第一章統計案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應用a.比《數學3》中“回歸”增加的內容數學３——統計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題選修１-２——統計案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機誤差項e產生的原因了解相關指數R2

和模型擬合的效果之間的關系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結果問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間的函數關系是y=x2確定性關系問題2：某水田水稻產量y與施肥量x之間是否-------有一個確定性的關系？例如：在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上進行施肥量對水稻產量影響的試驗，得到如下所示的一組數據：施化肥量x15202530354045水稻產量y330345365405445450455復習:變量之間的兩種關系自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。1、定義：

1）：相關關系是一種不確定性關系；注對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法叫回歸分析。2）：例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。案例1：女大學生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。根據最小二乘法估計和就是未知參數a和b的最好估計，制表78合計654321i所以回歸方程是所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預報其體重為探究P4：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。探究P4：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右。60.136kg不是每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，而是所有身高為172cm的女大學生平均體重的預測值。例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。案例1：女大學生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數y=bx+a描述它們關系。我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數，e稱為隨機誤差。思考P3產生隨機誤差項e的原因是什么？思考產生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響體重y的因素不只是身高x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、身高x

的觀測誤差。函數模型與回歸模型之間的差別函數模型：回歸模型：可以提供選擇模型的準則函數模型與回歸模型之間的差別函數模型：回歸模型：

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預報變量。我們可以通過殘差發現原始數據中的可疑數據，判斷所建立的模型的擬合效果殘差.女大學生身高和體重的原始數據以及相應的殘差數據以縱坐標為殘差，橫坐標可以為樣本編號，或身高數據，或體重的估計值作出的圖像稱為殘差圖

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數據采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數據；如果數據采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。為確定的數殘差平方和用身高預報體重時，需要注意下列問題：1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體.2.我們所建立的回歸方程一般都有時間性.3.樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍.4.不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值.一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量.（2）畫出解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）.（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程）.（4）按一定規則（如最小二乘法）估計回歸方程中的參數.（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（如個別數據對應殘差過大，殘差呈現不隨機的規律性等).若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.例2、一個車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，測得數據如下：零件數（x）個102030405060708090100加工時間y626875818995102108115122(1)y與x是否具有線性相關？(2)若y與x具有線性相關關系，求回歸直線方程(3)預測加工95個零件需花費多少時間？作散點圖如下：不難看出x,y成線性相關。例3

一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關。現收集了7組觀測數據列于表中：（1）試建立產卵數y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數的變化？溫度xoC21232527293235產卵數y/個711212466115325非線性回歸問題假設線性回歸方程為：?=bx+a選模型由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關指數R2=r2≈0.8642=0.7464估計參數解：選取氣溫為解釋變量x，產卵數為預報變量y。選變量所以，一次函數模型中溫度解釋了74.64%的產卵數變化。探索新知畫散點圖050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和預測當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93一元線性模型奇怪？93>66?模型不好？

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關系線性關系方案2問題１選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a？問題3

產卵數氣溫問題2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函數模型方案2解答平方變換：令t=x2，產卵數y和溫度x之間二次函數模型y=bx2+a就轉化為產卵數y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產卵數y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關指數R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數模型中溫度解釋了80.2%的產卵數變化。t問題２變換y=bx+a非線性關系線性關系問題１如何選取指數函數的底?產卵數氣溫指數函數模型方案3合作探究對數方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產卵數y/個711212466115325xz當x=28oC時，y≈44，指數回歸模型中溫度解釋了98.5%的產卵數的變化由計算器得：z關于x的線性回歸方程為

對數變換：在中兩邊取常用對數得令，則就轉換為z=bx+a.相關指數R2=0.98最好的模型是哪個?產卵數氣溫產卵數氣溫線性模型二次函數模型指數函數模型比一比函數模型相關指數R2線性回歸模型0.7464二次函數模型0.80指數函數模型0.98最好的模型是哪個?回歸分析（二）則回歸方程的殘差計算公式分別為：由計算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠遠優于模型（2）。總結對于給定的樣本點兩個含有未知參數的模型：其中a和b都是未知參數。擬合效果比較的步驟為：（1）分別建立對應于兩個模型的回歸方程與其中和分別是參數a和b的估計值；（2）分別計算兩個回歸方程的殘差平方和與（3）若則的效果比的好；反之，的效果不如的好。練習：為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數，收集數據如下：天數x/天

1

2

34

56繁殖個數y/個

6

12

25

49

95190（1）用天數作解釋變量，繁殖個數作預報變量，作出這些數據的散點圖；

（2）