第三章

§3.2立體幾何中的向量方法第3課時用空間向量解決空間角與距離問題問題導學知識點一空間三種角的向量求法空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應的取值范圍，結合它們的取值范圍可以用向量法進行求解.角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則cosθ＝

＝______|cos〈a，b〉|直線與平面所成的角設直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sinθ＝

＝_____二面角設二面角α－l－β為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cosθ|＝

＝[0，π]|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|知識點二利用空間向量求距離(※)點到平面的距離：用空間向量法求點到平面的距離具體步驟如下：先確定平面的法向量，再求點與平面內一點的連線形成的斜線段在平面的法向量上的射影長.如圖，設n＝(a，b，c)是平面α的一個法向量，P0(x0，y0，z0)為α外一點，P(x，y，z)是平面α內的任意一點，則點P0到線面距離、面面距離都可以轉化為點到平面的距離，因此，只要掌握點到平面距離的求法，就可解決其他的距離問題. [思考辨析判斷正誤](1)直線與平面所成的角α與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角β互余.(

)××(3)二面角的大小等于其兩個半平面的法向量的夾角的大小.(

)×√題型探究例1

(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為________.類型一求線線角、線面角答案解析解析

如圖所示，以C為坐標原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標系Cxyz.(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分別為PC，PB的中點.①求證：PB⊥DM；證明證明

如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Axyz，設BC＝1，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，∴PB⊥DM.②求BD與平面ADMN所成的角.解答又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，∴PB⊥平面ADMN.跟蹤訓練1

(1)已知在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則AB1與D1E所成角的余弦值為答案解析√解析

∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(2)如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.①證明：AB⊥A1C；證明證明

取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B.∵CA＝CB，∴OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，∴OA1⊥AB.∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.解答解

由①知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，OC?平面ABC，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直.以O為坐標原點，OA，OA1，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.設n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，解答類型二求二面角問題例2如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求二面角A－A1D－B的余弦值.解

取BC的中點O，連接AO，因為△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O為坐標原點，分別以OB，OO1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，設平面A1AD的法向量為n＝(x，y，z)，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，且BD∩BA1＝B，所以AB1⊥平面A1BD，又二面角A－A1D－B為銳二面角，解答解

以C為坐標原點，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，取PB的中點D，連接DC，可知DC⊥PB，作AE⊥PB于點E，解答類型三解決距離問題(※)例3已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別是C1C，D1A1，AB的中點，求點A到平面EFG的距離.解

以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0).設n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，點A到平面EFG的距離為d，解答跟蹤訓練3如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F求D1A1到平面EFGH的距離.解

因為點E，F分別為BB1，CC1的中點，所以EF∥B1C1∥A1D1.又因為A1D1?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH，所以D1A1到平面EFGH的距離即為點D1到平面EFGH的距離.以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設平面EFGH的法向量為n＝(x，y，z)，令z＝6，可得n＝(0，－1,6).設D1A1到平面EFGH的距離為d，連接D1F，達標檢測答案解析12345A.30° B.60° C.120° D.150°√解析

設l與α所成的角為θ，答案12345解析解析

由于二面角的范圍是[0，π]，而二面角的兩個半平面α與β的法向量都有兩個方向，√答案解析3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為12345√解析

取AC的中點E，連接BE，則BE⊥AC，以B為坐標原點，BE，BB1所在直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，∴BE⊥平面AA1C1C，12345設AD與平面AA1C1C所成角為α，12345答案解析4.設a，b是直線，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上，a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，則α，β所成二面角中較小的一個角的余弦值為12345解析

設α，β所成二面角中較小的一個角為θ，________.答案解析12345弦值為_____.解析

過C點作CO⊥平面ABDE，垂足為點O，取AB的中點F，連接CF，OF，則∠CFO為二面角C－AB－D的平面角.以O為坐標原點，OA，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，12345123451.向量法求角(1)兩條異面直線所成的角θ可以借助這兩