第2課時一元二次不等式及其解法第2課時

一元二次不等式及其解法考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考溫故夯基·面對高考溫故夯基·面對高考1．一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系如下表：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝

沒有實數根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集_________________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集_________________{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x1<x<x2}??思考感悟當a<0時，ax2＋bx＋c>0與ax2＋bx＋c<0的解集如何？提示：當a<0時，可利用不等式的性質將二次項系數化為正數，注意不等號的變化，而后求得方程兩根，再利用“大于號取兩邊，小于號取中間”求解．2．用程序框圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法過程為：考點探究·挑戰高考一元二次不等式的解法考點一考點突破解一元二次不等式的一般步驟(1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)計算相應的判別式．(3)當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根．(4)根據對應二次函數的圖象，寫出不等式的解集．例1

解下列不等式．(1)2x2＋4x＋3>0；(2)－3x2－2x＋8≥0；(3)12x2－ax>a2(a∈R)．【思路分析】首先將二次項系數轉化為正數，再看二次三項式能否因式分解，若能，則可得方程的兩根，大于號取兩邊，小于號取中間；若不能，則再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后寫出解集，(3)小題中對a要分類討論．【解】

(1)

∵Δ＝42－4×2×3<0，∴方程2x2＋4x＋3＝0沒有實根，二次函數y＝2x2＋4x＋3的圖象開口向上，與x軸沒有交點，即2x2＋4x＋3>0恒成立，所以不等式2x2＋4x＋3>0的解集為R.(2)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，∵Δ＝100>0，【規律方法】解含參數的一元二次不等式的步驟：(1)二次項若含有參數應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數為正的形式．(2)判斷方程的根的個數，討論判別式Δ與0的關系．(3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式．互動探究本例中(3)若變為ax2－(2a＋1)x＋2<0，試解該不不等式．一元二次不等式恒成立問題考點二(1)解決恒成立立問題一定定要搞清誰誰是自變量量，誰是參參數，一般般地，知道道誰的范圍圍，誰就是是變量，求求誰的范圍圍，誰就是是參數．(2)對于于二二次次不不等等式式恒恒成成立立問問題題，，恒恒大大于于0就是是相相應應的的二二次次函函數數的的圖圖象象在在給給定定的的區區間間上上全全部部在在x軸上上方方，，恒恒小小于于0就是是相相應應的的二二次次函函數數的的圖圖象象在在給給定定的的區區間間上上全全部部在在x軸下下方方．．例2設函函數數f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對對于于一一切切實實數數x，f(x)<0恒成成立立，，求求m的取取值值范范圍圍；；(2)若對對于于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成成立立，，求求m的取取值值范范圍圍．．【思路路分分析析】本題題(1)可討討論論m的取取值值，，利利用用判判別別式式來來解解決決．．對對于于(2)含參參數數的的一一元元二二次次不不等等式式在在某某區區間間內內恒恒成成立立問問題題，，常常有有兩兩種種處處理理方方法法：：法法一一是是利利用用二二次次函函數數區區間間上上的的最最值值來來處處理理．．法法二二是是先先分分離離出出參參數數，，再再去去求求函函數數的的最最值值來來處處理理，，一一般般法法二二比比較較簡簡單單．．【誤區警示示】本題中易易出現漏漏“m＝0”的情況，，原因是是對于二二次項系系數為參參數的函函數直覺覺上認定定其為二二次函數數．一元二次不等式的實際應用考點三實際應用用問題是是新課標標中考查查的重點點，突出出了對應應用能力力的考查查，在不不等式應應用題中中常以函函數模型型出現．．解題時時要理清清題意，，準確找找出其中中的不等等關系再再利用不不等式的的解法求求解．例3某產品按按質量可可分成6種不同的的檔次，，若工時時不變，，每天可可生產最最低檔次次的產品品40件，如果果每提高高一個檔檔次，每每件利潤潤可增加加1元，但每每天要少少生產2件產品．．(1)若最低檔檔次的產產品每件件利潤為為16元，則生生產哪種種檔次的的產品所所得到的的利潤最最大？(2)若最低檔檔次的產產品每件件利潤為為22元，則生生產哪種種檔次的的產品所所得到的的利潤最最大？【思路分析析】生產第x檔次產品品時，產產品的利利潤＝生生產數量量×每件利潤潤，表示示出產品品利潤后后求利潤潤最大時時對應的的x值．【解】(1)設生產第第x檔次產品品時，所所獲利潤潤最大，，則生產產第x檔次產品品時，每每件利潤潤為16＋(x－1)×1(元)，生產第x檔次產品品時，每每天生產產[40－2(x－1)]件，所以生產產第x檔次產品品時，每每天所獲獲利潤為為：y＝[40－2(x－1)][16＋(x－1)]＝－2(x－3)2＋648(元)．當x＝3時，y最大，即即生產第第三檔次次產品利利潤最大大．(2)若最低檔檔次產品品每件利利潤為22元，則生產第第x檔次產品品時，每每天所獲獲利潤為為：y＝[40－2(x－1)][22＋(x－1)]＝－2x2＋882.因為x[1,6]，且xN，所以當x＝1時，y最大，即即生產第第一檔次次產品利利潤最大大．【規律方法法】不等式應應用題一一般可按按如下四四步進行行：(1)認真審題題、把握握關鍵量量，找準準不等關關系；(2)引進數學學符號，，用不等等式表示示不等關關系；(3)解不等式式；(4)回歸實際際問題．．方法感悟方法技巧巧1．解一元元二次不不等式時時，首先先要將一一元二次次不等式式化成標標準型，，即ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式，，其中a>0.(如例1(2))．2．一元二二次不等等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)與一元二二次方程程ax2＋bx＋c＝0的關系．．(1)知道一元元二次方方程ax2＋bx＋c＝0的根可以以寫出對對應不等等式的解解集；(2)知道一元元二次不不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集也也可以寫寫出對應應方程的的根．3．數形結結合：利利用二次次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象可可以一目目了然地地寫出一一元二次次不等式式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集集．失誤防防范1．一元元二次次不等等式的的界定定．對對于貌貌似一一元二二次不不等式式的形形式要要認真真鑒別別．如如：解解不等等式(x－a)(ax－1)>0，如果果a＝0它實際際上是是一個個一元元一次次不等等式；；只有當當a≠0時它才才是一一個一一元二二次不不等式式．2．當判判別式式Δ<0時，ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集集為R；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集集為??.二者不不要混混為一一談．．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾幾年高高考試試題分分析，，不等等式的的解法法是每每年高高考的的必考考內容容，特特別是是一元元二次次不等等式，，它與與一元元二次次方程程、二二次函函數相相聯系系，三三者構構成一一個統統一的的整體體，貫貫穿于于高中中數學學的始始終．．解不不等式式的題題目，，有時時會單單獨出出現在在選擇擇題或或填空空題中中，以以求定定義域域或考考查集集合間間關系系或直直接求求解不不等式式的形形式出出現，，難度度不大大，屬屬于中中低檔檔題，，有時時會與與函數數、三三角、、解析幾幾何、、向量量等知知識相相交匯匯，作作為解解題工工具出出現在在解答答題中中．預測2012年廣東東高考考，不不等式式仍將將與其其他知知識交交匯進進行考考查，，重點點考查查學生生的計計算能能力．．真題透析例(2009年高考考山東東卷)在R上定義義運算算⊙：：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿滿足x⊙(x－2)<0的實數數x的取值值范圍圍為()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，，－2)∪(1，＋∞∞)D．(－1,2)【解析】∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0.∴－2<x<1.【答案】B【名師點點評】對于這這類問問題，，應緊緊抓““定義義”，，轉化化為一一般關關系式式，從從而進進行求求解．．名師預測1．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，則A∩B是()A．{1,2,3}B．{1,2}C．{4,5}D．