萬有引力與航天計算題1、按照我國整個月球探測活動的計劃，在第一步“繞月”工程圓滿完成各項目標和科學探測任務后，將開展第二步“落月”工程。如圖所示假設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船沿距月球表面高度為3R的圓形軌道I上運動，當運動到軌道上的A點時，點火變軌進人橢圓軌道II，在到達軌道的近月點B時再次點火變軌，進入近月軌道III繞月球做圓周運動。求：

（1）飛船在軌道I上的運行速率；

（2）飛船在軌道III上繞月球運動一周所需的時間？2、某行星繞太陽運行的橢圓軌道如圖甲所示，F1、F2是橢圓軌道的兩個焦點，太陽在焦點F1上，A、B兩點是焦點F1和F2的連線與橢圓軌道的交點.已知A到F1的距離為a，B到F1的距離為b，則行星在A、B兩點處的速率之比是多少？

3、由于地球自轉的影響，地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同。已知地球表面兩極處的重力加速度大小為g0，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉的周期為T，引力常量為G。假設地球可視為質量均勻分布的球體。求：

（1）質量為m的物體在地球北極所受地球對它的萬有引力的大小；

（2）地球的半徑；

（3）地球的密度。4、一物體在地球表面重90N，它在以a=g35、一個質量為M的均質實心球，半徑為R.如果通過球心挖去一個直徑為R的小實心球，然后置于相距為d的地方，如圖所示，試計算空心球與小實心球之間的萬有引力．

6、雙星系統的兩個星球A，B相距為L，質量都是m，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動．已知萬有引力常量為G．(1)求星球A，B組成的雙星系統周期T0(理論值)；(2)實際觀測該系統的周期T要小于按照力學理論計算出的周期理論值T0，且TT0=kk<1于是有人猜測這可能是受到了一顆未發現的星球C的影響，并認為C位于雙星A、B的連線正中間，星球A、B圍繞C做勻速圓周運動，試求星球C

7、假設太陽系內某行星和地球的公轉軌道均為圓形，且在同一平面內，如圖所示，半徑較小的軌道是某行星公轉的軌道，半徑較大的軌道是地球公轉的軌道。在地球上觀測，發現該行星與太陽可呈現的視角（太陽與行星均看成質點，它們與眼睛連線的夾角）有最大值，并且最大視角的正弦值為16/25.則該行星的公轉周期為多少年？8、（18分）萬有引力定律揭示了天體運動的規律與地上物體運動規律具有內在的一致性。

（1）用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球的質量為M，自轉周期為T，引力常量為G。將地球看作是半徑為R，質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數是F0。

a.若在北極上空h處稱量，彈簧秤的讀數為F1，求比值F1/F0的表達式（并就的情形算出具體數值，（計算結果保留兩位有效數字）

b.若在赤道地面處稱量，彈簧秤的讀數為F2，求比值F2/F0的表達式

（2）設想地球繞太陽公轉的半徑為r，太陽的半徑為RS，地球的半徑為R，三者均減小為現在的1.0%，太陽和地球的密度均勻且不變，僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的一年將變為多長？9、已知地球半徑為R,引力常量為G,地球同步通信衛星周期為T,它離地面的高度約為地球半徑的6倍.(1)求地球的質量.(2)若地球的質量是某行星質量的16倍,地球的半徑是該行星半徑的2倍.該行星的同步衛星距其表面的高度是其半徑的2.5倍,求該行星的自轉周期.10、宇航員站在一星球上的某高處,沿水平方向拋出一個小球,經過時間t,小球落到星球表面,測得拋出點與落地點之間的距離為L;若拋出時的初速度增大到原來的2倍,則拋出點與落地點之間的距離為3L.已知兩落地點在同一水平面上,該星球的半徑為R,引力常量為G,求該星球的質量M.11、用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質存在的形式和分布有了較深刻的認識，雙星系統是由兩個星體構成，其中每個星體的線度都小于兩星體間的距離，一般雙星系統距離其它星體很遠，可以當做孤立系統處理，現根據對某一雙星系統的光度學測量確定，該雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。

（1）計算該雙星系統的運動周期T計算。

（2）若實驗上觀測到的運動周期為T觀測，且T觀測：T計算=1：N

(N>1)，為了解釋T觀測與T計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質，作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體邊線為直徑的球體內均勻分布著暗物質，而不考慮其它暗物質的影響，試根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度。12、如圖所示,A是地球的同步衛星,另一衛星B的圓形軌道位于赤道平面內,離地球表面的高度為h,已知地球半徑為R,地球自轉角速度為ω0,地球表面的重力加速度為g,O為地球中心.(1)求衛星B的運行周期;(2)如果衛星B繞行方向與地球自轉方向相同,某時刻A、B兩衛星相距最近(O、A、B在同一直線上),則至少經過多長時間,它們再一次相距最近?

13、如右圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側。引力常數為G。

(1)求兩星球做圓周運動的周期。

(2)在地月系統中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行為的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期T2。已知地球和月球的質量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結果保留3位小數）14、某球形天體的密度為ρ0，萬有引力常量為G．

(1)證明：對環繞在密度相同的球形天體表面運行的衛星，運動周期與天體的大小無關．(球的體積公式為V=43πR3，其中R為球半徑)

(2)若球形天體的半徑為R，自轉的角速度為

15、“嫦娥一號”探月衛星為繞月極地衛星.利用該衛星可對月球進行成像探測.設衛星在繞月極地軌道上做勻速圓周運動時距月球表面的高度為H，繞行周期為TM；月球繞地球公轉的周期為TE，軌道半徑為R0；地球半徑為RE，月球半徑為RM.已知光速為c.

（1）如圖所示，當繞月極地軌道的平面與月球繞地球公轉的軌道平面垂直時（即與地心到月心的連線垂直時），求繞月極地衛星向地球地面發送照片需要的最短時間；

（2）忽略地球引力、太陽引力對繞月衛星的影響，求月球與地球的質量之比.

16、人們通過對月相的觀測發現，當月球恰好是上弦月時，如圖甲所示，人們的視線方向與太陽光照射月球的方向正好是垂直的，測出地球與太陽的連線和地球與月球的連線之間的夾角為θ.當月球正好是滿月時，如圖乙