復變函數pdf復變函數，是指以復數作為自變量和因變量的函數

[1]

，而與之相關的理論就是復變函數論。解析函數是復變函數中一類具有解析性質的函數，復變函數論主要就是研究復數域上的解析函數，因此通常也稱復變函數論為解析函數論。復數的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數不能理解。但隨著數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。復變函數論產生于十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。復變函數論的全面發展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，復變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認復變函數論是最豐饒的數學分支，并且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。為復變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復變函數的積分，他們都是創建這門學科的先驅。后來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯了。二十世紀初，復變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家龐加萊、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了復變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。復變函數論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發展很有影響。復變函數論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的內容。如果當函數的變量取某一定值的時候，函數就有一個唯一確定的值，那么這個函數解就叫做單值解析函數，多項式就是這樣的函數。復變函數也研究多值函數，黎曼曲面理論是研究多值函數的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數在黎曼曲面上就變成單值函數。黎曼曲面理論是復變函數域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數的解析性質和幾何聯系起來。現時，關于黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓撲性質。復變函數論中用幾何方法來說明、解決問題的內容，一般叫做幾何函數論，復變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數所實現的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場

、電路理論等方面都得到了廣泛的應用。留數理論是復變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較復雜。應用留數理論對于復變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數定積分，可以化為復變函數沿閉回路曲線的積分后，再用留數基本定理化為被積分函數在閉合回路曲線內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。把單值解析函數的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數。廣義解析函數所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數的一些基本性質，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數。廣義解析函數的應用范圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，這些年來這方面的理論發展十分迅速。從柯西算起，復變函數論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，并且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。復變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續向前發展，并將取得更多應用。復變函數的主要研究對象是解析函數，包括單值函數、多值函數以及幾何理論三大部分。在悠久的歷史進程中，經過許多學者的努力，使得復變函數論獲得了巨大發展，并且形成了一些專門的研究領域。單值函數中最基本的兩類函數是整函數和亞純函數，它們分別是多項式和有理函數的發展。外爾斯特拉斯將多項式的因式分解定理推廣到整函數，而G.米塔-列夫勒則將有理函數分解為部分分式的定理推廣到亞純函數。(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-)é.波萊爾等進一步發現了整函數的取值與多項式的取值之間有著很大的相似性。在此基礎上，1925年R.奈望林納建立了亞純函數值分布的近代理論，對函數論的發展產生了重要影響。它和復變函數論的其他領域也存在著密切聯系。例如，1973年A.伯恩斯坦應用實變函數的思想引進T^*函數，它在值分布論的虧量問題、整函數的最小模問題以及單葉函數的研究中都發揮了顯著效用。關于多值函數的研究主要是圍繞著黎曼曲面及單值化的問題來進行的。1913年（C.H.）H.外爾在其經典著作《黎曼曲面概念》中首先給出了抽象黎曼曲面的定義，它是流形這個現代數學基本概念的雛形。黎曼曲面的研究不僅使自身形成了完美的理論，而且它為代數幾何、自守函數、復流形、代數數論等近代數學重要分支的研究提供了簡單、明了的模型。在復變函數的應用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通過共形映射研究繞機翼的流動便是著名的例子。實際應用中，常常要借助近似方法具體地構造出映射函數。這方面有不少研究工作。當然，有時并不需要知