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2.5.1向量在平面幾何中的應用平面幾何中的向量方法

向量的概念和運算，都有明確的物理背景和幾何背景。當向量與平面坐標系結合以后，向量的運算就可以完全轉化為“代數”的計算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運算及數量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。例1.如圖，已知平行四邊形ABCD中，E、F在對角線BD上，并且BE=FD，求證AECF是平行四邊形。

證明：由已知設即邊AE、FC平行且相等，AECF是平行四邊形（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：簡述：形到向量向量的運算向量和數到形練1.求證平行四邊形對角線互相平分．

證明：如圖，已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于M，設則

根據平面向量基本定理知，這兩個分解式是相同的，所以解得

所以點M是AC、BD的中點，即兩條對角線互相平分.練2.已知非零向量,和滿足則△ABC為（）（A）等邊三角形（B）等腰非直角三角形（C）非等腰三角形（D）等腰直角三角形練習1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設，則

分析：因為平行四邊形對邊平行且相等，故設其它線段對應向量用它們表示。∴3.若O為△ABC所在平面內一點，且滿足(-)·(+-2)=0,則△ABC的形狀為_____.【解析】由已知∴△ABC為等腰三角形.答案:等腰三角形練習1.已知正方形ABCD，P為對角線AC上任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，連接DP、EF，求證DP⊥EF。

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