第一章

集合與常用邏輯用語(yǔ)1.4充分條件與必要條件

一般地，在數(shù)學(xué)中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題.其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題.命題下列命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？思考（1）若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形；形式“若p，則q”命題（2）若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；（3）若，則；（4）若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b.充分條件與必要條件

一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)我們就說p可以推出q，記作pq,并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果“若p，則q”為假命題，是指由條件p不能推出結(jié)論q，記作p

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q.此時(shí)我們說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.下列命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？例1（1）若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；（2）若兩個(gè)三角形的三邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似；（4）若，則；（3）若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直.（5）若，則；（6）若，為無理數(shù)，則為無理數(shù).舉反例是判斷一個(gè)命題是假命題的重要方法.充分條件下列命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？舉例（1）若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；（2）若四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；（3）若四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；（4）若四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形.一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.結(jié)論一般來說，對(duì)給定結(jié)論q，使得q成立的條件p是不唯一的.例如，平行線的判定定理充分條件下列命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？例2（1）若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等；（2）若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；（4）若，則；（3）若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形.（5）若，則；（6）若為無理數(shù)，則，為無理數(shù).必要條件下列命題中，哪些命題中的p是q的必要條件？舉例（1）若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等；（2）若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；（3）若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等；（4）若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分.一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.結(jié)論一般來說，對(duì)給定條件p，由p可以退出的結(jié)論q是不唯一的.例如，平行線的性質(zhì)定理必要條件下列各組p是q的什么條件？（1）p：a是2的倍數(shù)q：a是偶數(shù)探究舉例（2）p：兩條邊相等的三角形

q：等腰三角形充要條件顯然如果p是q的充要條件，那么q也是p的必要條件.如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有pq，又有qp，就記作pq.此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件.下列命題中，哪些p是q的充要條件？例2（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分；（2）p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形的三邊成比例；（3）p：xy>0，p：x>0，y>0；充要條件（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，q：a+b+c=0(a≠0).充要條件證明思路證明p是q的充要條件（1）充分性：（2）必要性：充分、必要、充要條件的判斷方法（1）定義法：（2）集合法：④若pq，qp，則p是q的①若pq，qp，則p是q的②若pq，qp，則p是q的③若pq，qp，則p是q的對(duì)于集合A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}①若A?B，則p是q的②若A?