萬有引力與航天計算題1、按照我國整個月球探測活動的計劃，在第一步“繞月”工程圓滿完成各項目標和科學(xué)探測任務(wù)后，將開展第二步“落月”工程。如圖所示假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船沿距月球表面高度為3R的圓形軌道I上運動，當(dāng)運動到軌道上的A點時，點火變軌進人橢圓軌道II，在到達軌道的近月點B時再次點火變軌，進入近月軌道III繞月球做圓周運動。求：

（1）飛船在軌道I上的運行速率；

（2）飛船在軌道III上繞月球運動一周所需的時間？2、某行星繞太陽運行的橢圓軌道如圖甲所示，F(xiàn)1、F2是橢圓軌道的兩個焦點，太陽在焦點F1上，A、B兩點是焦點F1和F2的連線與橢圓軌道的交點.已知A到F1的距離為a，B到F1的距離為b，則行星在A、B兩點處的速率之比是多少？

3、由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同。已知地球表面兩極處的重力加速度大小為g0，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。求：

（1）質(zhì)量為m的物體在地球北極所受地球?qū)λ娜f有引力的大小；

（2）地球的半徑；

（3）地球的密度。4、一物體在地球表面重90N，它在以a=g35、一個質(zhì)量為M的均質(zhì)實心球，半徑為R.如果通過球心挖去一個直徑為R的小實心球，然后置于相距為d的地方，如圖所示，試計算空心球與小實心球之間的萬有引力．

6、雙星系統(tǒng)的兩個星球A，B相距為L，質(zhì)量都是m，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動．已知萬有引力常量為G．(1)求星球A，B組成的雙星系統(tǒng)周期T0(理論值)；(2)實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計算出的周期理論值T0，且TT0=kk<1于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認為C位于雙星A、B的連線正中間，星球A、B圍繞C做勻速圓周運動，試求星球C

7、假設(shè)太陽系內(nèi)某行星和地球的公轉(zhuǎn)軌道均為圓形，且在同一平面內(nèi)，如圖所示，半徑較小的軌道是某行星公轉(zhuǎn)的軌道，半徑較大的軌道是地球公轉(zhuǎn)的軌道。在地球上觀測，發(fā)現(xiàn)該行星與太陽可呈現(xiàn)的視角（太陽與行星均看成質(zhì)點，它們與眼睛連線的夾角）有最大值，并且最大視角的正弦值為16/25.則該行星的公轉(zhuǎn)周期為多少年？8、（18分）萬有引力定律揭示了天體運動的規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內(nèi)在的一致性。

（1）用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球的質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。將地球看作是半徑為R，質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數(shù)是F0。

a.若在北極上空h處稱量，彈簧秤的讀數(shù)為F1，求比值F1/F0的表達式（并就的情形算出具體數(shù)值，（計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

b.若在赤道地面處稱量，彈簧秤的讀數(shù)為F2，求比值F2/F0的表達式

（2）設(shè)想地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r，太陽的半徑為RS，地球的半徑為R，三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，太陽和地球的密度均勻且不變，僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現(xiàn)實地球的1年為標準，計算“設(shè)想地球”的一年將變?yōu)槎嚅L？9、已知地球半徑為R,引力常量為G,地球同步通信衛(wèi)星周期為T,它離地面的高度約為地球半徑的6倍.(1)求地球的質(zhì)量.(2)若地球的質(zhì)量是某行星質(zhì)量的16倍,地球的半徑是該行星半徑的2倍.該行星的同步衛(wèi)星距其表面的高度是其半徑的2.5倍,求該行星的自轉(zhuǎn)周期.10、宇航員站在一星球上的某高處,沿水平方向拋出一個小球,經(jīng)過時間t,小球落到星球表面,測得拋出點與落地點之間的距離為L;若拋出時的初速度增大到原來的2倍,則拋出點與落地點之間的距離為3L.已知兩落地點在同一水平面上,該星球的半徑為R,引力常量為G,求該星球的質(zhì)量M.11、用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)存在的形式和分布有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)是由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。

（1）計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T計算。

（2）若實驗上觀測到的運動周期為T觀測，且T觀測：T計算=1：N

(N>1)，為了解釋T觀測與T計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質(zhì)，作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體邊線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。12、如圖所示,A是地球的同步衛(wèi)星,另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi),離地球表面的高度為h,已知地球半徑為R,地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0,地球表面的重力加速度為g,O為地球中心.(1)求衛(wèi)星B的運行周期;(2)如果衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同,某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(O、A、B在同一直線上),則至少經(jīng)過多長時間,它們再一次相距最近?

13、如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。

(1)求兩星球做圓周運動的周期。

(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行為的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）14、某球形天體的密度為ρ0，萬有引力常量為G．

(1)證明：對環(huán)繞在密度相同的球形天體表面運行的衛(wèi)星，運動周期與天體的大小無關(guān)．(球的體積公式為V=43πR3，其中R為球半徑)

(2)若球形天體的半徑為R，自轉(zhuǎn)的角速度為

15、“嫦娥一號”探月衛(wèi)星為繞月極地衛(wèi)星.利用該衛(wèi)星可對月球進行成像探測.設(shè)衛(wèi)星在繞月極地軌道上做勻速圓周運動時距月球表面的高度為H，繞行周期為TM；月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為TE，軌道半徑為R0；地球半徑為RE，月球半徑為RM.已知光速為c.

（1）如圖所示，當(dāng)繞月極地軌道的平面與月球繞地球公轉(zhuǎn)的軌道平面垂直時（即與地心到月心的連線垂直時），求繞月極地衛(wèi)星向地球地面發(fā)送照片需要的最短時間；

（2）忽略地球引力、太陽引力對繞月衛(wèi)星的影響，求月球與地球的質(zhì)量之比.

16、人們通過對月相的觀測發(fā)現(xiàn)，當(dāng)月球恰好是上弦月時，如圖甲所示，人們的視線方向與太陽光照射月球的方向正好是垂直的，測出地球與太陽的連線和地球與月球的連線之間的夾角為θ.當(dāng)月球正好是滿月時，如圖乙