2020年中考數學一輪復習培優訓練《三角形》1?點D為AABC外一點，ZACB=90°,AC=BC.ffl1?2@3如圖1,ZDCE=90°,CD=CE，求證:ZADC=ZBEC；如圖2,若ZCDB=45°,AE〃BD,CE丄CD，求證:AE=BD；如圖3,若NADC=15°,CD=邁，BD=n,請直接用含n的式子表示AD的長.如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點，以D為頂點作一個120°的角，角的兩邊分別交直線AB、直線AC于M、N兩點.以點D為中心旋轉ZMDNCZMDN的度數不變)，當DM與AB垂直時(如圖①所示),易證BM+CN=BD.如圖②，當DM與AB不垂直，點M在邊AB上，點N在邊AC上時，BM+CN=BD是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；如圖③，當DM與AB不垂直，點M在邊AB上，點N在邊AC的延長線上時，BM+CN=BD是否仍然成立？若不成立，請寫出BM,CN,BD之間的數量關系，不用證明.如下圖，在AABC中，AB=BC,AD丄BC于點D,BE丄AC于點E,AD與BE交于點F,BH丄AB于點B,點M

是BC的中點，連接FM并延長交是BC的中點，連接FM并延長交BH于點H.在圖1中，ZABC=60°,AF=3時，FC=在圖2中，ZABC=45°,AF=2時，FC=(3)從第(1)、(2)中你發現了什么規律？在圖3中并證明你的猜想._，BH=；_，BH=；，ZABC=30°，AF=1時，試猜想BH等于多少?在圖1、2中，已知ZABC=120°，BD=2，點E為直線BC上的動點，連接DE,以DE為邊向上作等邊△DEF，使得點F在ZABC內部，連接BF.如圖1，當BD=BE時，ZEBF=；如圖2,當BDHBE時，(1)中的結論是否成立？若成立，請予以證明，若不成立請說明理由；請直接寫出線段BD,BE，BF之間的關系式.C(EEADD02SiC(EEADD02Si在△ABC中，AC=BC,點E是在AB邊上一動點(不與A、B重合)，連接CE,點P是直線CE上一個動點.如圖1,NACB=120°,AB=16,E是AB中點，EM=2,N是射線CB上一個動點.

試確定點P和點N的位置，使得NP+MP的值最小.請你在圖2中畫出點P和點N的位置，并簡述畫法：TOC\o"1-5"\h\z直接寫出NP+MP的最小.(2)如圖3,ZACB=90°，連接BP,ZBPC=75。且BC=BP求證：PC=PA.口圖1閨2嘗？6．探究題：如圖，AB丄BC,射線CM丄BC,且BC=5cm,AB=1cm,點P是線段BC(不與點B、C重合)上的動點，過點P作DP丄AP交射線CM于點D,連結AD.如圖1,若BP=4cm,則CD=；如圖2,若DP平分ZADC，試猜測PB和PC的數量關系，并說明理由;(3)若APDC是等腰三角形，則CD=cm.(請直接寫出答案)(3)若APDC是等腰三角形，則CD=cm.(請直接寫出答案)ABCCB8PU2備用圖綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中,ZABC=90°,AB=BC，點A(2,0)、B(0,1).在圖①中，點C坐標為；如圖②，點D在線段0A上，連接BD,作等腰直角三角形BDE,ZDBE=90。，連接CE.證明：AD=CE；在圖②的條件下，若C、D、E三點共線，求0D的長；在y軸上找一點F,使AABF面積為2.請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標.已知點P是線段MN上一動點，分別以PM,PN為一邊，在MN的同側作厶APM,ABPN,并連接BM,AN.如圖1,當PM=AP,PN=BP且ZAPM=ZBPN=90。時，試猜想BM,AN之間的數量關系與位置關系，并證明你的猜想；如圖2,當△APM,ABPN都是等邊三角形時，(I)中BM,AN之間的數量關系是否仍然成立？若成立,請證明你的結論；若不成立,試說明理由.(UI)在(II)的條件下，連接AB得到圖3,當PN=2PM時，求NPAB度數.3A3AAPPPSiS33A3AAPPPSiS39?閱讀下列材料，完成(1)?(3)題：數學課上,老師出示了這樣一道題：如圖1,AABC中，AB=AC,ZBAC=90°，點D是BC的中點，E是AC的中點，經過點A、C作射線BE的垂線，垂足分別為點F、G,連接AG.探究線段DF和AG的關系.某學習小組的同學經過思考后，交流了自己的」想法：

小明：“經過觀察和度量，發現ZABF和ZACG相等.”小剛：“經過觀察和度量，發現有兩條線段和AF相等．”小偉：“通過構造全等三角形，經過進一步推理，可以得到線段DF和AG的關系老師：“若點E不是AC的中點，其他條件不變(如圖2),可以求出京的值求證：AF=FG；探究線段DF和AG的關系，并證明；(3)DF(3)直接寫出常的值.AEl在AABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點(不與B，C重合)，以AD為一邊在AD的右側作AADE,使AD=AE，ZDAE=ZBAC連接

如圖1,當點D在線段BC上，如果ZBAC如圖1,當點D在線段BC上，如果ZBAC=90。，則zbce=度;1)2)如圖2,如果ZBAC=60°，則ZBCE=度;3)設ZBAC=a,ZBCE=B.如圖3,當點D在線段BC上移動，則a,B之間有怎樣的數量關系？請說明理由;當點D在直線BC上移動，請直接寫出a，B之樣的數量關系，不用證明.在平面直角坐標系中，點A(0,m)和點B(n，0)分別在y軸和x軸的正半軸上，滿足(in-n)2^|m+n-8|=0,連接線段AB,點C為AB上一動點.

填空：m=,n=；如圖，連接OC并延長至點D,使得DC=OC,連接AD.若AA0C的面積為2,求點D的坐標;⑶如圖，BC=OB,ZABO的平分線交線段AO于點E,交線段OC于點F,連接EC.求證：①AACE為等腰直角三角形;②BF-EF=OC.如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標是(-1,0),點C的坐標是(1,0),點D為y軸上一點,點A為第二象限內一動點，且ZBAC=2ZBDO,BD與AC交于點F,過D作DM丄AC于點M.求證：ZABD=ZACD.若點E在BA延長線上，求證：AD平分ZCAE.在線段MC上取點G,使DG=AD,求證：AB=CG.13.如圖(1),在四邊形ABCD中，已知ZABC+ZADC=180°,AB=AD,AB丄AD,點E在CD的延長線上,且ZBAC=ZDAE.AF迅SSC舉⑵CAF迅SSC舉⑵C0(1}求證:AC=AE；求證：CA平分ZBCD；如圖(2),設AF是AABC的邊BC上的高，試求CE與AF之間的數量關系.如圖1,在AABC中，AB=AC，點D是BC邊上一點(不與點B,C重合)，以AD為邊在AD的右側作厶ADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.設ZBAC=a,ZBCE=B.求證：△CAE竺ABAD；探究：當點①在BC邊上移動時，a、B之間有怎樣的數量關系？請說明理由;如圖2,若ZBAC=90°,CE與BA的延長線交于點F.求證：EF=DC.(1)如圖1,在AABC中，AD平分ZBAC交BC于D,DE丄AB于E,DF丄AC于F.求證：DE=DF,AE=AF.(2)如圖2,在(1)的情況下，如果ZMDN=ZEDF,ZMDN的兩邊分別與AB、AC相交于M、N兩點，

其它條件不變，那么AM,AN,AF有怎樣的數量關系？并加以證明.如圖3,在RtAABC中，ZC=90°,ZBAC=60°,AC=6,AD平分ZBAC交BC于D,ZMDN=120°,AAEEA'占5BHl02S3NDAAEEA'占5BHl02S3ND〃AB,四邊形AMDN的周長為.(直接寫答案).參考答案(1)證明:???NDCE=NACB=90°,???ZACD=ZBCE,又???AC=BC,CE=CD,???△ACD竺ABCE(SAS),???ZADC=ZBEC.如圖1,延長DC交AE于F,連BF,???AE〃BD,???ZEFC=ZCDB=45°.?EC丄CD,ZCEF=ZCFE=45°,?EC=CF.?*ZACE=ZBCF,AC=BC,???△ACE竺ABCF(SAS),.\AE=BF,ZBFC=ZAEC=45°=ZFDB,?BF=BD，?AE=BD；如圖2,過點C在CD上方作CE丄CD,CE=CD,連BE、DE.設AD、BE交于點0,由(1)知厶ACD^^BCE(SAS),ZBEC=ZADC=15°,???ZD0E=ZDCE=90°.又VZCED=ZCDE=45°,???皿=：泗=2,??.ZBED=30°,???0D=*DE=-?X2=l,???=<3,0B==.?.AD=BE=OB+OE=*岸_]+.：3.解：(1)結論BM+CN=BD成立，理由如下：如圖②，過點D作DE〃AC交AB于E,???△ABC是等邊三角形，.*.ZA=ZB=ZC=60°,???DE〃AC,/.ZBED=ZA=60°,ZBDE=ZC=60°,.?.ZB=ZBED=ZBDE=60°,???△BDE是等邊三角形，ZEDC=120°,ABD=BE=DE,ZEDN+ZCDN=120°,VZEDM+ZEDN=ZMDN=120°,???ZCDN=ZEDM,???D是BC邊的中點，?DE=BD=CD,在ACDN和AEDM中，CD二DE,lzcdn=zedm???△CDN竺AEDM(ASA),?CN=EM，

:.BD=BE=BM+EM=BM+CN；(2)上述結論不成立，BM,CN,BD之間的數量關系為：BM-CN=BD；理由如下:如圖③，過點D作DE〃AC交AB于E,圖③2???△ABC是等邊三角形，AZA=ZB=ZC=60°,???ZNCD=120°,???DE〃AC,AZBED=ZA=60°,ZBDE=ZC=60°,AZB=ZBED=ZBDE=60°,???△BDE是等邊三角形，NMED=ZEDC=120°,ABD=BE=DE,ZNCD=ZMED,ZEDM^ZCDM=120°,VZCDN+ZCDM=ZMDN=120°,???ZCDN=ZEDM,???D是BC邊的中點，?DE=BD=CD,在ACDN和AEDM中，rZNCD=ZMEDCD=EE,???△CDN竺AEDM(ASA),?CN=EM，?BD=BE=BM-EM=BM-CN，?BM-CN=BD．解：(1)如圖①連接CF,

TAD丄BC,BE丄AC,???CF丄AB,???BH丄AB,???CF〃BH,???ZCBH=ZBCF,??點M是BC的中點，???BM=MC,在ABMH和ACMF中，rZMBH=ZNCFBM咄C,???△BMH竺ACMF(ASA),???BH=CF,*.*AB=BC,BE丄AC,?BE垂直平分AC，?AF=CF，?BH=AF，?AF=CF=BH=3，故答案為：3，3；(2)如圖②，連接CF,TAD丄BC,BE丄AC,???CF丄AB,???BH丄AB,???CF〃BH,???ZCBH=ZBCF,??點M是BC的中點，???BM=MC,在ABMH和ACMF中，鳳哪C,lZbmh=Z：ot???△BMH竺ACMF(ASA),???BH=CF,*.*AB=BC,BE丄AC,?BE垂直平分AC，?AF=CF，?BH=AF，?AF=CF=BH=2，故答案為：2，2；從第(1)、(2)中發現AF=CF=BH；猜想BH=1,理由如下：如圖③，連接CF,?AD丄BC,BE丄AC,???CF丄AB,???BH丄AB,???CF〃BH,???ZCBH=ZBCF,??點M是BC的中點，???BM=MC,在ABMH和ACMF中，rZMBH=ZNCF珊視,/.△BMH^^CMF(ASA),?BH=CF，*.*AB=BC,BE丄AC,???BE垂直平分AC,?AF=CF，?BH=AF，?AF=CF=BH=1．解：(1)V^DEF是等邊三角形，.??DF=EF=DE,ZDFE=60°,?BD=BE，DF=EF，BF=BF，???△DBF竺AEBF(SSS)/.ZDBF=ZEBF,且ZDBF；+ZEBF=120°,???ZEBF=60°,故答案為：60°；結論仍然成立，理由如下：如圖2,過點F作FG丄BC,FH丄AB,???ZDFE=60°,ZABC=120°,???ZFDB+ZFEB=180°,且ZFEB+ZFEG=180°,???ZFDB=ZFEG,且ZFHD=NFGE=90°,FD=EF,???△FDH竺AFEG(AAS)???FH=FG，且FG丄BC,FH丄AB,/.ZABF=ZFBE=60°；(3)由(2)可知：AFDH^^FEG,?DH=EG,?BD+BE=BH+DH+BE=BH+BG,VZABF=ZFBE=60°,FG丄BC,FH丄AB,?ZBFH=ZBFG=30°,?BF=2BH=2BG,?BF=BH+BG=BD+BE．解：(1)①如圖2所示：作點M關于CE的對稱點M',過點M'作M'N丄BC,垂足為N,交EC于點P,??點M與點M'關于EC對稱，?MP=M'P,?NP+MP=NP+M'P,???點N,點P,點M'三點共線，且M'N丄BC時，NP+MP的值最?。还蚀鸢笧椋鹤鼽cM關于CE的對稱點M',過點M'作M'N丄BC,垂足為N,交EC于點P；②*.*ZACB=120°,BC=CA,AB=16,E是AB中點,.??ZB=30°,BE=AE=8，且EM=2,.*.BM=10,VZB=30°,M'N丄BC,???馭=5,???NP+MP的最小值為5,故答案為：5；(2)如圖3,在BE上截取EF=PE,??ZBPC=75°,BC=BP,??ZBCP=ZBPC=75°,??ZCBP=30°,??ZACB=90°,AC=CB,??ZCBA=ZCAB=45°,??ZABP=15°,ZZBPC=ZPBE+ZBEP=75°,??ZBEP=60°，且EF=PE,??△PEF是等邊三角形，PE=PF=EF,ZFPE=60°=ZPFE,ZZPFE=ZPBE+ZBPF,ZPEF=ZBAC+ZACE,ZBPF=ZBAC=45°,ZACE=ZPBF=15°，且BP=BC=AC,??△BPF■今ACAP(ASA)?PF=AE,PE=AE,ZPEA=180°-ZBEP=120°,\ZEPA=ZPAE=30°,ZZEPA=ZPCA+ZPAC=30°,?,ZPCA=ZPAC=15°,???PC=PA.解:(l)TBC=5cm,BP=4cm,?PC=1cm，?AB=PC,TDP丄AP,??.ZAPD=90°,.\ZAPB+ZCPD=90°,VZAPB+ZCPD=90°,ZAPB+ZBAP=90°,Z.ZBAP=ZCPD,在PCD中，rZB=ZCZbap=Zcpd,;AB=PC???△ABP竺APCD,?BP=CD=4cm；(2)PB=PC,理由：如圖2,延長線段AP、DC交于點E,???DP平分ZADC,/.ZADP=ZEDP.DP丄AP,ZDPA=ZDPE=90°,在ADPA和ADPE中，rZAEP=ZEDPDP二DP,ZDF^ZDPE???△DPA竺ADPE(ASA),???PA=PE.TAB丄BP,CM丄CP,???ZABP=ZECP=RtZ.在厶APB和AEPC中，rZABP=ZECPJZAPB^ZEPC，;PA=PE△APB竺AEPC(AAS),?PB=PC；???APDC是等腰三角形，???△PCD為等腰直角三角形，即ZDPC=45°,又TDP丄AP,ZAPB=45°,?BP=AB=1cm，.?.P；C=BC-BP=4cm,?CD=CP=4cm，故答案為：4.(1)解：如圖①中，作CH丄y軸于H.?A(2,0),B(0,1),?OA=2,OB=1,??ZCHB=ZAOB=ZABC=90°,?ZABO+ZOAB=90°,ZABO+ZCBH=90°,???ZCBH=ZOAB,???AB=BC,???△AOB^ABHC(AAS),?CH=OB=1,OA=BH=2?OH=OB+BH=3，?C(1，3)．故答案為(1，3)．(2)證明：如圖②中,???△DBE,AABC都是等腰直角三角形，??ZDBE=ZABC=90°,BD=BE,BA=BC,???ZDBA=ZEBC,???△DBA竺AEBC(SAS),?EC=AD．(3)解：如圖②中，設CD交AB于J.△DBA竺AEBC,C,E,D共線，/.ZBCD=ZBAD,VZBCD+ZCJB=90°,ZCJB=ZAJD,???ZBAD；+ZAJD=90°,???ZADJ=90°,CD丄OA,???C(1,3),:、0D=1.解：設F(0，m)．由題意：g-?|m-1|?2=2,.??m=3或-1,???F(0,3)或(0,-1)解：(I)結論：BM=AN,BM丄AN.理由：如圖1中,VMP=AP,ZAPM=ZBPN=90°,PB=PN,???△MBP^AANP(SAS),?MB=AN.延長MB交AN于點C.?△MBP^^ANP,.\ZPAN=ZPMB,VZPAN+ZPNA=90°,AZPMB+ZPNA=90°,AZMCN=180°-ZPMB-ZPNA=90°,???BM丄AN.(II)結論成立理由：如圖2中@2???△APM,ABPN,都是等邊三角形??.ZAPM=ZBPN=60°???ZMPB=ZAPN=120°,又?.?PM=PA,PB=PN,???△MPB竺AAPN(SAS)?MB=AN．(HI)如圖3中，取PB的中點C,連接AC,AB.???△APM,APBN都是等邊三角形???ZAPM=ZBPN=60°,PB=PN??點C是PB的中點，且PN=2PM,???PC=PA=PM=^PB?=*PN,VZAPC=60°,???△APC為等邊三角形，Z.ZPAC=ZPCA=60°,又???CA=CB,?ZCAB=ZABC=30°,.\ZPAB=ZPAC+ZCAB=90°.(1)證明：如圖1中，作AH丄AG交BG于H.???ZBAC=ZHAG=90°,???ZBAH=ZCAG,BG丄CG,??.ZEAB=ZEGC=90°,ZAEB=ZCEG,???ZABH=ZACG,?AB=AC,/.△ABH^AACG(ASA),?AH=AG,AF丄FG,ZHAG=90°,?FH=FG,?AF=FG=FH．(2)解：結論：AG=2DF,DF丄AG.理由：如圖2中，連接AD,DG,作DK丄BG于K.VZBAC=ZBGC=90°,BD=CD,???DA=DG=*BC,?DF=DF,AF=FG,???△DFA竺ADFG(SSS),.\ZADF=ZGDF,:.DF丄AG,???DK〃CG,BD=DC,???△AEF竺ACGE(AAS),???AF=CG=2DK,△ADF^AGDF,??.ZAFD=ZGFD=135°,VZAFK=90°,???ZDFK=45°,???DF=???AG=刼，?AG=2DF．(3)由(2)可知:CG=2DK,DF=.2DK,DF=邁DK=^??歷=2DK=丁解:(l)???AB=A；C,ZBAC=90°,AZABC=ZACB=45°,??ZDAE=ZBAC,???ZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,???△BAD竺ACAE(SAS)AZABC=ZACE=45°,/.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,故答案為:90；(2)VZBAC=60°,AB=AC,???△ABC為等邊三角形，/.ZABD=ZACB=60°,*/ZBAC=ZDAE,???ZBAD=ZCAE,在AABD和AACE中，???ZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,???△ABD竺AACE(SAS),??.ZABD=ZACE=60°,ZBCE=ZACE+ZACB=60°+60°=120°,故答案為：120．(3)①a+B=180°,理由：???ZBAC=ZDAE,???ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.即ZBAD=ZCAE.AB=AC在AABD與AACE中，《二ZCAE,;AD=AE???△ABD今AACE(SAS),/.ZB=ZACE.ZB+ZACB=ZACE+ZACB.???ZACE+ZACB=B,.?.ZB+ZACB=B,???a+ZB+ZACB=180°,???a+B=180°.②如圖1：當點D在射線BC上時，a+B=180°,連接CE,*/ZBAC=ZDAE,??ZBAD=ZCAE,在AABD和AACE中，AB二AC.ZBAD=ZCAE,;AD=AE???△ABD竺AACE(SAS),.\ZABD=ZACE,在AABC中，NBAC+NB+NACB=180°,.\ZBAC+ZACE+ZACB=ZBAC+ZBCE=180°,即：ZBCE+ZBAC=180°,???a+B=180°,如圖2：當點D在射線BC的反向延長線上時，a=B.連接BE,厶K?/ZBAC=ZDAE,???ZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,???△ABD竺AACE(SAS),/.ZABD=ZACE,/.ZABD=ZACE=ZACB+ZBCE,?ZABD+ZABC=ZACE+ZABC=ZACB+ZBCE+ZABC=180°,*/ZBAC=180°-ZABC-ZA'CB,???ZBAC=ZBCE.??a=B；綜上所述：點D在直線BC上移動，a+B=180°或0=8.解:(l)T(m-n)2b|m+n-8|=0,?m=n=4，故答案為：4，4(2)如圖1,過點C作CH丄OA,CG丄0B,?:點A(0,4)和點B(4,0),???0A=0B=4,???S=^-X4X4=8,△ABO???△AOC的面積為2,??丄AOXCH=2-X4XCH=2,S=6=2-XOBXCG=±X4XCG,△BOCCH=1,CG=3,?點C(1，3)，?DC=OC，?點D(2，6)(3)①???OA=OB=4,ZAOB=90°,???ZOAB=ZOBA=45°,BE平分ZABO,???ZEB0=ZEBC，且BE=BE,OB=OC,???△OBE竺ACBE(SAS)?ZEOB=ZECB=90°，???ZACE=90°，且ZOAB=45°,?ZCAE=ZAEC=45°，AC=CE,且ZACE="90°,???△ACE是等腰直角三角形；②如圖2,作OM平分ZAOB,交BE于點虬???0M平分NAOB,???ZA0M=ZB0M=45°,???ZAOM=ZBOM=ZOAB=ZOBA,“???OB=OC,BE平分ZAB0,ZAB0=45°,???Z0BE=22.5°,BE丄OC,ZCOB=ZOCB=67.5°,???ZAOC=22.5°=ZCOM,Z.ZAOC=ZBOM,且OB=OA,ZOAB=ZOBM,.?.△ACO^^OMB(ASA)?BM=OC,VZEF0=ZMF0=90°,OF=OF,ZAOC=ZCOM,???△EFO竺AMFO(ASA)?EF=FM,???BF-EF=BF-FM=BM=OC.(1)證明:?(-1,0),C(1,0),?OB=OC=1，TOD丄BC,?BD=CD，/.ZBDC=2ZBD0,VZBAC=2ZBD0,??ZBDC=ZBAC,*/ZBAC+ZABD=ZAFD=ZBDC+ZACD,???ZABD=ZACD.(2)作DN丄AE,垂足為N.???DM丄AC于點M,???ZDNB=ZDMC=90°,在AONB和ADMC中，rZDNB=ZDMCZABD^ZACD,;BD=CD???△DNB竺ADMC(AAS),?DN=DM，又???DN丄AE于N,DM丄AC于點M,???AD平分ZCAE.(3)?DG=AD,???ZDAG=ZDGA,AD平分ZCAE,???ZDAG=ZDAE.???ZDGA=ZDAE.ZDAE+ZDAB=ZDGA+ZDGC=180°,?ZDAB=ZDGC，在ADAB和ADGC中，rZDAB=ZDGC；ZABD=ZACD,lBD=CD???△DAB竺ADGC(AAS)?AB=CG.(1)證明：如圖(1),???ZABC+ZADC=180°,ZADE+ZADC=180°,C圖門)Z.ZABC=ZADE,在AABC與AADE中，rZBAC=ZDAEAB=AD,???△ABCqAADE(ASA).*.AC=AE.(2)證明：如圖(1),???△ABC今△ADE,AC=AE,Z