4.4對數函數4.4.3不同函數增長的差異

復習引入

思考：在前面，我們學習過的一次函數、指數函數、對數函數，這些函數在情況下的是增函數？

雖然它們都是增函數，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現實問題具有不同增長規律的反映.如果我們知道不同函數增長方式的差異，就可以根據現實問題中的增長情況，選擇合適的函數模型來刻畫其變化規律。

下面就來研究一次函數，指數函數，對數函數內增長方式的差異.知識探究

問題1：選取適當的指數函數與一次函數，探索它們在區間[0,+∞)上增長差異，你能描述一下指數函數的增長的特點嗎？列表xy=2xy=2x00.511.522.53...11.41422.82845.65780123456......描點，連線得圖象1239876543212.觀察兩個函數圖象及其增長方式,回答下面問題：(1)兩函數圖象的交點是什么？(2)兩圖像的關系是什么？(3)總結兩圖像增長變化情況？

函數y=2x與y=2x有兩個交點：(1,2)，(2,4)；

在區間[0,1)上，y=2x的圖象位于y=2x上方；

在區間(1,2)上，y=2x的圖象位于y=2x下方；

在區間(1,2)上，y=2x的圖象位于y=2x下方。y=2x與y=2x都是增函數，但是它們的增長速度不同。函數y=2x的增長速度不變，y=2x的增長速度是變化的。(4)當自變量x值越來越大時，兩個函數圖象的關系會怎樣？2.觀察兩個函數圖象及其增長方式,回答下面問題：(4)當自變量x值越來越大時，兩個函數圖象的關系會怎樣？

隨著自變量x的取值越來越大，y=2x的圖象幾乎會與x軸垂直，函值快速增長，而y=2x的圖象仍是勻速向上延伸，函數增長速度不變，這與y=2x的增長速度相比幾乎微不足道.2.觀察兩個函數圖象及其增長方式,回答下面問題：(5)考查2x與

2x的大小，你認為是否存在一個x0，當x>x0時，恒有2x>2x?(6)類比上述能否推廣到一般情況？

盡管在

x的一定范圍內,2x<2x,但由于y=2x的增長最終會快于

y=2x的增長,因此,總會存在一個x0,當x>x0時,恒有2x>2x.

函數

y=2x與

y=2x在[0,+∞)上都是單調遞增，但它們的增長速度不同，而且不在一個“檔次”.

隨著x的增大，y=2x的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.結論一結論二

問題2：選取適當的對數函數與一次函數，探索它們在區間[0,+∞)上增長差異，你能描述一下指數函數的增長的特點嗎？列表/1.3041.4771.6021.6991.77810123456......描點，連線得圖象6543211020304050602.觀察兩個函數圖象及其增長方式,回答下面問題：(1)根據圖象分析兩函數增長快慢？(2)你能根據解析式進行分析嗎？lg10=1,lg100=2,lg1000=3，lg10000=4,...(3)類比上述能否推廣到一般情況？結論三

問題3：

(1)畫出一次函數y=2x，對數函數y=lgx和指數函數y=2x的圖象，并比較它們的增長差異？

函數y=2x，y=lgx與y=2x在(0,+∞)上都是單調遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.

y=2x在(0,+∞)上增長速度不變，函數y=lgx與y=2x在(0,+∞)上的增長速度在變化.函數y=2x的增長速度越來越快，圖象越來越陡，就像與x軸垂直一樣；函數y=lgx的增長速度越來越慢，圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.(2)概括一次函數y=kx(k>0)

,對數函數y=logax(a>1)和指數函數y=bx(b>1)的增長差異.

一般地，一次函數y=kx(k>0)

,對數函數y=logax(a>1)和指數函數y=bx(b>1)

在(0,+∞)上都是單調遞增，但它們的增長速度不同.

隨著x的增大，一次函數y=kx(k>0)保持固定的增長速度，而指數函數y=bx(b>1)的增長速度越來越快；對數函數y=logax(a>1的增長速度越來越慢.

不論b值比k值小多少，在一定范圍內，bx可能會小于kx，但由于y=bx的增長會快于y=kx的增長，因此總存在一個x0，當x>x0時，恒有bx>kx.；不論a值比k值大多少，在一定范圍內，logax可能會大于kx，但由于y=logax的增長會慢于y=kx的增長，因此總存在一個x0，當x>x0時，恒有kx>logax.(3)討論交流“直線上升”“對數增長”“指數爆炸”的含義．

(1)直線上升:y=kx(k>0)的增長方式

增長速度不變，是一個固定的值；(2)對數增長：y=logax(a>1)的增長方式

增長速度越來越慢，圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣；(3)指數爆炸：y=ax(a>1)的增長方式

增長速度越來越快，以相同倍數增加，圖象越來越陡，最終就像與x軸垂直一樣.例1.(1)隨著x的不斷增加，下列函數中增長速度最快的是(

)

A.y=2021x；B.y=x2021;C.y=log2021x;

D.y=2021x例析A(2)當我們在做化學實驗時，常常需要將溶液注入容器中，當溶液注入容器(設單位時間內流入的溶液量相同)時，溶液的高度隨著時間的變化而變化，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應_______；B對應_______；C對應_______；D對應_______.

(4)(1)(3)(2)例2.已知函數

f(x)=2x和

g(x)=x3的圖象如圖,設兩個函數的圖象相交于點A(x1,y1)和

B(x2,y2),且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應哪一個函數;(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由.(1)由指數函數與冪函數的增長速度知C1對應函數

g(x)=x3,

C2對應函數

f(x)=2x.(2)由圖象得

f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2)

當

x<x1時,2x>x3,即

f(x)>g(x);

當

x1<x<x2時,f(x)<g(x);

當

x>x2時,f(x)>g(x).∵

f(1)=2,g(1)=1,f(2)=4,g(2)=8∴由f(1)>g(1),f(2)<g(2)得

x1∈[1,2],即a=1.又∵f(9)=29=512,g(9)=93=729

f(10)=1024,g(10)=1000∴由f(9)<g(9),f(10)>g(10)得x2∈[9,10],即b=9.

綜上可知,a=1,b=9.解：例3.某化工廠開發研制了一種新產品,在前三個月的月生產量依次為100t,120t,130t.為了預測今后各個月的生產量,需要以這三個月的月產量為依據,用一個函數來模擬月產量y與月序數x之間的關系.根據以往的經驗，可選用二次函數模型y=f(x)(x∈N*)或指數函數模型y=g(x)(x∈N*),現在已知該廠這種新產品在第四個月的月產量為136t,則試問選用哪一個作為模擬函數較好?

設

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，則由題意得

同理,可設

g(x)=max+n(a>0且a≠1)∴f(x)=-5x2+35x+70.當x=4時,f(4)=-5×42+35×4+70=130g(4)=-80×0.54+140=135

由g(1)=100,g(2)=120,g(3)=130得

即g(4)在數值上更為接近第四個月的實際月產量.∴

選用指數函數模型較好.解：1.三個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數據如下表:則關于x呈指數型函數變化的變量是________

練習x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155y22.(1)(2)(3)分別是y=3x與y=5x在不同范圍內的圖象，估算出使3x>5x的x的取值范圍(參考數據：30.27=1.35,32.17=10.85).

(教材P39練習第1,2,3,4題)4.函數y=f(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)可能是（

）

3.如圖，對數函數y=lgx與一次函數y=f(x)的圖象有A，B兩個

公共點,求一次函數的解析式。

簡析：課堂小結

1.在探究不同函數的增長方式的過程中主要的數學思想方法有哪些？一般與特殊的思想方法；數形結合的思想方法2.說說一次函數，指數函數，對數函數增長方式的差異？

y=ax(a>1)y=logbx(b>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的單調性單調遞增增長速度越來越快越來越慢固定不變圖象的變化

隨x的增大逐漸變陡，幾乎與x軸垂直

隨x的增大逐漸變平，幾乎與x軸平行

圖象幾乎呈一條直線勻速上升形象描述指數爆炸對數增長直線上升增長結果

總存在一個x0,當x>x0時,有ax>kx>logbx4.對于冪函數y=xα(α>0)的增長方式，你有什么看法？(1)冪函數y=xα(α>0)增長快慢與α的大小有關;

(2)冪函數y=xα(α>0)的增長速度介于指數函數和對數函數之間.

(1)函數值的大小不等同于增長速度快慢，數值大不一定增長速度快，