第三章數列等比數列第講3(第二課時)1

題型3：等比數列性質的應用1.等比數列{an}的公比為，前n項和為Sn，n∈N*.若S2，S4-S2，S6-S4成等比數列，則其公比為()A.B.C.D.2設{an}的公比為q，首項為a1.由S2=a1+a1q，S4-S2=q2(a1+a1q)，S6-S4=q4(a1+a1q)，及S2，S4-S2，S6-S4成等比數列，可得其公比為故選A.3【點評】:等比數列有著許多同構性質，如①{an}是等比數列，則{a2n}也是等比數列，{akn+b}也是等比數列；②Sn是等比數列{an}的前n項的和，若Sm≠0，則數列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比數列.4設正項等比數列{an}的首項前n項和為Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0，求數列{an}的通項公式.5由已知得210(S30-S20)=S20-S10，即210·q10(S20-S10)=S20-S10.因為an＞0，所以S20-S10≠0，所以210·q10=1，所以從而6

題型4：等比數列與等差數列交匯7891011已知等差差數列{an}，a2=9，a5=21.(1)求數列{an}的通項公公式；(1)設數列{an}的公差為為d.依題意得得方程組組a1+d=9a1+4d=21，解得a1=5，d=4.所以數列列{an}的通項公公式為an=4n+1.12(2)令bn=2an，求數列列{bn}的前n項和Sn.由an=4n+1，得bn=24n+1，所以數列列{bn}是首項為為b1=25，公比q=24的等比數數列，于是得數數列{bn}的前n項和13題型5：等比數數列中的的探究性性問題3.已知數列列{an}中，Sn是其前n項和，并并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.(1)設數列列bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求證：：數列列{bn}是等比比數列列；(1)證明：：由Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，14兩式相相減，，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，即an+2=4an+1-4an.(根據bn的構造造，如如何把把該式式表示示成bn+1與bn的關系系是證證明的的關鍵鍵，注注意加加強恒恒等變變形能能力的的訓練練.)所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).15又bn=an+1-2an，所以以bn+1=2bn.①由S2=4a1+2，a1=1，得a1+a2=4a1+2，解得a2=5，則b1=a2-2a1=3.②由①和和②知知，數列{bn}是首項項為3，公比為為2的等比比數列列，故bn=3··2n-1.16(2)設數列(n=1,2,…)，求證：數數列{cn}是等差數列列；證明：因為為(n∈N*),所以又故故數列{cn}是首項為公公差為的的等等差數列，，所以17(3)求數列{an}的通項公式式及前n項和.因為又又所以所所以an=(3n-1)·2n-2.當n≥2時，Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2；當n=1時，S1=a1=1也適合上式式.綜上可知，，所求的前n項和為Sn=2n-1(3n-4)+2.18【點評】:1.本例主要復復習用等差差、等比數數列的定義義證明一個個數列為等等差、等比比數列，求求數列的通通項公式與與前n項和.解決本題的的關鍵在于于由條件Sn+1=4an+2得出遞推公公式.2.解綜合題要要總覽全局局，尤其要要注意上一一問的結論論可作為下下面論證的的已知條件件，在后面面求解的過過程中適時時應用.19已知數列{an}滿足：a1=1，a2=2，且數列{anan+1}是公比為q的等比數列列.設bn=a2n-1+a2n,數列{bn}的前n項和為Sn,試推斷是否否存在常數數k，使對任意意n∈N*，都有Sn=2bn+k成立？若存在，求求出k的值；若不存在，，說明理由由.20由已知即即所以數列a1，a3，a5，…，a2n-1，…和a2，a4，a6，…，a2n，…都是公比為為q的等比數列列.當q≠1時，Sn=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)21又bn=a1qn-1+a2qn-1=3qn-1，所以因為Sn=2bn+k，所以得得q=2，所以當q=1時，a2n-1=1，a2n=2，從而bn=3，Sn=3n，不滿足題題設條件，，故k=-3為所求.221.在等比數列列中，每隔隔相同的項項抽出來的的項按照原原來的順序序排列，構構成的新數數列仍然是是等比數列列.2.一個等比數數列的奇數數項，仍組組成一個等等比數列，，它的公比比是原數列