清北學堂第37屆全國中學生物理競賽決賽模擬題1答案一．（1）先構造體系來計算漸開線的曲率半徑，設想一小球以勻速作漸開線運動（在光滑平面上與繞柱的細線相連，作平動）由于速度大小不變，只是方向改變，所以：T由角動量定理，關于圓柱中心的角動量變化率為：T再由幾何關系：l代入得到：ρ=l#（2）不打滑要求：μ≥由牛二：f=m由幾何關系：r=Rθ;且有：a能量是守恒的：1其中：I=所以：3得到：v則：aaμ≥評分標準：1-5，9-14各2分6，8各4分，7，15各6分二．解答：由畢薩定律可得：B對于線圈1，有：B對于線圈2，同理：B那么合磁場為：B利用小量展開公式：1方括號中的結果為：2×因此，磁感應強度為：B利用二階系數為0的條件（四階遠遠小于二階），有：R所以實際上線圈的距離為R，對應求解磁感應強度為：B由磁場的高斯定理：S我們取一個圓柱形的高斯面，那么有：?解得：B所以比例為：B1-4各3分，5-7各5分，8式2分，9式4分，10-12各3分，13式4分三．解答：小球滾到斜面底部，機械能守恒：mgxω=作斜面底部的水平線，容易求得質心的相對高度：?利用等邊三角形的性質，在雙軌上：?由此可知，曲線軌道實際上是一條直線軌道，將碰撞過程進行細致化，細節圖如下：不打滑意味著存在摩擦力沖量，作用在2上，由于彈力沖量較大，實際上1點是一個虛接觸，考慮對2的角動量守恒：L=解得：ω所以豎直方向的沖量為：I水平方向的沖量為：I容易檢驗，上述沖量的方向遠離斜面（2）橢圓上的運動近似成在曲率圓上的運動，寫出幾何約束：ρ?由角動量定理：3得到周期：T=2π我們已經利用了曲率半徑公式：ρ=考慮斜面上的過程，下滾過程的角加速度和時間為：β=t考慮球返回的時候的速度“縮放”關系，利用對1的角動量守恒關系“Lω所以在第一個周期內的震動的周期為：Tf=1-4各2分，5-8各3分，說明圓軌道實際是直軌道2分，結果檢驗2分；9-12各3分，13，14各2分，15-17各3分，18式1分四．解答：（1）容易得出：nn得到：n由玻爾茲曼熵的性質：S（2）有熱力學第二定律和熱力學第一定律：T注意到S實際上是一個U的單元函數，所以：?U得到：T（3）從負溫度系統流向正溫度系統，考察系統的熵的變化，若從正流向負，則熵減，違反熱力學第二定律1，2各3分，3，4各5分；5，6各4分，7式6分；結論4分，論證6分（用反證法2分）五．解答;由高斯定理：EE那么電勢可以積分得到：VV=鉛核的質量很大，所以可以忽略鉛核的運動，有玻爾條件：m以及：E對于r>R時，μ子軌道半徑（a0r對于r<Rr總能量為：E分別代入可得：EE代入數據：r能量：E波長：λ=1，2各2分；3-14各3分六．（1）設出入射光線和出射光線與兩個法線分別的夾角α1,sin小角近似：

sin和幾何關系：β得到偏向角為：δ=（2）對于普通透鏡距離中心y的環帶面，在傍軸近似下，軸上物體（距光心為u），其發出指向環帶面的光線的偏轉角為：δ=注意到，透鏡成像公式：1可得:δ=得到了等效的透鏡焦距為:f軸線方向，像也做整體平動，將v用u，f解出：v=像的軸向速度V’為：V對于y上的點，垂直于軸向的速度為：V其中，f=（3）由磨鏡者公式：1利用相交弦定理:2ρ?h得到：ρ=f平凸透鏡的體積為：ρ??質量為：m（4）現求解?nh不考慮襯底，菲涅爾透鏡的體積可以寫作：V第一項的計算：V第二項的計算：V求和的計算：n=0襯底的體積：V所以，菲涅透鏡的體積為：V=π·對應的質量：m求出對于N的限制：h當a>1-4各2分；5-9各2分，10，11各3分；12，13各2分，14-17各3分；18-26各2分（包括21*）七．（1）根據電像法，像電荷在距離球心±1Q為了保證電荷守恒，在像電荷的貢獻之外，球心的等效電荷變為：Q所以受力為：F（2）內部的像電荷位于±2Rq受力為：F=（3）初態，系