第47講排列與組合的綜合應用題【學習目標】1．進一步理解排列、組合的概念，了解計數原理的思想，熟練掌握排列、組合計算公式．2．提升綜合應用排列組合的知識解決一些簡單的應用問題的思維能力和分類討論的數學思想．【基礎檢測】1．某校開設10門課程供學生選修，其中A，B，C三門課程由于上課時間相同，至多選一門，學校規定，每位同學選修三門課程，則每位同學不同的選修方案種數是()

A．120B．98C．63D．56B【解析】分兩類：第一類，A，B，C三門課都不選，有C73＝35種方案，第二類，A，B，C中選一門，剩余7門課中選兩門，有C31C72＝63種方案，故共有35＋63＝98種方案．2．現有12件商品擺放在貨架上，擺成上層4件下層8件，現要從下層8件中取2件調整到上層，若其他商品的相對順序不變，則不同調整方法的種數是()A．420 B．560C．840 D．20160C【解析】從下層8件中取2件，有C82種取法，放到上層時，若這兩件相鄰，有A51A22種放法，若這兩件不相鄰，有A52處放法，所以不同調整方法的種數是C82(A51A22＋A52)＝840.故選C.3．從0，1，2，3中任取三個數字，組成無重復數字的三位數中，偶數的個數是____(用數字回答)．10【解析】考慮三位數“沒0”和“有0”兩種情況．(1)沒0：2必填個位，A22種填法；(2)有0：0填個位，A32種填法；0填十位，2必填個位，A21種填法．所以，偶數的個數一共有A22＋A32＋A21＝10個．4．已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，從這三個集合中各取一個元素，構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定不同點的個數為____．33【解析】若不考慮限定條件，確定的點的個數為C11C21C31A33＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個數確定的相同的點有三個．故所求的個數為36－3＝33.【知識要點】1．求解排列與組合的綜合應用題，通常有三條途徑：(1)以元素為分析對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素，即優元法；(2)以位置為分析對象，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置，即優位法．這兩種方法都是直接法；(3)先不考慮附加條件，計算出所有排列數或組合數，再減去不符合要求的排列數或組合數，即間接法．2．解決排列與組合應用題常用的方法有：直接計算法與間接計算法；分類法與分步法；元素分析法與位置分析法；插空法與捆綁法等．3．解答組合應用題的總體思路為：(1)整體分類，從集合的意義講，分類要做到各類的并集等于全集，以保證分類的不遺漏，任何兩類的交集等于空集，以保證分類的不重復，計算結果時用分類計數原理．(2)局部分步，整體分類以后，對每一類進行局部分步，分步要做到步驟連續，以保證分步的不遺漏，同時步驟要獨立，以保證分步的不重復，計算結果時用分步計數原理．(3)辯證地看待“元素”與“位置”．排列、組合問題中的元素與位置，沒有嚴格的界定標準，哪些事物看成元素或位置，要視具體情況而定．有時“元素選位置”，問題解決得簡捷；有時“位置選元素”，效果會更好．【解析】(1)無序不均勻分組問題．先選1本有C61種選法；再從余下的5本中選2本有C52種選法；最后余下3本全選有C33種選法，故分配方式有C61C52C33＝60種．(2)有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)題的基礎上，還應考慮再分配，分配方式有C61C52C33A33＝360種．【點評】這是一一個分分組問問題，，解決決此類類問題題的關關鍵是是正確確判斷斷分組組是均均勻分分組還還是不不均勻勻分組組，無無序均均勻分分組要要除以以均勻勻組數數的階階乘數數；還還要充充分考考慮到到是否否與順順序有有關，，有序序分組組要在在無序序分組組的基基礎上上乘以以分組組數的的階乘乘數．．C【解析】由題意意可知知，先先排工工序A，有2種編排排方法法；再再將工工序B和C視為一一個整整體(有2種順序序)與其他他3個工序序全排排列共共有2A44種編排排方法法．故故實施施順序序的編編排方方法共共有2×2A44＝96種．故故選C.(2)某人從從{O，P，Q，R}中選2個不同同字母母，從從{0，2，5，6，8}中選3個不同同數字字組成成車牌牌號，，要求求前三三位是是數字字，后后兩位位是字字母，，且數數字0不能排排在首首位，，O，Q不能同同時選選，字字母O和數字字0要求不不能相相鄰，，那么么滿足足要求求的車車牌號號有()A．528個B．504個C．456個D．288個C【解析】(1)不選數數字0有(2C21＋1)C43A33A22＝240個，(2)選數字字0不選字字母O有C32C42C21A22A22＝144個，(3)選數字字0也選字字母O有C21C42C21(A22＋1)＝72個，所所以共共有240＋144＋72＝456個．(3)研究性性學習習小組組有4名同學學要在在同一一天的的上、、下午午到實實驗室室做A，B，C，D，E五個操操作實實驗，，每位位同學學上、、下午午各做做一個個實驗驗，且且不重重復，，若上上午不不能做做D實驗，，下午午不能能做E實驗，，則不不同的的安排排方式式共有有()A．144種B．192種C．216種D．264種D【解析】根據題題意得得，上上午要要做的的實驗驗是A，B，C，E，下午午要做做的實實驗是是A，B，C，D，且上上午做做了A，B，C實驗的的同學學下午午不再再做相相同的的實驗驗，先先安排排上午午，從從4位同學學中任任選一一人做做E實驗，，其余余三人人分別別做A，B，C實驗，，有C41A33＝24種安排排方式式．再再安排排下午午，分分兩類類：①上午選E實驗的同學學下午選D實驗，另三三位同學對對A，B，C實驗錯位排排列，有2種方法，則則不同的安安排方式有有N1＝1×2＝2種；②上午選E實驗的同學學下午選A，B，C實驗之一，，另外三位位從剩下的的兩項和D一共三項中中選，但必必須與上午午的實驗項項目錯開，，有3種方法，則則不同的安安排方式有有：N2＝C31·3＝9種．于是，，不同的安安排方式共共有N＝24×(2＋9)＝264種．故選D.【點評】綜合應用排排列與組合合知識求解解的問題的的策略通常常是“先選后排”和“邊選邊排”兩種方法．．D【解析】從1，2，3，…，9這9個整數中同同時取4個不同的數數，其和為為偶數的取取法分為三三類；第一一類是取四四個奇數，，即C54＝5種取法；第第二類是取取兩個奇數數，兩個偶偶數，即C52C42＝60種取法；第第三類是取取四個偶數數，即C44＝1.故有5＋60＋1＝66種取法．故故選D.(2)只用1、2、3三個數字組組成一個四四位數，規規定這三個個數必須同同時使用，，且同一數數字不能相相鄰出現，，這樣的四四位數共有有()A．6個B．9個C．18個D．36個C【解析】對于1、2、3三個數組成成一個四位位數，其中中必有一個個數要重復復，從三個個中選一個個有C31種，這樣重重復的數有有2個，利用插插空法知共共有A33種，因此共共有3A33＝18個這樣的四四位數．(3)由1、2、3、4、5、6組成沒有重重復數字且且1、3都不與5相鄰的六位位偶數的個個數是()A．72B．96C．108D．144C【解析】先選一個偶偶數字排個個位，有3種排法，①若5在十位或十十萬位，則則1、3有三個位置置可排，共共有3A32A22＝24個，②若5排在百位、、千位或萬萬位，則1、3只有兩個位位置可排，，共3A22A22＝12個，算上個位偶偶數字的排排法，共計計3×(24＋12)＝108個．【點評】有關由若干干個數字組組成滿足某某條件的數數的問題通通常應用“特殊元素先先排法”或“減去法”，思考這類類問題時應應注意數字字“0”是否參與、、組成的數數是多少位位數、數字字使用時是是否可以重重復這三個個基本方面面．30【解析】根據A球所在位置置分三類：：①若A球放在3號盒子內，，則B球只能放在在4號盒子內，，余下的三三個盒子放放球C、D、E，則根據分分步計數原原理得，此此時有A33＝6種不同的放放法；②若A球放在5號盒子內，，則B球只能放在在4號盒子內，，余下的三三個盒子放放球C、D、E，則根據分分步計數原原理得，此此時有A33＝6種不同的放放法；③若A球放在4號盒子內，，則B球可以放在在2號、3號、5號盒子中的的任何一個個，余下的的三個盒子子放球C、D、E，有A33＝6種不同的放放法，根據據分步計數數原理得，，此時有A31A33＝18種不同的放放法．綜上上所述，由由分類計數數原理得不不同的放法法共有6＋6＋18＝30種．(2)如圖圖，，花花壇壇內內有有5個花花池池，，有有5種不不同同顏顏色色的的花花卉卉可可供供栽栽種種，，每每個個花花池池內內只只能能種種同同種種顏顏色色的的花花卉卉，，相相鄰鄰兩兩池池的的花花色色不不同同，，則則栽栽種種方方案案的的種種數數為為()A．180B．240C．360D．420D【解析析】本題題中中區區域域2，3，4，5地位位相相同同(都與與其其他他四四個個區區域域中中的的3個區區域域相相鄰鄰)，故故應應先先種種區區域域1，有有5種栽栽種種方方案案，，再再種種區區域域2，有有4種栽栽種種方方案案，，接接著著種種區區域域3，有有3種栽栽種種方方案案，，種種區區域域4時應應注注意意：：區區域域2與4種同同色色花花時時，，區區域域4有1種栽栽種種方方案案，，此此時時區區域域5有3種栽栽種種方方案案；；區區域域2與4種不不同同色色花花時時，，區區域域4有2種栽栽種種方方案案，，此此時時區區域域5有2種栽栽種種方方案案，，故故共共有有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420種栽栽種種方方案案．．(3)如圖圖，，用用四四種種不不同同顏顏色色給給圖圖中中A，B，C，D，E，F六個個點點涂涂色色，，要要求求每每個個點點涂涂一一種種顏顏色色，，且且圖圖中中每每條條線線段段的的兩兩個個端端點點涂涂不不同同顏顏色色，，則則不不同同的的涂涂色色方方法法共共有有()A．288種B．264種C．240種D．168種B【解析析】分兩兩類類：：第第一一類類：：涂涂三三種種顏顏色色，，先先涂涂點點A，D，E有A43種方方法法，，再再涂涂B，C，F有2種方方法法，，共共有有A43×2＝48種方方法法；；第第二二類類：：涂涂四四種種顏顏色色，，先先涂涂點點A，D，E有A43種方方法法，，再再涂涂點點B，C，F有3C31種方方法法，，共共有有A43·3C31＝216種方方法法．．由分分類類加加法法計計數數原原理理，，共共有有48＋216＝264種不不同同涂涂法法，，故故選選B.【點評評】本小小題題考考查查排排列列組組合合、、計計數數原原理理等等基基礎礎知知識識以以及及分分類類討討論論的的數數學學思思想想．．12【解析析】由題題意意知知本本題題是是一一個個分分類類計計數數問問題題，，當組組成成的的數數字字有有三三個個1，三三個個2，三三個個3，三三個個4共有有4種情情況況，，當有有三三個個1時：：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141；當有有三三個個2，3，4時：：2221，3331，4441.根據據分分類類計計數數原原理理得得到到12種結結果果，，故故答答案案為為12.(2)“漸升升數數”是指指每每個個數數字字比比它它左左邊邊的的數數字字大大的的正正整整數數(如1458)，若若把把四四位位“漸升升數數”按從從小小到到大大的的順順序序排排列列，，則則第第30個數數為為____．1359B【點評評】有關關排排列列、、組組合合的的創創新新型型問問題題通通常常是是新新定定義義型型問問題題，，分分析析求求解解的的關關鍵鍵是是由由題題意意理理解解新新定定義義的的含含義義及及設設置置的的條條件件．．1920①當x＝5時，，y＝5，10，15，20，25，30，35，40，45，此此時時有有9個整整點點，，同理理，，當當x＝10，15，20，25，30，35，40，45時，，也也分分別別有有9個整整點點，，所以以，，x＝5，10，15，20，25，30，35，40，45時，，四四棱棱柱柱下下底底面面中中包包含含的的整整點點個個數數共共有有9×9＝81個．．②當x＝1時，，y＝1，6，11，16，21，26，31，36，41，46，此此時時有有10個整整點點，，同理理，，當當x＝2，3，4，6，7，8，9，11，…，49時，，也也分分別別有有10個整整點點，，所以以，，當當x＝1，2，3，4，6，7，8，9，11，…，49時，，四四棱棱柱柱下下底底面面中中包包含含的的整整點點個個數數共共有有40×10＝400個．．綜上上，，該該四四棱棱柱柱內內部部(不含含表表面面)中所所包包含含的的整整點點個個數數為為2401－400－81＝1920.排列列組組合合問問題題的的常常見見解解法法主主要要有有以以下下幾幾種種：：(1)特殊殊元元素素優優先先安安排排的的策策略略；；(2)合理理分分類類與與準準確確分分步步的的策策略略；；(3)排列列、、組組合合混混合合問問題題先先選選后后排排的的策策略略；；(4)正難難則則反反、、等等價價轉轉化化的的策策略略；；(5)相鄰問題捆綁綁處理的策略略；(6)不相鄰問題插插空處理的策策略；(7)定序問題除法法處理的策略略；(8)分排問題直接接處理的策略略；(9)“小集團”排列問題中先先整體后局部部的策略；(10)構造模型的策策略．1．(2013全國大綱)6個人排成一行行，其中甲、、乙兩人不相相鄰的不同排排法共有____種．(用數字作答)480【解析】先排另外四人人，方法數是是A44，再在隔出的的五個位置安安插甲乙，方方法數是A52，根據乘法原原理得不同排排法共有A44A52＝24×20＝480種．【命題立意】本題考查排列列知識，考查查思維的全面面性，屬中檔檔題．2．(2013浙江)將A，B，C，D，E，F六個字母排成成一排，且A，B均在C的同側，則不不同的排法共共有____種．(用數字作答)480【解析】先在6個位置找3個位置，有C63種情況，A，B均在C的同側，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F有A33種情況，故共共有4C63A33＝480種排法．【命題立意】本題考查排列列與組合知識識，考查思維維的全面性，，屬中檔題．．1．5本不同的書，，全部分給四四名學生，每每人至少一本本，不同分法法的種數為()A．480B．240C．120D．96B【解析】先將5本書分成4組，有C52種方法，再將將4組書分給4名同學有A44種，由分步計計數原理知共共有C52A44＝240種分法．2．將4個不同的小球球放入3個不同的盒子子，其中每個個盒子都不空空的放法共有有()A．81種B．256種C．18種D．36種D【解析】必有一個盒子子放2個小球，將4個小球分成3組，其中有2個小球為一組組，另外2個小球為二組組，共有6種分組方法．．然后，每一一種分組的小小球放入3個不同盒子，，按分步計數數原理，有3×2×1種放法，共有有6×(3×2×1)＝36種放法，故選選D.3．6位同學在畢業業聚會活動中中進行紀念品品的交換，任任意兩位同學學之間最多交交換一次，進進行交換的兩兩位同學互贈贈一份紀念品品，已知6位同學之間共共進行了13次交換，則收收到4份紀念品的同同學人數為()A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4D【解析】C62－13＝15－13＝2.①設僅有有甲與與乙、、丙沒沒交換換紀念念品，，則收收到4份紀念念品的的同學學人數數為2人；②設僅有有甲與與乙、、丙與與丁沒沒交換換紀念念品，，則收收到4份紀念念品的的同學學人數數為4人．4．過三三棱柱柱任意意兩個個頂點點的直直線共共有____條，以以三棱棱柱的的頂點點為頂頂點的的三棱棱錐共共有____個，過過三棱棱柱任任兩個個頂點點的異異面直直線共共有____對．151236【解析】兩點確確定一一條直直線，，共C62＝15條；不不在同同一平平面內內的四四個點點確定定一個個三棱棱錐，，由排排除法法得C64－3＝12個三棱棱錐；；每個個三棱棱錐可可確定定三對對異面面直線線，故故有12×3＝36對異面面直線線．5．用數數字1，2，3，4，5，6組成無無重復復數字字的四四位數數，然然后把把它們們由小小到大大排成成一個個數列列．(1)這數列列的第第200項是____．(2)求這個個數列列各項項的和和為．42531399860(2)數1出現在在千位位上的的四位位數的的個數數為A53，出現現在百百位上上的四四位數數的個個數為為A53，出現現在十十位和和個位位上的的四位位數的的個數數都應應該是是A53.同理2，3，4，5，6每一個個數在在千、、百、、十和和個位位上出出現的的四位位數的的個數數都是是A53.于是這這個數數列各各項的的和是是：(1＋2＋3＋4＋5＋6)×(103＋102＋10＋1)··A53＝21×1111×60＝1399860.6．有五五張卡卡片，，它們們的正正、反反面分分別寫寫有0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其其中任任意三三張并并排放放在一一起組組成三三位數數，共共可組組成____個不同同的三三位數數．432【解析】解法一一(間接法法)：任取取三張張卡片片可以以組成成不同同的三三位數數C53·23·A33(個)，其中中0在百位位的有有C42·22·A22(個)，這是是不符符合題題意的的，故故共有有不同同的三三位數數：C53·23·A33－C42·22·A22＝432(個)．解法二二(直接法法)：第一一類：：0與1卡片放放首位位，可可以組組成不不同的的三位位數有有C4222A22＝48(個)；第二二類：：0與1卡片不不放首首位，，可以以組成成不同同的三三位數數有(C412)(C4222A22)＝8×48＝384(個)，故共共有不不同三三位數數：48＋384＝432(個)．7．若一一個三三位數數的十十位數數字比比個位位數字字和百百位數數字都都大，，則稱稱這個個數為為“傘數”，現從從1，2，3，4，5，6這六個個數字