高等數學二重積分總結

個是物理的“原型”—平面薄片的質量如何求。從這兩個“原型”出發，對所抽象出來的二重積分的定義就易于理解了。

/

高等數學二重積分總結是將區域

成

個小區域

,

,L

,

的分法要任意，二是在每個 n小區域

上的點(

,

)

i i i i如果所對應的積分和當各小區域的直徑中的最大值

時總有同一個極限，才能稱二元函數

,在區域

上的二重積分存在。．明確二重積分的幾何意義。

若在

上

,≥，則

(

,

表示以區域

為底，以

,為曲頂的曲頂柱體的體積。

,＝

時，

(

,表示平面區域

的面積。

若在

上

,≤，則上述曲頂柱體在

面的下方，二重積分

(

,

的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積若

,在

的某些子區域上為正的，在

的另一些子區域上為負的，則

(

,

表示在這些子區域上曲頂柱體體積的代數和即在平面之上的曲頂柱體體積減去平面之下的曲頂柱體的體積).．二重積分的性質，即線性、區域可加性、有序性、估值不等二重積分的大小，估值不等式常用于估計一個二重積分的取值范圍，在用估值不等式對一個二重積分估值的時候，一般情形須按求函數

,在閉區域

上的最大值、最小值的方法求出其最大值與最小值，再應用估值不等式得到取值范圍。

/

高等數學二重積分總結1.二重積分的定義 設二元函數

在閉區域

上有定義且有界.，分割 用任意兩組曲線分割

成

個小區域

,

,L

,

同， n時用

表示它們的面積，i

,.

其中任意兩小塊

和

(i

j)i i j除邊界外無公共點。

既表示第

i

小塊,又表示第

i

in近似、求和

對任意點(

,

)

,作和式

,

.ni i i i i ii取極限 若

為

的直徑，記

,

,L

,

},若極限i i n

,

i

i

i

i

,

,

,

).

i

iii i此極限為

在

上的二重積分

記為n稱為被積函數，為積分區域，、為積分變元，d

為面積微元(或面積元素).2.二重積分

(

,

的幾何意義(1)

若在

上

≥，則

(

,

表示以區域

為底，以

為曲頂的曲頂柱體的體積.(2)

若在

上

≤，則上述曲頂柱體在

面的下方，二重

/

性質3

性質3 若可以分為兩個區域

,

積分

(

,

的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積(3)若

在

的另一些子區域上

(

,

表示在這些子區域上曲頂柱體體積的代數和(即在

平面之上的曲頂柱體體積減去

平面之下的曲頂柱體的體積).3．二重積分的存在定理3.1

若

在有界閉區域

在

上的二重積分必存在(即

在

上必可積).3.2

若有界函數

在有界閉區域

上除去有限個點或有限個光滑曲線外都連續，則在

可積.4．二重積分的性質二重積分有與定積分類似的性質.假設下面各性質中所涉及的函數

,，在區域

上都是可積的.性質

1 分等于各函數積分的代數和，即[

(

,)g

(

,

(

,

g

(

,

. 性質

2 被積函數中的常數因子可以提到積分號前面，即

(

,

(

, (為常數). 則

,

,

,

.

/

高等數學二重積分總結性質

4 若在積分區域

上有

,，且用

表示區域

的面積，則

d

(

).性質

5 若在

上處處有

,)≤g,，則有

(

,

g

(

,

. 推論

(

,

(

,)

d

. 性質

6(估值定理) 若在

上處處有

m≤,)≤M，且

為區域

的面積，則mS

()

(

,

(

).性質

7(二重積分中值定理) 設

,在有界閉區域

上連續，則在

上存在一點

,,使

(

,

(

,)

(

).

根據二重積分的幾何意義或性質求解下列各題：1．

d

，其中

{(

,

)

}2．設

是由

軸，

軸與直線

所圍成的區域，則I

(

)d

,

I

(

)

d

的大小關系 是 .．若

,在有界閉區域

上連續，且在

的任一子區域

D上有

(

,

，試證明在

內恒有

,＝*．估計I

(

的值，其中

{(

,

/

的值為多少？或

的形式來表示，則我們可以將D3．設

D：x y a上的連續函數，則

和的極限，即分割求和、取極限，故可用微元法的思想來理解二重積分的概念與性質。

本章的重點是二重積分的計算問題，而直角坐標系中二重積分的計算問題關鍵是如何確定積分區域及確定

X

型區域還是

Y

型區域，這也是本章的難點。D

的形狀不能簡單地用類似 y

x a x b c y d分成若干塊，并由積分性質

1

2對右端各式進行計算。D

分次序下的積分容易計算，從而完成積分的求解。但是無論是先對

高等數學二重積分總結積分，再對

積分，還是先對

積分，再對

積分最終計算的結果應的積分次序將二重積分化成二次積分。具體步驟如下：①確定

的邊界曲線，畫出

的草圖；②求出

邊界曲線的交點坐標；③將

的邊界曲線表示為

或

的單值函數；④考慮是否要將

分成幾塊；⑤用

,

的不等式表示

.注：在積分次序選擇時，應考慮以下幾個方面的內容：ⅰ保證 各層積分的原函數能夠求出；ⅱ若為型型),先對積分； 若

既為

型又為

型，且滿足ⅰ時，要使對

的分塊最少。

利用對稱性等公式簡化計算設

,在區域

上連續，則①當區域

關于

軸對稱若

,

,，則

(

,

＝；若

,

,，則

(

,

＝

,

，其中

為

在

軸上方部分。②當區域

關于

軸對稱若

,

,，則

(

,

＝；若

,

,，則

(

,

＝

,

，其中

為

在

軸右側部分。③當區域

關于

軸和

軸都對稱

/

高等數學二重積分總結若

,

,或

,

,，則

(

,

＝；若

,

,

,，則

(

,

＝

,

，其中

為

在第一象限部分。④輪換對稱式設

關于直線

對稱，則

(

,

＝

(,

.

一．判斷題．

:

:

若

為連續函數，則

(

,)

(

,)

(

,)

當被積函數

,

且在

上連續時,

若

為

型區域

:

若

為

型區域

:

b

o

((

b

則

(

,d

bd

(

,

若

為

–型區域:

若

為

–型區域:

,

d

d

則

(

,則

(

,d

d

d

(

,

o

說明:若積分區域既是

–型區域又是

–型區域

,

則有

(

,d

bd

(

,

dd

(

,

1.(1992)計算I

12

e

e

/

設

設

e，計算

.

),

等形式時，計算二重積分時，往往采用極坐標系來計算。一般地，如果積分區域是圓域、扇形域或圓環形域，且被積函數為

(

), 若二重積分的積分區域是

則

＝

。．設:

,

將二重積分I

,化為極坐標形式的二次積分，則I

.．設:

b

b.將二重積分I

,化為極坐標形式的二次積分，則I

.利用極坐標系計算二重積分在極坐標系下,

用同心圓

r=常數及射線

=常數,

分劃區域

為

(

L

,)。則

,

r

,r

rdrd

特別地

r()若:

(若:

,

o

r()則有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

/

o

r

()若:若:

r

(

)

則有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

若若:

r

(

)

則有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

o

r

．計算二重積分：

d

,其中:

．設:

計算二重積分：

.

用主要是平面薄片的質量。(1)

空間立體的體積V設空間立體由曲面

:

(

,

)與

:

g

(

,

)所圍成，在 面投影為平面區域

D，并且

,

g

,.則

[

(

,)g

(

,

或