為等差數列的方法：1．用定義證明：an－an－1＝d(d為常數，n≥2)?{an}為等差數列．2．用等差中項證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數列．3．通項法：an為n的一次函數或常函數?{an}為等差數列．4．前n項和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝

?{an}為等差數列．【例2】

已知數列{an}的前n項和為Sn且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求證：是等差數列；(2)求an的表達式．思維點撥：(1)由an與Sn的關系先轉化為an＝Sn－Sn－1(n≥2)，然后利用定義證明．

(2)先求Sn，再求an.證明：(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴ ＝2(n≥2)．由等差數列的定義知

是以

為首項，以2為公差的等差數列．(2)解：由(1)知

＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.當n≥2時，有an＝－2Sn×Sn－1＝又∵a1＝，∴an＝利用等差數列的性質解題，關鍵是要敏銳地觀察出題中各項的腳標間的數量關系．【例3】

已知兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為

An，Bn，且

，則使得為整數的正整數n的個數是(

)

A．2B．3C．4D．5思維點撥：靈活利用S2n－1公式中的a1＋a2n－1與an的關系．解析：∵∴當n＝1,2,3,5,11時，為整數．答案：D變式3：已知{an}是等差數列．(1)前四項和為21，末四項和為67，且各項和為286，求項數；(2)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.解：(1)∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，

∴a1＋an＝(21＋67)＝22.又∵286＝

，∴n＝26，即數列的項數是26.(2)∵{an}是等差數列．

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差數列， 設S3n＝x，則20,18，x－38成等差數列， 即2×18＝20＋(x－38)，

∴x＝54，即S3n＝54.解決等差數列前n項和的最值問題有兩種方法，①利用an：當a1>0，d<0時，前n項和有最大值，可由an≥0且an＋1<0求得n的值；當a1<0，d>0時，前n項和有最小值，可由an≤0且an＋1>0求得n的值．②利用Sn：Sn＝n2＋n，即由二次函數求得當Sn取最值時n的值．【例4】

設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由解：(1)∵S12>0，S13<0，∴

即又a3＝a1＋2d＝12，∴解得－<d<－3.(2)解法一：Sn＝na1＋

d(n＝1,2,3，…，12)．∴Sn＝n(12－2d)＋d∴當n＝6時，Sn有最大值，即Sn的值最大為S6解法二：由題意及等差數列的性質可得∴a7<0，a6>0.∴在數列{an}中，前6項為正，第7項起，以后各項為負(第7

項也為負)，故S6最大．1．在有關等差數列的基本問題中，常常需要根據已知a1，

an，d，n，Sn中的某些量去求其他未知的量，解方程是必不可少的，在運用方程的思想時，還要注意等差數列性質的運用以及整體代換思想的運用．【方法規律】2．注意設元技巧，利用對稱性，減少運算量．若奇數個數成等差數列且和為定值時，可設中間三項為a－d，a，a

＋d；若偶數個數成等差數列且和為定值時，可設中間兩項為a－d，a＋d，其余各項再依等差數列的定義進行對稱設元．3．等差數列的前n項和公式是特殊的二次函數關系式，對前n項和的最大值或最小值的求解可以借助函數求最值的方法進行，也可以利用數列的通項公式進行求解.(12分)(2009·湖北卷)已知{an}是一個公差大于0的等差數列，且滿足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求數列{an}的通項公式；(2)若數列{an}和數列{bn}滿足等式：

(n為正整數)，求數列{bn}的前n項和Sn.【高考真題】解：(1)設等差數列{an}的公差為d，則依題設d>0.

………1分由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16.①由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55.②………3分由①得2a1＝16－7d，將其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，∴d2＝4.又d>0，∴d＝2.代入①得a1＝1.………5分∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.………6分【規范解答】(2)當n＝1時，a1＝，∴b1＝2.

………

7分當n≥2時，兩式相減得an－an－1＝，∴bn＝2n＋1.

………9分因此

………

10分當n＝1時，S1＝b1＝2；當n≥2時，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋

＝2n＋2－6.∵當n＝1時上式也成立，∴當n為正整數時都有Sn＝2n＋2－6.