mm-讓章節名第五章留數學時安6時教學要理解孤立奇點的念并掌握判別孤立奇點類別的方法理解留數的定義熟練掌握計算留數的方法理解留數基本定理熟練掌握用留數理論計算積分。教學內：理解孤立奇點的概念，掌握判別孤立奇點類別的方法2．了解解析函數在其孤立奇點鄰域內的性質3．理解留數的定義4．熟練掌握計算留數的方法；5．理解留數基本定理，熟練掌握用留數理論計算積分。教學重留數的定義，留數的計算教學難用留數理論計算積分教學手課堂講授教學過第五章留§1孤立奇1.相關定義定義1點a函數f()若f)在點域0內解析，則稱為函數(z)的孤立奇點．定義2

設a函數()孤立奇點：⑴若f()點a羅朗級數的主要部分為零，則稱a為f(z可去奇點；⑵若f()點a羅朗級數的主要部分有有限多項，設為ccc(z)(z)z

,

0則稱)m（階）極點；⑶若f()點a羅朗級數的主要部分有無限多項稱a為f)的本性奇點．sinez例依定義點z0為的可去奇點點0的二級極點點z2

1

的本性奇點．2.函數在孤立奇點的去心鄰域內的性質⑴函數在可去奇點的去心鄰域內的性質定理1

若a(z孤立奇點，則下列三個條件是等價的：①a為f(z)的可去奇點；-讓limf(z；③函數f()的某個去心鄰域內有界．⑵函數在極點的去心鄰域內的性質定理2

若a(z孤立奇點，則下列三個條件是等價的．a為f()m極點；f(z)在a的某個去心鄰0內可表示為f(z)

h()(z)

其中h()在a的鄰域zR內解析，(a01③a為級點（可去奇點視作解析點時fz定理3

a為函數f()的極點的充分必要條件是limf(za⑶函數在本性奇點的去心鄰域內的性質定理4a為函數f()的本性奇點的充分必要條件limf(z)不存在，即當z，(z既不趨于有限值，也不趨于定理5

若a(z本性奇點)在a充分小的鄰域內不為零，1則為的本性奇點．fz例

設fz)5(1

，試求()復平面上的奇點，并判定其類別．解

首先，求f()奇點．(z)的奇點出自方程1

的解．解方程得Ln((2ki,k0000-讓若設zi則易為(z)孤立奇點．另外，因(1z)

0z)

0

所以，由零點的定義為1kf(z)的一級極點．§2留數

的一級零點．從而z(k,均為1定3

設a為函數f()孤立奇點，為圓周：z

，若f(z)在0

上解析，則稱i

c

f(為()點a的留數（或殘數作Res(,)a)即Res(f,)

i

c

f()d2留數計算規則：規則1如果為f(z的一級極點，那Res(f)z)z.規則2如果為f(z的級極點，那么1d,z)lim{()(mz

m

f()}.規則3設f(z)

(z)(z)

)及z在z解析，如果z0，Q(00

，

'

()，么為f(z的一級極點，而0(),)00()0例1

設(z)

5

，f,．解法1

由定義**-讓Res(f,0)

i

zz

i

z

5zz

)

z1注意：這里的積分路徑的半徑并非只能取，只須使半徑小于1即可滿足定4義的條件．解法2

因點

10為()孤立奇點，所以，在N):0內有335(f(z)12nzn2nzn由此2依（）式f,．解法3

因點z0()一級極點，則按規則1,0)lim0

5(解法4

因點0(z

5

的一級極點，則按規則33，定義4

5zRes(f0){}[z設z函數f(z)的孤立奇點，為圓周：

，若f(z)Rz

)，則稱331n1n22331n1n22-讓i

c

f()d為函數()點z的留數（或殘數Res(,，即f,

i

c

f(規則4例2解

1f()(),z2設f(z),．取圓c:由（）式得12iez

dz

11iez

dz4，定理6

設區G是由圍的內部構成（如圖函數f(zG內除含有限個奇,a外解析，且G除a,,a外連續，則1nc

fzziRes(a)jj?

c

??

c

c

?

cG

c5，定7如果函數()擴充復平面內只有有限個孤立奇點，那么f()在有各奇點（包點）的留數的總和必等于零。例3

計算積分

2iz2

dza．解

首先，弄清被積函數在積分路徑內部有無奇點．

出被積jj-讓函數的奇點有a與a21因，所以，，又因故z，即在積分路徑內部只有被221積函數的一個奇點．其次，經檢驗，得

z

2iaz

dzi

z

2iaz

z)i)1za2

2i(z)(z)12

]§3留數在積分計算上應用1.形如

2π

R(cos

積分0通過一定的轉化，可得

2π

(z)dz0

z例

計算I

20

cos212

dpR(x)dx的積2.形如通過一定的轉化，可得R(xx

()(z)

nPz)dx2iz)Q(z)j例4

計算積分

4

2

2

dx．解

經驗證，此積分可用公式一計算．首先，求出

()Qz)z

4

z2

2

在上半平面的全部奇點．令42即z

4

2

(

4

2

2z

2

2

2jj-讓(z

2

2

于是，

(z)(z)

在上半平面的全部奇點只有兩個：13i與i222且知道與均為

(z)(z)

的一級極點．其次，算留數，有()zQ(z)(zz

13i43i()z2Res(lim(zQ(z)z(zz

13i43i最后，將所得留數代入公式得

2()(z)dx,Res(4xQ(z)(3

3.形如

(x)exdx(ax)

(x(x)

)的分

(x)(x)

nPz)eikxdx2eikz,)Q(z)j例5

計算積分

2

eix

2

dx,a0解經驗證，該積分可用公式二計算．eiz首先，求出輔助函數(z)在上半平面的全部奇點．-讓由

2

2

0解得zaizi為f()奇點，而0所以，fz)在上半平面只有一個奇點其次，計算留數．有

ai

且ai為fz)的一級極點．eizRes(,i)i)2zai

eiz(zi)

eai最后，由公式得

2

ei

2

dxi

2

ei

2

ai)

于是容易得到

d與e