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1第七章梁的彎曲強(qiáng)度基本概念
梁
當(dāng)構(gòu)件承受垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時(shí),其軸線將彎曲成曲線,這種受力與變形形式稱為彎曲,將主要承受彎曲的構(gòu)件統(tǒng)稱為“梁”。
根據(jù)梁的支座性質(zhì)與位置不同,梁可分為簡(jiǎn)支梁(a)、外伸梁(b)、懸臂梁(c)。
根據(jù)其約束力是否可由平衡條件求得,梁可分為靜定梁和超靜定梁
2C(a)(b)(c)3純彎曲:梁段CD上,只有彎矩,沒(méi)有剪力--純彎曲梁段AC和BD上,既有彎矩,又有剪力--橫力彎曲§7-1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力桿件的橫截面上只有彎矩,無(wú)其它內(nèi)力,稱純彎曲。41.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線(ab、cd)變形后仍為直線,但有轉(zhuǎn)動(dòng);縱向線變?yōu)榍€,且上縮下伸;橫向線與縱向線變形后仍正交。(一)變形幾何規(guī)律:中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM5凹入一側(cè)纖維縮短突出一側(cè)纖維伸長(zhǎng)中間一層纖維長(zhǎng)度不變--中性層中性層與橫截面的交線--中性軸1、變形幾何關(guān)系中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸67橫截面上只有正應(yīng)力。
平面假設(shè):橫截面變形后仍為平面,只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng),距中性軸等高處,變形相等。
推論:兩個(gè)概念:中性層:梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短,因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力,此層纖維稱中性層。中性軸:中性層與橫截面的交線。82、物理關(guān)系胡克定理93、靜力學(xué)條件10正應(yīng)力公式變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系為梁彎曲變形后的曲率為曲率半徑11正應(yīng)力分布12常見(jiàn)截面的IZ和WZ圓截面矩形截面空心圓截面13彎曲正應(yīng)力公式適用范圍:彎曲正應(yīng)力分布細(xì)長(zhǎng)梁的純彎曲或橫力彎曲橫截面慣性積
IYZ=0彈性變形階段目錄14彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件1.彎矩最大的截面上;2.離中性軸最遠(yuǎn)處;4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同,二方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮
與目錄危險(xiǎn)截面發(fā)生的位置:15校核強(qiáng)度:設(shè)計(jì)截面尺寸:設(shè)計(jì)載荷:強(qiáng)度條件應(yīng)用:依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種計(jì)算16例1受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示,試求:1、求1—1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力;2、求此截面上的最大正應(yīng)力;3、全梁的最大正應(yīng)力;4、已知E=200GPa,求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m1112120180zy3017Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax解:畫M圖求截面彎矩12120180zy3018Q=60kN/mAB1m2m11求應(yīng)力12120zy18030xM+M1Mmax19求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m111212018030xM+M1Mmax20解:畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例2矩形(bh=0.12m0.18m)截面木梁如圖,[]=7MPa,[]=0.9MPa,試校核梁的強(qiáng)度。q=3.6kN/mxMABL=3mQ–+x21求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度q=3.6kN/mxM22例3
T字形截面的鑄鐵梁受力如圖,鑄鐵[L]=30MPa,[y]=60MPa,其截面形心位于C點(diǎn),y1=52mm,
y2=88mm,Iz=763cm4,試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理?P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2G23y1y2GA1A2A3A4解:畫彎矩圖并求危面內(nèi)力畫危面應(yīng)力分布圖,找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM24校核強(qiáng)度T字頭在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A425解:1.內(nèi)力:繪內(nèi)力圖,Mmax=ql2/8=5kN/m2.強(qiáng)度校核:例3:矩形截面,q=10kN/m,l=2m,h=0.2m,b=0.1m,[σ]=8MPa。試校核該梁的強(qiáng)度。強(qiáng)度校核通過(guò)。26分析(1)確定危險(xiǎn)截面(3)計(jì)算(4)計(jì)算,選擇工字鋼型號(hào)(2)某車間欲安裝簡(jiǎn)易吊車,大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重材料的許用起重量跨度試選擇工字鋼的型號(hào)。應(yīng)力27(4)選擇工字鋼型號(hào)(5)討論(3)根據(jù)計(jì)算(1)計(jì)算簡(jiǎn)圖(2)繪彎矩圖解:36c工字鋼28例:工字鋼截面,No.20a,Wz=2.37×10-4m3,a=2m,b=3m,[σ]=120MPa。試估算合理的[F]。解:1.內(nèi)力:繪彎矩圖,危險(xiǎn)截面C,Mmax=Fab/l2.估算載荷:F不得超過(guò)23.7kN。29例:箱形截面,l=4m,h=0.3m,b=0.2m,t=0.02m,[σ]=120MPa。試估算合理的[F]
。解:1.內(nèi)力:繪彎矩圖,危險(xiǎn)截面A,Mmax=Fl2.估算載荷:F不得超過(guò)43.13kN。30橫力彎曲§7-2正應(yīng)力公式的推廣強(qiáng)度條件6-231橫力彎曲正應(yīng)力公式當(dāng)跨度l
與橫截面高度h
之比l/h>5
(細(xì)長(zhǎng)梁)時(shí),純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應(yīng)力32§7-3梁橫截面上的剪應(yīng)力一、矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè):
剪應(yīng)力與剪力平行;
矩中性軸等距離處,剪應(yīng)力
相等。2、研究方法:分離體平衡。
在梁上取微段如圖b;
在微段上取一塊如圖c,平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c33dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應(yīng)力互等34Qt方向:與橫截面上剪力方向相同;t大小:沿截面寬度均勻分布,沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為:其中Q為截面剪力;Sz為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩;352、幾種常見(jiàn)截面的最大彎曲剪應(yīng)力
Iz為整個(gè)截面對(duì)z軸之慣性矩;b
為y點(diǎn)處截面寬度。①工字鋼截面:;?maxAQtf結(jié)論:翼緣部分tmax?腹板上的tmax,只計(jì)算腹板上的tmax。鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受(95~97%),且tmax≈tmin
故工字鋼最大剪應(yīng)力Af—腹板的面積。;?maxAQtf36
②圓截面:③薄壁圓環(huán):④槽鋼:exyzPQeQeh37最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。剪應(yīng)力強(qiáng)度條件:需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況:梁的跨度較短,M
較小,而Q較大時(shí),要校核剪應(yīng)力。鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí),要校核剪應(yīng)力。各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差,要校核剪應(yīng)力。383940417-4提高彎曲強(qiáng)度的一些措施彎曲正應(yīng)力是控制彎曲強(qiáng)度的主要因素,所以彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件往往是設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù),由此可知:要提高梁的承載能力應(yīng)從兩方面考慮:一方面是合理安排梁的受力情況,以降低另一方面是采用合理的截面形狀,以提高W的數(shù)值,充分利用材料的性能。42一、合理安排梁的受力情況,以減小。合理安排梁的受力情況,盡量降低梁內(nèi)最大工作彎矩的數(shù)值,相對(duì)
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