2023年高考數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，對任意的，，當時，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數在上遞增C．函數的一條對稱軸是 D．函數的一個對稱中心是2．函數的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列，要得到函數的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位3．已知為坐標原點，角的終邊經過點且，則()A． B． C． D．4．如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為（）A． B． C． D．5．設點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（）A． B． C． D．6．一輛郵車從地往地運送郵件，沿途共有地，依次記為，，…（為地，為地）．從地出發時，裝上發往后面地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發往該地的郵件，同時裝上該地發往后面各地的郵件各1件，記該郵車到達，，…各地裝卸完畢后剩余的郵件數記為．則的表達式為（）．A． B． C． D．7．偶函數關于點對稱，當時，，求（）A． B． C． D．8．已知、是雙曲線的左右焦點，過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點，若點在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知過點且與曲線相切的直線的條數有（）．A．0 B．1 C．2 D．310．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+111．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．12．設函數，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知F為雙曲線的右焦點，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標原點），則C的離心率為________.14．若，則的最小值為________.15．若函數為自然對數的底數）在和兩處取得極值，且，則實數的取值范圍是______．16．函數的定義域為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的值域；（2），，求實數的取值范圍.18．（12分）平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，點．（1）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于點，曲線與曲線交于點，求的面積．19．（12分）已知圓O經過橢圓C：的兩個焦點以及兩個頂點，且點在橢圓C上．求橢圓C的方程；若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點，且，求直線l的傾斜角．20．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.21．（12分）如圖，四棱錐中，側面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．22．（10分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優秀傳統文化中的動漫題材，創作出一批又一批的優秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統計數據如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當統計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數化簡，然后通過題目已知條件求出函數的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數的性質即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數，對于A，，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，由，故D正確.故選：D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數的性質，熟記性質是解題的關鍵，屬于基礎題.2、A【解析】依題意有的周期為.而，故應左移.3、C【解析】

根據三角函數的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結果.【詳解】根據題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.4、C【解析】

由題意，可根據向量運算法則得到（1﹣m），從而由向量分解的唯一性得出關于t的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故選C．【點睛】本題考查平面向量基本定理，根據分解的唯一性得到所求參數的方程是解答本題的關鍵，本題屬于基礎題.5、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質及橢圓的定義.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系.6、D【解析】

根據題意，分析該郵車到第站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數目，進而計算可得答案．【詳解】解：根據題意，該郵車到第站時，一共裝上了件郵件，需要卸下件郵件，則，故選：D．【點睛】本題主要考查數列遞推公式的應用，屬于中檔題．7、D【解析】

推導出函數是以為周期的周期函數，由此可得出，代值計算即可.【詳解】由于偶函數的圖象關于點對稱，則，，，則，所以，函數是以為周期的周期函數，由于當時，，則.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的對稱性和奇偶性求函數值，推導出函數的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.8、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯立，可得交點M（，﹣），∵點M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.9、C【解析】

設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【點睛】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．10、B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.11、A【解析】

由題意求得c與的值，結合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，屬于基礎題.12、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數的定義域為，其關于原點對稱，因為,所以函數為奇函數,其圖象關于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和特殊點函數值符號判斷函數圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

求出焦點到漸近線的距離就可得到的等式，從而可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，由得，∴，，∴．故答案為：2.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是求出焦點到漸近線的距離，從而得出一個關于的等式．14、【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號取得的條件。【詳解】由題意，，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值．【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數；②和（或積）為定值；③等號取得的條件。15、【解析】

先將函數在和兩處取得極值，轉化為方程有兩不等實根，且，再令，將問題轉化為直線與曲線有兩交點，且橫坐標滿足，用導數方法研究單調性，作出簡圖，求出時，的值，進而可得出結果.【詳解】因為，所以，又函數在和兩處取得極值，所以是方程的兩不等實根，且，即有兩不等實根，且，令，則直線與曲線有兩交點，且交點橫坐標滿足，又，由得，所以，當時，，即函數在上單調遞增；當，時，，即函數在和上單調遞減；當時，由得，此時，因此，由得.故答案為【點睛】本題主要考查導數的應用，已知函數極值點間的關系求參數的問題，通常需要將函數極值點，轉化為導函數對應方程的根，再轉化為直線與曲線交點的問題來處理，屬于常考題型.16、【解析】由題意得，解得定義域為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）將代入函數的解析式，將函數的及解析式變形為分段函數，利用二次函數的基本性質可求得函數的值域；（2）由參變量分離法得出在區間內有解，分和討論，求得函數的最大值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，.當時，；當時，.函數的值域為；（2）不等式等價于，即在區間內有解當時，，此時，，則；當時，，函數在區間上單調遞增，當時，，則.綜上，實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含絕對值函數的值域與含絕對值不等式有解的問題，利用絕對值的應用將函數轉化為二次函數，結合二次函數的性質是解決本題的關鍵，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.18、（1）．（2）【解析】

(1)根據題意代入公式化簡即可得到.(2)聯立極坐標方程通過極坐標的幾何意義求解，再求點到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解：（1）曲線，即．∴．曲線的極坐標方程為．直線的極坐標方程為，即，∴直線的直角坐標方程為．（2）設，，∴，解得．又，∴（舍去）．∴．點到直線的距離為，∴的面積為．【點睛】此題考查參數方程，極坐標，直角坐標之間相互轉化，注意參數方程只能先轉化為直角坐標再轉化為極坐標，屬于較易題目.19、（1）；（2）或【解析】

(1)先由題意得出,可得出與的等量關系，然后將點的坐標代入橢圓的方程，可求出與的值，從而得出橢圓的方程；(2)對直線的斜率是否存在進行分類討論，當直線的斜率不存在時，可求出，然后進行檢驗；當直線的斜率存在時，可設直線的方程為,設點，先由直線與圓相切得出與之間的關系，再將直線的方程與橢圓的方程聯立，由韋達定理，利用弦長公式并結合條件得出的值，從而求出直線的傾斜角.【詳解】（1）由題可知圓只能經過橢圓的上下頂點，所以橢圓焦距等于短軸長，可得，又點在橢圓上，所以，解得，即橢圓的方程為.（2）圓的方程為，當直線不存在斜率時，解得，不符合題意；當直線存在斜率時，設其方程為，因為直線與圓相切，所以，即.將直線與橢圓的方程聯立，得：，判別式，即，設，則，所以，解得，所以直線的傾斜角為或.【點睛】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數法,根據條件確定關于的方程組，解出，從而寫出橢圓的標準方程．解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）連接交于點，連接，由于平面，得出，根據線線位置關系得出，利用線面垂直的判定和性質得出，結合條件以及面面垂直的判定，即可證出平面平面；（Ⅱ）根據題意，建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出和平面的法向量，利用空間向量線面角公式，即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解：（Ⅰ）證明：連接交于點，連接，則平面平面，平面，，為的中點，為的中點，平面，，平面，平面，平面平面（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標系，設則，，，，，設平面的法向量為，則，取得，設直線與平面所成角為，直線與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值，考查空間想象能力和推理能力.21、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據平面，利用線面垂直的定義可得，再由，根據線面垂直的判定定理即