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我們從導數與積分的角度研究解析函數均獲得成功．于是，我們自然會想從數學分析中選取別的研究角度如冪級數來討論解析函數．實踐證明，這種選擇是成功的．2第四章

復級數

首先介紹復數列和復數項級數收斂的概念和判別法，以及冪級數的有關概念和性質。然后討論解析函數的泰勒級數和羅倫級數展開定理及其展開式的求法，它們是研究解析函數的性質和計算其積分的重要工具。3§1復數項級數和冪級數一、復數列的收斂性及其判別法二、復數項級數的收斂性及其判別法三、冪級數及其收斂半徑四Δ、冪級數的運算性質4復數序列就是：

這里是復常數，，該序列簡單記為。根據的有界性來定義的有界性。研究級數和序列的基本性質，先從復數序列開始。一、復數序列的收斂性及其判別法：5定義1設一復常數，如果對任意，存在使得當時，有則稱

極限是，或者收斂且收斂到

，記作

復數列的極限定理16定理2

復數序列收斂到的充分必要條件是：并且復數列收斂與實數列收斂的關系7那末對于任意給定的能找到一個正整數使得當證明：如果從而有即同理可證：8反之,如果，那么當從而有該結論說明:

可將復數列的收斂性轉化為判別兩個實數列的收斂性.所以9解

(1)令，則，顯然，故當，。例1

判別下列數列的收斂性和極限

（1）（2）（3）

(2)顯然當時，，因此

(3)由于，并且發散，所以該數列發散。10

所謂通項為復數的復數項級數就是

前n項的和稱為級數的部分和.二、復數項級數的收斂性及其判別法11如果該部分和數列收斂到S，則稱上述復數項級數收斂，且稱為該級數的和，記為

如果該部分和數列發散，則稱復數項級數發散。級數收斂與發散的概念說明：與實數項級數相同,判別復數項級數斂散性的基本方法是:

1213復數項級數與實數項級數收斂的關系(定理3)

證明因為定理314說明復數項級數的收斂問題兩個實數項級數的收斂問題15解所以原級數發散.練習16級數收斂的必要條件定理4

如果級數收斂，那么當時，

17注意：條件，該條件只是級數收斂的必要條件，而不是充分的，比如級數

盡管通項，但是它是發散的。重要推論:不滿足必要條件,所以原級數發散.判別級數的斂散性時,可先考察?18

級數

絕對收斂：如果級數或收斂，則稱級數絕對收斂。絕對收斂級數的性質(定理5)

定理5

如果絕對收斂，那么收斂。19證明由于而根據實數項級數的絕對收斂性,知從而20說明所以綜上可得:2122例1

當時，級數絕對收斂，并且例2

判別下列級數的收斂性

(2)(3)解(1)由不趨于零，故由推論得該級數發散。

(2),其絕對值級數的公比為，故該級數不僅收斂而且是絕對收斂。

(3)其實部級數為，虛部級數為23它們通項的絕對值當n→∞時是單調下降，并且趨于零，故由交錯級數的判別法知它們是收斂的，從而原復數項級數是收斂的。24例3故原級數收斂,且為絕對收斂.因為所以由正項級數的比值判別法知:解251.函數項級數和冪級數的概念稱為復變函數項級數。

稱為該級數前n項的部分和.級數前n項的和三、冪級數及其收斂半徑26如果在上每一點，級數收斂(于)，則稱級數在上收斂(于），記為

稱為級數的和函數。27當時，得到的函數項級數就是一冪級數，即冪級數為其中z是復變數，系數是復常數.28當時，例冪級數收斂區域為{z:|z|<1}。

在一般情況下，級數是否存在一個圓

在該圓外部發散，而在內部絕對收斂呢？29Abel第一定理定理6

如果冪級數在處收斂，那么對于滿足：的任何點z，此冪級數在該點不僅收斂，而且絕對收斂。推論

若冪級數在點z1發散，則它在滿足處發散．30證明因而存在正數M,

使對所有的n,由正項級數的比較判別法知:收斂.另一部分請課后完成31收斂半徑與冪級數相對應，作一實系數的冪級數：其中x為實數。定理7

設級數的收斂半徑為R,按照不同情況，有：（i）如果，那么當時，級數絕對收斂；當時，級數發散；32（ii）如果，那么級數在復平面上的每一點絕對收斂；（iii）如果，那么級數在復平面上除去外每點均發散。33

在定理7的情況（i）中，當時，級數可能發散，也可能收斂。定理7中的數稱為級數的收斂半徑。稱為它的收斂圓盤。求級數的收斂半徑歸結為求級數的收斂半徑。34

定理8

如果下列條件之一成立，那么當0<l<+∞時，級數的收斂半徑當l=0，R=+∞；當l=+∞時，R=0。注(1)(2)

(3)35解答練習試求冪級數的收斂半徑.36收斂圓與收斂半徑由Abel定理:級數在復平面內絕對收斂.例如,級數對任意給定的

x,則從某個n開始,有于是該級數對任意的實數

x均收斂.該級數在復平面內絕對收斂.對于一個冪級數,其收斂半徑的情況有三種:(1)

對所有的正實數級數都收斂.37此時,級數在復平面內除原點外處處發散.例如,級數通項不趨于零,如圖:故級數發散.(2)對所有的正實數級數除z=0外都發散.(3)既存在使級數發散的正實數,也存在使級數收斂的正實數.38..收斂圓收斂半徑冪級數的收斂范圍是以原點為中心的圓域...39

冪級數的收斂范圍是因此，事實上，在收斂圓周上是收斂還是發散,不能作出一般的結論,要對具體級數進行具體分析.問題：冪級數在收斂圓周上的斂散性如何?40例題求收斂域常應用到的方法——變量替換法。例1

求下列冪級數的收斂圓及其收斂區域。（1）（2）解（1）令，則由于41得其收斂域為<1,即它的收斂圓域是而且在收斂的圓周上處處發散的。容易發生的錯誤：令cn=(2+i)n，而得42（2）令，則得由定理8可求出：上式右端級數的收斂半徑，并且在的內部是絕對收斂的，因此原級數在時是絕對收斂的，而在時是發散的。另外，由于是收斂的，因此當時，原級數絕對收斂。43四.冪和函數在收斂圓盤內解析

由以上討論知道，對于級數，總有一個收斂圓(或者僅僅為圓心點)存在，使得級數在此圓內收斂，那么其和函數在收斂圓內是否解析呢？44定理9

設冪級數有收斂圓盤

,那么冪級數的和函數在內解析，并且可以微分任意多次，即上面右端級數的收斂半徑仍為R。證明：略。45

定理10

設冪級數有收斂圓盤

,那么在內冪級數的和函數可以逐項積分任意多次，并且每次積分所得到的新級數的收斂半徑為即證明：略。46

為了證明有關定理，首先介紹下面兩個引理一、有關逐項積分的兩個引理引理1（函數項級數的逐項積分）設函數和沿曲線可積，且在上處處有如果存在收斂的正項級數使得在上有那么

§2泰勒(Taylor)級數47證明：由于收斂，因此當時，必有于是設曲線的長度為，當時，有這就證明了該引理。48引理2

若在正向圓周上連續，則（1）對該圓內任一點z有

(2）對該圓外任一點z有49證明：（1）令，由于，因此由等比級數的求和公式得：對任意滿足的點成立。由引理1，只須對最后所得的函數項級數找出滿足引理條件的正項級數A0+A1+…

+An+…，然后逐項積分就可得到所證結果。50

事實上，由函數f(ξ)的連續性，可設|f(ξ)|在圓周|ξ-z0|=r上的上界為正數M，則對于固定的點z，在該圓周上處處有而是收斂的，故所證等式成立。51（2）當z

在圓周外時，顯然對圓周上的點成立。這時有同樣由引理1可得所證等式。52二.解析函數的Taylor展開定理定理1

設函數f(z)在圓盤內解析，那么在U內有證明：設。以為中心在內作一圓，使得

z屬于其內部，此時由柯西積分公式有又因在C上解析，也一定連續，所以由引理2的結論（1）得53由于z是U內的任意一點，證畢。注定理1中的冪級數稱為函數f(z)在點z0的Taylor級數展開式，可以寫為其中cn為展開式的Taylor系數，可表示為54定理2

函數在解析的充分必要條件是它在的某個鄰域有冪級數展開式。系1

冪級數就是它的和函數在收斂圓盤中的Taylor展開式，即系2(冪級數展開式的唯一性)在定理1中，冪級數的和函數f(z)在收斂圓盤U內不可能有另一冪級數展開式。55三.初等函數的泰勒展開式1

直接展開法：先求出，然后應用泰勒定理寫出泰勒級數及其收斂半徑。指數函數在處的泰勒（Taylor）展開式下列函數在處的泰勒展開式56

為實常數當時，上式只有有限項，并且是在整個復平面上成立。

57間接展開法：它是根據函數在一點的泰勒級數展開式的唯一性給出的。在這里指從上面6個初等函數的泰勒級數展開式出發，利用冪級數的變量替換，逐項微分，逐項積分和四則運算等求出其出泰勒級數及其收斂半徑。如：應用，令，得58例題例1

求下列函數在點處的泰勒級數展開式及其收斂半徑。（1）（2）（3）（4）解（1）在處為唯一的奇點，并且當時，函數，所以函數在處的泰勒級數展開式的收斂半徑為|z1-z0|=|0-i|=1，從而在|z-i|<1時有令應用展開式(6)可得：59（2）同理可得其在處的泰勒級數展開式的收斂半徑為1。由于,應用展開式（3）得所以當時60（3）由于在整個復平面上解析，故其收斂半徑為，從而應用展開式（2)(4)得用直接法也簡單，注意到61（4），其Taylor級數收斂半徑為1，從而在處的泰勒級數展開式兩端同乘以即可得到在處的泰勒級數展開式：注意：顯然不必要將寫成的多項式再來求在處的泰勒級數展開式。62解因為是可在

內展成泰勒級數，有

例2

試將在點展成泰勒級數。

的唯一有限奇點，所以63小結泰勒(Taylor)級數的形式？冪級數為其中z是復變數，系數是復常數。泰勒級數在收斂半徑為R的收斂圓內表示了一個解析函數；

如果函數在半徑為R的圓內解析，則它可在該圓內展成泰勒級數。64§3羅朗(Laurent)級數

本節主要討論函數在環域r<|z-z0|<R內的級數展開問題，并且討論它在積分計算中的應用，這里r可以為0，而R可以為+∞，并且稱環域r<|z-z0|<+∞為點∞的鄰域。65問題的引入上節研究了如下的冪級數：對于一般的函數項級數從數學研究的角度，應該可以取具有負冪的：66負冪項部分正冪項部分主要部分解析部分我們開始研究這一問題同時收斂Laurent級數收斂67收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分R68結論:.常見的特殊圓環域:...69一、解析函數的羅朗展開定理

先考慮級數其中是復常數。級數可以看作是變量的冪級數,設該冪級數的收斂半徑為R，

(1）如果，那么當時，級數絕對收斂；當時，級數發散；（2）如果，那么級數在絕對收斂；（3）如果，那么級數在復平面上每點均發散。70

更一般地考慮級數其中是復常數。當級數

都收斂時，我們稱級數（3.2）收斂,并且它的和函數為(3.3）中兩個級數的和函數相加。71

設（3.3）中第一個級數在內絕對收斂，第二個級數在內絕對收斂。若，那么（3.2）在圓環內絕對收斂，且它的和函數是解析的。

級數（3.2）稱為羅朗級數.72定理1

設函數在圓環內解析，那么在D內有其中是圓，是一個滿足的任何數。73證明：在圓環D內任意取定一點z，然后在D內作圓環使得,這里，用C1及C2

分別來表示圓及。RrD>r1R174由于f(z)在閉圓環上解析，由Cauchy積分公式得75由Taylor定理證明中的引理2（1）

若在正向圓周上連續，則對該圓內一點z有DRr<R176由Taylor定理證明中的引理2（2）

若在正向圓周上連續，則對該圓外一點z有RrD77由于在圓環內解析由復連通區域的Cauchy積分定理可知：中的積分路徑和可以改為圓，于是得到證畢。><RrDr1<R178級數(3.4)中，稱為該級數的解析部分，而稱為該級數的主要部分。級數(3.4)稱為在圓環D內的羅朗展開式。注意：由于在圓所圍區域可能有f(z)的奇點，因此，不能用Cauchy公式把系數記為：

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二、羅朗級數的性質定理2

若函數在圓環D:內解析，則該函數的羅朗級數展開式在D內處處絕對收斂、可以逐項微分和積分，其積分路徑為D內的任何簡單閉路，并且其展開式的系數是唯一的，即它的各項系數一定可以表示為式的形式。

證明：略（見書112頁）。80三、函數的Laurent展開式理論上應該有兩種方法:直接法與間接法

(1)直接展開法利用定理公式計算系數然后寫出這種方法只有在找不到更好方法時才用。81根據解析函數Laurent級數展開式的唯一性,

從已知的初等函數的泰勒級數出發，利用變量替換，泰勒級數和羅朗級數的逐項微分或者積分運算等來求得所給函數f(z)在環域D的羅朗展開式.(2)

間接展開法這一方法成為Laurent級數展開的常用方法。

82例及在內的羅朗展開式。例

在內的羅朗展開式解：此時用sinz

的Taylor展式83例都不解析,而在圓環域及內都解析.84也可以展開成級數：85給定函數與復平面內的一點以后,函數在各個不同的圓環域中有不同的Laurent展開式回答：不矛盾

.Laurent展開式是唯一的.問題：這與laurent展開式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性

:指函數在某一個給定的圓環域內的(包括Taylor展開式作為其特例).86四、典型例題例1解由已知函數的展開式可以直接得到87例2

內解析,把

f(z)