第3節變量間的相關關系與統計案例最新考綱1.會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系；2.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數公式不要求記憶)；3.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表)的基本思想、方法及其簡單應用；4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.知

識

梳

理1.相關關系與回歸分析回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法；判斷相關性的常用統計圖是：___________；統計量有相關系數與相關指數.(1)在散點圖中，點散布在從___________到___________的區域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關.(2)在散點圖中，點散布在從___________到___________的區域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關.(3)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在___________附近，稱兩個變量具有線性相關關系.散點圖左下角右上角左上角右下角一條直線2.線性回歸方程距離的平方和斜率3.回歸分析相關關系正相關負相關越強r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.通常|r|大于______時，認為兩個變量有很強的線性相關性.0.754.獨立性檢驗(1)利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量__________”的方法稱為獨立性檢驗.(2)列聯表：列出的兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表.假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數列聯表(2×2列聯表)為

y1y2總計x1ab__________x2cdc＋d總計a＋c__________a＋b＋c＋d則隨機變量K2＝_______________________，其中n＝____________為樣本容量.有關系a＋bb＋da＋b＋c＋d[微點提醒]基

礎

自

測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系.(

)(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗.(

)(4)事件X，Y關系越密切，則由觀測數據計算得到的K2的觀測值越大.(

)答案

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√2.(選修2－3P91探究改編)為調查中學生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視.在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關時，用下列哪種方法最有說服力(

) A.回歸分析

B.均值與方差 C.獨立性檢驗

D.概率

解析

“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關，應用獨立性檢驗判斷.

答案

C3.(選修2－3P85講解改編)兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數R2如下，其中擬合效果最好的模型是(

) A.模型1的相關指數R2為0.98 B.模型2的相關指數R2為0.80 C.模型3的相關指數R2為0.50 D.模型4的相關指數R2為0.25

解析在兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關指數R2越近于1，模擬效果越好，在四個選項中A的相關指數最大，所以擬合效果最好的是模型1.

答案

A4.(2019·焦作模擬)已知變量x和y的統計數據如下表：x34567y2.5344.56答案C5.(2015·全國Ⅱ卷)根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結論不正確的是(

)A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關解析對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確.對于B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確.對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確.由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關，D不正確.答案D6.(2019·丹東教學質量監測)某校為了研究學生的性別和對待某一活動的態度(支持與不支持)的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算K2＝6.705，則所得到的統計學結論是：有________的把握認為“學生性別與支持該活動沒有關系”(

)A.99.9% B.99%

C.1% D.0.1%解析因為6.635<6.705<10.828，因此有1%的把握認為“學生性別與支持該活動沒有關系”，故選C.答案CP(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828考點一相關關系的判斷【例1】(1)觀察下列各圖形，其中兩個變量x，y具有相關關系的圖是(

)A.①②

B.①④

C.③④

D.②③(2)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數r與殘差平方和m如下表：

甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學的試驗結果體現A，B兩變量有更強的線性相關性(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁解析(1)由散點圖知③中的點都分布在一條直線附近.④中的點都分布在一條曲線附近，所以③④中的兩個變量具有相關關系.(2)在驗證兩個變量之間的線性相關關系時，相關系數的絕對值越接近于1，相關性越強，在四個選項中只有丁的相關系數最大；殘差平方和越小，相關性越強，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗結果體現了A，B兩變量有更強的線性相關性.答案(1)C

(2)D【訓練1】(1)已知變量x和y滿足關系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關.下列結論中正確的是(

) A.x與y正相關，x與z負相關 B.x與y正相關，x與z正相關 C.x與y負相關，x與z負相關 D.x與y負相關，x與z正相關(2)x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________.解析(1)由y＝－0.1x＋1，知x與y負相關，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負相關.答案(1)C

(2)①②考點二線性回歸方程及應用【例2】

(2018·日照調研)某地隨著經濟的發展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設銀行連續五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1：年份x20132014201520162017儲蓄存款y(千億元)567810表1為了研究計算的方便，工作人員將上表的數據進行了處理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2：時間代號t12345z01235表2(1)求z關于t的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達多少？所以預測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達15.6千億元.【訓練2】

(2018·全國Ⅱ卷)如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖.(2)利用模型②得到的預測值更可靠.理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環境基礎設施投資額的趨勢.2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，(ⅱ)從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠.以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.考點三獨立性檢驗【例3】

(2019·湖南長沙雅禮中學、河南省實驗中學聯考)環境問題是當今世界共同關注的問題，我國環保總局根據空氣污染指數PM2.5濃度，制定了空氣質量標準：空氣污染指數(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空氣質量等級優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染某市政府為了打造美麗城市，節能減排，從2010年開始考察了連續六年11月份的空氣污染指數，繪制了頻率分布直方圖，經過分析研究，決定從2016年11月1日起在空氣質量重度污染和嚴重污染的日子對機動車輛限號出行，即車牌尾號為單號的車輛單號出行，車牌尾號為雙號的車輛雙號出行(尾號是字母的，前13個視為單號，后13個視為雙號).王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質量良好與中度污染的天氣中抽取6天，再從這6天中隨機抽取2天，求至少有一天空氣質量是中度污染的概率；(3)該市環保局為了調查汽車尾氣排放對空氣質量的影響，對限行兩年來的11月份共60天的空氣質量進行統計，其結果如下表：空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數112711731根據限行前6年180天與限行后60天的數據，計算并填寫2×2列聯表，并回答是否有90%的把握認為空氣質量的優良與汽車尾氣的排放有關.

空氣質量優、良空氣質量污染總計限行前

限行后

總計

參考數據：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879解(1)因為限行分單雙號，王先生的車被限行的概率為0.05，所以空氣重度污染和嚴重污染的概率應為0.05×2＝0.1，由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因為空氣質量良好與中度污染的天氣的概率之比為0.3∶0.15＝2∶1，按分層抽樣的方法從中抽取6天，則空氣質量良好的天氣被抽取的有4天，記作A1，A2，A3，A4，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天，記作B1，B2，從這6天中隨機抽取2天，所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15個，記事件A為“至少有一天空氣質量是中度污染”，則事件A所包含的