選修4－5不等式選講第1課時不等式的性質、含有絕對值的不等式理解不等式的基本性質，理解含絕對值不等式的求解方法．【命題預測】

1．不等式的性質是進行不等式的變換、證明不等式和解不等式的依據，常綜合考查，幾乎可以滲透到高考的各個考點中．2．要能解幾種特殊類型的絕對值不等式，但不要求會解各種類型的含有絕對值的不等式．【應試對策】1．解含絕對值符號的不等式的基本思路是去掉絕對值的符號，將其轉化為不含絕對值的不等式求解，體現了等價轉化思想的應用．在轉化的過程中，要注意正確地應用絕對值的意義和不等式的性質，防止轉化過程的不等價而導致的錯誤．2．證明含絕對值符號的不等式的基本思路是創造條件使用絕對值不等式的性質，有時也可以通過構造函數，運用函數的單調性來實現證明．【知識拓展】 含絕對值不等式的解法 (1)討論法：討論絕對值中的式子大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號，轉化為一般不等式． 適合解這類絕對值不等式：|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c.(2)等價變形：解絕對值不等式常用以下等價變形．|x|<a?x2<a2?－a<x<a(a>0)；|x|>a?x2>a2?x>a或x<－a(a>0)；一般有：|f(x)|<g(x)?－g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)．(3)|ax＋b|≤c與|ax＋b|≥c的解集．①|ax＋b|≤c，c<0，x∈?；c≥0，－c≤ax＋b≤c；－b－c≤ax≤c－b.a>0，x∈；a<0，x∈

②|ax＋b|≥c，c<0，x∈R；c≥0，ax＋b≥c或ax＋b≤－c.a>0，x∈ ；a<0，x∈1．實數的大小順序與運算性質之間的關系 a＞b?a－b

0，a＜b?a－b

0，a＝b?a－b

0.2．不等式的性質 (1)a＞b?b

a，a＜b?b

a(反對稱性)． (2)a＞b，b＞c?a

c，a＜b，b＜c?a

c(傳遞性)． (3)a＞b?a＋c＞b＋c，故a＋b＞c?a＞c－b(移項法則)；

推論：a＞b，c＞d?

(同向不等式相加)．＞＜＝＜＞＞＜a＋c＞b＋d (4)a＞b，c＞0?ac＞bc，a＞b，c＜0?

.

推論1：a＞b＞0，c＞d＞0?

； 推論2：a＞b＞0?an

bn(n∈N，且n＞1)； 推論3：a＞b＞0?

(n∈N，且n＞1)．3．絕對值不等式的解法 (1)設a＞0，a∈R，則|x|＝a?

?x2＝a2； |x|＜a?x2＜a2?

； |x|＞a?x2＞a2?

. (2)形如|x－a|＋|x－b|＜c或|x－a|－|x－b|＞c的絕對值不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解．ac＜bcac＞bd＞0＞＞x＝±a－a＜x＜ax＜－a或x＞a 思考：|x|以及|x－a|±|x－b|表示的幾何意義是什么？ 提示：|x|表示數軸上的點x到原點O的距離；|x－a|±|x－b|表示數軸上的一點x到點a、b的距離之和(差)．4．含有絕對值的不等式的性質

≤|a±b|≤

. 思考：|a＋b|與|a－b|，|a－b|與|a|－|b|及|a|＋|b|分別具有什么關系？ 提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.|a|－|b||a|＋|b|1．設m＝(x＋6)(x＋8)，n＝(x＋7)2，則m與n的大小關系是________． 解析：∵m－n＝(x＋6)(x＋8)－(x＋7)2＝x2＋14x＋48－(x2＋14x＋49) ＝－1<0，∴m<n. 答案：m<n2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關系是f(x)________g(x)． 解析：f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－(2x2＋x－1)＝(x－1)2＋1>0. 答案：>3．若a2>b2，且ab>0，則的大小關系為________． 解析：∵ab>0，∴>0.又a2>b2，∴

也可用作差法判斷． 答案：<4．若角α、β滿足，則α－β的取值范圍是________． 解析：∵α≤β，∴α－β≤0.又

∴

∴－π<α－β≤0. 答案：－π<α－β≤0比較兩個代數式的大小，作差后在變形的過程中有時分解因式，有時寫成幾個非負數或非正數的和的形式，有時這兩者結合起來用．注意本題的結果常常作為結論來用．【例2】解下列不等式： (1)1<|x－2|≤3； (2)|2x＋5|>7＋x； (3)|x2－9|≤x＋3; (4)|x－1|＋|x＋2|<5. 思路點撥：(1)利用公式或平方法轉化為不含絕對值的不等式．(2)利用公式法轉化為不含絕對值的不等式．(3)利用絕對值的定義或|f(x)|≤a(a>0)?

－a≤f(x)≤a去掉絕對值符號或利用數形結合思想求解．(4)不等式的左邊含有兩個絕對值符號，要同時去掉這兩個絕對值符號，可以采用“零點分段法”．此題亦可利用絕對值的幾何意義去解．含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值轉化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當的添、拆項證明；另一類是綜合性較強的函數型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．1．運用不等式的性質時，應注意不等式成立的條件，切不可用似乎很顯然的理由代替不等式的性質．2．解絕對值符號里是一次式的不等式，常用零點分段法，其一般步驟是： (1)令每個絕對值符號里的一次式為零，并求出相應的根； (2)把這些根由小到大排序，并把實數集分為若干個區間； (3)由所分區間去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集； (4)取這些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．3．對于形如|x－a|＋|x－b|＞c或|x－a|＋|x－b|＜c的不等式，利用不等式的幾何意義或者畫出左、右兩邊函數的圖象去解不等式，更為直觀、簡捷，這又一次體現了數形結合思想方法的優越性.【規律方法總結】

【高考真題】【命題探究】本題是根據解絕對值不等式的基本方法——分段去絕對值轉化為不等式組的解而命制的一道試題，試題考查的重心就是解絕對值不等式的基本方法．【方法探究】帶有絕對值的函數一般可以通過去掉絕對值轉化為分段函數，去掉絕對值的方法是采用“零點分區法”，|x－a1|＋|x－a2|＋…＋|x－an|，其中a1<a2<…<an，分區的方法是x≤a1，a1<x≤a2，…，x>an，然后根據絕對值的性質去絕對值，其中規律很明顯，如當a2<x≤a3時，|x－a1|＝x－a1，|x－a2|＝x－a2，|x－a3|＝－(x－a3)，…，|x－an|＝－(x－an)，即當x的取值在某兩個零點之間時，其前面的直接去掉絕對值，后面的去掉絕對值時要加負號．如果絕對值號內x的系數不是1，可以提取這個系數后轉化為x的系數是1的情況．【