3.2雙曲線第三章圓錐曲線的方程目錄二、知識講解三、小結四、練習一、上節回溯一、上節回溯橢圓及其標準方程對稱性頂點橢圓的定義橢圓的標準方程范圍離心率橢圓橢圓的簡單幾何性質3.2.1雙曲線及其標準方程二、知識講解我們知道，平面內與兩個定點F1，F2

的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡是橢圓．一個自然的問題是：平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？下面我們先用信息技術探究一下．二、知識講解

如圖，在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點．在平面內，取定點F1，F2，以點F1

為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2

為圓心、線段PB為半徑作圓．我們知道，當點P在線段AB上運動時，如果|F1F2|<|AB|，那么兩圓相交，其交點M的軌跡是橢圓；如果|F1F2|>|AB|，兩圓不相交，不存在交點軌跡．探究3.2.1雙曲線及其標準方程PAlBPA＝3.92MF1＝3.92PB＝0.93MF2＝0.93PA＋PB＝4.85MF1＋MF2＝4.85PF1F2MM′二、知識講解如圖，在|F1F2|>|AB|的條件下，讓點P在線段AB外運動，這時動點M滿足什么幾何條件？兩圓的交點M的軌跡是什么形狀？探究3.2.1雙曲線及其標準方程AlBPA＝5.97MF1＝5.97PB＝1.12MF2＝1.12PA－PB＝4.85MF1－MF2＝4.85PF1F2MM′二、知識講解我們發現，在|F1F2|>|AB|的條件下，點P在線段AB外運動時，當點M靠近定點F1

時，|MF2|－|MF1|＝|AB|；當點M靠近定點F2時，|MF1|－|MF2|＝|AB|．總之，點M與兩個定點F1，F2距離的差的絕對值|AB|是一個常數（|AB|<|F1F2|）．這時，點M的軌跡是不同于橢圓的曲線，它分左右兩支．

一般地，我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．3.2.1雙曲線及其標準方程二、知識講解類比求橢圓標準方程的過程，我們如何建立適當的坐標系，得出雙曲線的方程？探究觀察我們畫出的雙曲線，發現它也具有對稱性，而且直線F1F2

是它的一條對稱軸，所以我們取經過兩焦點F1

和F2

的直線為x軸，線段F1F2

的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系Oxy．3.2.1雙曲線及其標準方程xyOMF2F1二、知識講解設M(x，y)是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c(c>0)，那么，焦點F1，F2

的坐標分別是(－c，0)，(c，0)，又設||MF1|－|MF2||＝2a（a為大于0的常數）．3.2.1雙曲線及其標準方程xyOMF2F1

二、知識講解3.2.1雙曲線及其標準方程

二、知識講解3.2.1雙曲線及其標準方程從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點的坐標(x，y)都是方程②的解；以方程②的解為坐標的點(x，y)與雙曲線的兩個焦點F1(－c，0)，F2(c，0)的距離之差的絕對值都是2a，即以方程②的解為坐標的點都在雙曲線上．我們稱方程②是雙曲線的方程，這個方程叫做雙曲線的標準方程．它表示焦點在x軸上，焦點分別是F1(－c，0)，F2(c，0)的雙曲線，這里c2＝a2＋b2．二、知識講解3.2.1雙曲線及其標準方程

類比焦點在y軸上的橢圓的標準方程，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？？思考

xyOMF2F1二、知識講解3.2.1雙曲線及其標準方程

二、知識講解3.2.1雙曲線及其標準方程例2已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．分析：先根據題意判斷軌跡的形狀．由聲速及A，B兩處聽到炮彈爆炸聲的時間差，可知A，B兩處與爆炸點的距離的差為定值，所以爆炸點在以A，B為焦點的雙曲線上．因為爆炸點離A處比離B處遠，所以爆炸點應靠近B處的雙曲線的一支上．xyOPBA二、知識講解3.2.1雙曲線及其標準方程

利用兩個不同的觀測點A，B測得同一點P發出信號的時間差，可以確定點P所在雙曲線的方程．如果再增設一個觀測點C，利用B，C（或A，C）兩處測得的點P發出信號的時間差，就可以確定點P所在另一雙曲線的方程．解這兩個方程組成的方程組，就能確定點P的準確位置，這是雙曲線的一個重要應用．二、知識講解3.2.1雙曲線及其標準方程

探究xyOMBA二、知識講解3.2.2

雙曲線的簡單幾何性質

？思考二、知識講解1．范圍類比研究橢圓范圍的方法，觀察雙曲線，我們發現雙曲線上點的橫坐標的范圍是x≤－a，或x≥a，縱坐標的范圍是y∈R（如圖）．

xyOx＝－aF2F1x＝a二、知識講解2．對稱性

二、知識講解3．頂點類比求橢圓頂點的方法，在方程①中，令y＝0，得x＝±a，因此雙曲線和x軸有兩個交點A1(－a，0)，A2(a，0)．因為x軸是雙曲線的對稱軸，所以雙曲線和它的對稱軸有兩個交點，它們叫做雙曲線的頂點．令x＝0，得y2＝－b2，這個方程沒有實數解，說明雙曲線和y軸沒有公共點，但我們也把B1(0，－b)，B2(0，b)兩點畫在y軸上（如圖）．

線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a，a叫做雙曲線的實半軸長；線段B1B2

叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b，b叫做雙曲線的虛半軸長．xyObF2F1aA1B1A2B2

探究二、知識講解4．漸近線

可以發現，點M的橫坐標xM越來越大，d越來越小，但是d始終不等于0．xyOdF2F1QA1B1A2B2M二、知識講解4．漸近線

xyOdF2F1QA1B1A2B2M二、知識講解4．漸近線

二、知識講解5．離心率

橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？？思考

用雙曲線漸近線的斜率能刻畫雙曲線的“張口”大小嗎？它與用離心率刻畫“張口”大小有什么聯系和區別？？雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小．二、知識講解例3求雙曲線9y2－16x2＝144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．

二、知識講解例4雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面（圖（1））．它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試建立適當的坐標系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）．(1)xyOA′BAB′C′C131225(2)二、知識講解

xyOA′BAB′C′C131225(2)二、知識講解

二、知識講解

xyOMFHld二、知識講解

xyOMFHld

將例5與橢圓一節中的例6比較，你有什么發現？？思考二、知識講解

解：由