第八模塊平面解析幾何(必修2:第三章直線與方程;第四章圓與方程;選修1-1:第二章圓錐曲線方程)第三十七講直線的傾斜角?斜率及直線方程回歸課本1.直線的傾斜角在直角坐標系中,對于與x軸相交的直線,以x軸為基準,x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做直線的傾斜角,當直線與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為0°.因此,傾斜角的范圍是[0°,180°).2.直線的斜率直線傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,即斜率k=tanα(α≠90°).設兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),則過這兩點的斜率注意:因為當α=90°時,tanα不存在,所以此時直線不存在斜率,即與x軸垂直的直線沒有斜率,在坐標關系上,表現為該直線上任意兩點橫坐標相同.但任何直線都有傾斜角,且傾斜角范圍為[0°,180°).3.直線方程的形式(1)點斜式:方程的形式為y-y1=k(x-x1).不能用點斜式表示的直線為與x軸垂直的直線.(2)兩點式:方程的形式為 不能用兩點式表示的直線為與坐標軸垂直的直線.(3)斜截式:方程的形式為y=kx+b,不能用斜截式表示的直線為與x軸垂直的直線.(4)截距式:方程的形式為 不能用截距式表示的直線為與坐標軸平行或經過原點的直線.(5)一般式:方程的形式為Ax+By+C=0(A?B不同時為0),它是關于x、y的二元一次方程.注意:以上幾種直線方程的形式,每一種方程形式都有其各自成立的條件和適用范圍.我們用待定系數法求出方程的形式,還要注意驗證不滿足該方程形式的直線是否符合題意,若滿足題意,還應再加上該直線.考點陪練答案:D3.設直線ax+by+c=0的傾斜角為α,且sinα+cosα=0,則a、b滿足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0解析:∵0°≤α<180°,又sinα+cosα=0,∴tanα=-1,即 ,∴a-b=0.答案:D4.設直線l與x軸的交點點是P,且傾斜角角為α,若將此直直線繞點點P按時針方方向旋轉轉45°,得到直線線的傾斜斜角為α+45°,則()A.0°°≤α<180°B.0°≤≤α<135°°C.0°°<α≤≤135°D.0°<α<135°°解析:注意直線線傾斜角角的取值值范圍,直線l與x軸相交,其傾斜角角不能為為0°,由得得0°<αα<135°.答案:D5.過點P(1,2)且在兩坐坐標軸上上截距相相等的直直線的條條數是()A.1條B.2條C.3條D.4條解析:注意有直直線過原原點時截截距相等等為0和不過原原點時傾傾斜角為為135°°兩種情況況.答案:B類型一直直線的的傾斜角角和斜率率解題準備備:直線的斜斜率與傾傾斜角的的關系設直線l的傾斜角角為α,斜率為k.(1)0°≤αα<180°,k∈(-∞,+∞).(2)當α=0°°時,k=0;當0°<αα<90°時,k>0.當α=90°時,k不存在;當90°<α<180°°時,k<0.(3)當0°≤αα<90°時,k隨著α的增大而而增大且且k≥0;當90°<α<180°°時,k隨著α的增大而而增大且且k<0.但不能說說直線的的傾斜角角α越大,斜率k也越大.(4)直線的斜斜率與傾傾斜角的的關系如如圖所示示.類型二求求直線線的方程程解題準備備:(1)對直線問問題,要特別注注意斜率率不存在在的情況況;(2)求直線方方程常用用方法——待定系數數法.待定系數數法就是是根據所所求的具具體直線線設出方方程,然后按照照它們滿滿足的條條件求出出參數.【典例2】求適合下下列條件件的直線線的方程程:(1)在y軸上的截截距為-5,傾斜角的的正弦值值是(2)經過點P(3,2),且在兩坐坐標軸上上的截距距相等;(3)經過點A(-1,-3),傾斜角等等于直線線y=3x的傾斜角角的2倍.[反思感悟悟]在求直線線方程時時,應先選擇擇適當的的直線方方程的形形式,并注意各各種形式式的適用用條件,用斜截式式及點斜斜式時,直線的斜斜率必須須存在,而兩點式式不能表表示與坐坐標軸垂垂直的直直線,截距式不不能表示示與坐標標軸垂直直或經過過原點的的直線,故在解題題時,若采用截截距式,應注意分分類討論論,判斷截距距是否為為零,若采用點點斜式,應先考慮慮斜率不不存在的的情況.類型三求求與與直線方方程有關關的最值值問題解題準備備:在研究最最值問題題時,可以從幾幾何圖形形入手,找到最值值時的情情形,也可以從從代數角角度考慮慮,構建目標標函數,進而轉化化為研究究函數的的最值問問題,這種方法法常常隨隨變量的的選擇不不同而運運算的繁繁簡程度度不同,解題時要要注意選選擇.【典例3】如圖,過點P(2,1)作直線l,分別交x、y正半軸于于A?B兩點.(1)當△AOB的面積最最小時,求直線l的方程;(2)當|PA|·|PB|取最小值值時,求直線l的方程.[反思感悟悟](1)求直線方方程的基基本方法法包括利利用條件件直接求求直線的的基本量量和利用用待定系系數求直直線的基基本量;(2)本題第(1)小題還存存在一個個一般規規律:已知直線線l過點P(a,b),其中a>0,b>0,則當且僅僅當直線線l的斜率為為時時,直線l與x軸,y軸的正半半軸圍成成的△ABO的面積S取得最小小值2ab.錯源一忽忽視了直直線斜率率的變化化隨傾斜斜角變化化的關系系以及直直線傾斜斜角為90°時直線無無斜率而而致錯[剖析]在直線l的允許活活動范圍圍內,l的傾斜角角連續變變化時,直線斜率率的變化化并不一一定連續續,當直線l垂直于x軸(即直線l的傾斜角角為90°)時,直線l的斜率不不存在.出錯的原原因是忽忽視了直直線斜率率的變化化與傾斜斜角變化化的關系系,忽視直線線傾斜角角為90°時直線無無斜率.[評析]當直線的的傾斜角角α∈[0°,90°)時,隨著α的增大,直線的斜斜率k為非負值值且逐漸漸變大;當直線傾傾斜角α∈(90°,180°)時,隨著α的增大,直線的斜斜率k為負值且且逐漸變變大.錯源二混混淆““截距””與“距距離”或或忽視截截距為零零【典例2】求過定點點P(2,1)且與坐標標軸圍成成的三角角形的面面積為4的直線方方程.[剖析]錯解誤將將直線在在x軸和y軸上的截截距作為為距離使使用.[評析]截距不是距離離,直線的橫(縱)截距是指直線線與橫(縱)軸交點的橫(縱)坐標.因為截距是一一個點的橫或或縱坐標,所以截距可正正?可負,也可以為零.如果不說明橫橫或縱截距,只說截距通常常是指縱截距距.當題目中出現現“截距相等等”?“截距的絕對值值相等”?“截距互為相反反數”,“在一坐標軸上上的截距是另另一坐標軸上上的截距的m倍(m>0)””等條件時,若采用截距式式求直線方程程,都要考慮“零零截距”的情情況.技法一巧用用斜率求函數數最值技法二巧巧用斜率證三三點共線我們知道,如果三點A,B,C在同一條直線線上,那么直線AB的斜率與直線線BC的斜率相等.利用這一特征征,我們可以借助助直線的斜率率證明三點共共線.如典例2的解法