第四章函數逼近一、函數逼近之范數問題：如何度量兩個函數之間的距離？

二、函數逼近之生成的線性空間

注：該線性空間上的加法和數乘運算，即為通常的函數加法和數乘運算！三、函數逼近之最佳逼近問題

范數（距離）最小三、函數逼近之最佳逼近問題

四、函數逼近之正交多項式

注：

3)同樣兩個函數在不同內積下，通常取值不同。四、函數逼近之正交多項式

四、函數逼近之正交多項式

內積的性質：

四、函數逼近之正交多項式

注：正交與內積的定義有關，例如

不正交正交四、函數逼近之正交多項式

四、函數逼近之正交多項式

常見的正交多項式：勒讓德正交多項式；切比雪夫正交多項式；拉蓋爾正交多項式；埃爾米特正交多項式。四、函數逼近之正交多項式勒讓德（Legendre）切比雪夫(Chebyshev)權1區間通項正交遞推奇偶其它四、函數逼近之正交多項式拉蓋爾（Laguerre）埃爾米特(Hermite)權區間通項正交遞推奇偶其它四、函數逼近之最佳一致逼近

四、函數逼近之最佳一致逼近

四、函數逼近之最佳一致逼近問題：如何求最佳一致逼近多項式？

偏差：

正偏差點：

負偏差點：

何謂切比雪夫交錯點？偏差點四、函數逼近之最佳一致逼近問題：如何求最佳一致逼近多項式？

交錯點：

切比雪夫交錯點：

四、函數逼近之最佳一致逼近問題：如何求最佳一致逼近多項式？

該定理給出最佳一致逼近多項式的充要條件，但一般情況下還是很難根據該定理求解最佳一致逼近多項式。

四、函數逼近之最佳一致逼近

由于該函數連續，故取極值的點只有兩種可能：該點的導數值為零，或是區間端點。四、函數逼近之最佳一致逼近

分析：

因此導函數取值為零的點最多只有一個。

四、函數逼近之最佳一致逼近

解之得

四、函數逼近之最佳一致逼近

分析：故

解之得四、函數逼近之最佳一致逼近

分析：故

四、函數逼近之最佳一致逼近

四、函數逼近之最佳一致逼近

四、函數逼近之最佳一致逼近

四、函數逼近之最佳一致逼近

計算中點；四、函數逼近之最佳一致逼近

解.

四、函數逼近之最佳一致逼近

解.

四、函數逼近之最佳平方逼近

四、函數逼近之最佳平方逼近

注：

等價于求

四、函數逼近之最佳平方逼近

則原問題就可歸結為計算多元函數的極小值

四、函數逼近之最佳平方逼近由多元函數取極值的必要條件：可得線性方程組

四、函數逼近之最佳平方逼近其矩陣形式為

注：該線性方程組稱為法方程。

四、函數逼近之最佳平方逼近

以法方程的解作為線性組合的系數，得

四、函數逼近之最佳平方逼近

則

這兩個積分比較復雜，在下一章將學習利用數值積分來近似計算！四、函數逼近之最佳平方逼近

解.法方程為

所以線性最佳平方逼近多項式為

解之得

四、函數逼近之最佳平方逼近

解.法方程為

所以線性最佳平方逼近多項式為

四、函數逼近之最小二乘法若已知連續函數的表達式，則利用最佳平方逼近構造簡單函數來逼近。

四、函數逼近之最小二乘法可以證明最小二乘逼近函數是存在且唯一的。

四、函數逼近之最小二乘法

0.240.650.951.241.732.012.232.522.772.990.23