1第5章數(shù)組和廣義表5.1數(shù)組的定義5.2數(shù)組的順序表示和實現(xiàn)(重點）5.3矩陣的壓縮存儲（難點）5.4廣義表的定義5.5廣義表的存儲結(jié)構(gòu)2數(shù)組與廣義表組成元素特點(相對于線性表）①元素的值并非原子類型，可以再分解，表中元素也是一個線性表（即廣義的線性表）。②所有數(shù)據(jù)元素仍屬同一數(shù)據(jù)類型。第5章數(shù)組和廣義表3什么是線性結(jié)構(gòu)？目前課程所處位置45.1數(shù)組的定義數(shù)組：由一組名字相同、下標(biāo)不同的變量構(gòu)成注意：這里討論的數(shù)組與高級語言中的數(shù)組有所區(qū)別：高級語言中的數(shù)組是順序結(jié)構(gòu)；而這里的數(shù)組既可以是順序的，也可以是鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，用戶可根據(jù)需要選擇。55.1數(shù)組的定義答：對的。因為——①數(shù)組中各元素具有統(tǒng)一的類型；②數(shù)組元素的下標(biāo)一般具有固定的上界和下界，即數(shù)組一旦被定義，它的維數(shù)和維界就不再改變。③數(shù)組的基本操作比較簡單，除了結(jié)構(gòu)的初始化和銷毀之外，只有存取元素和修改元素值的操作。判斷：“數(shù)組的處理比其它復(fù)雜的結(jié)構(gòu)要簡單”，對嗎？6二維數(shù)組的特點：一維數(shù)組的特點：1個下標(biāo)，ai是ai+1的直接前驅(qū)2個下標(biāo)，每個元素ai,j受到兩個關(guān)系（行關(guān)系和列關(guān)系）的約束：一個m×n的二維數(shù)組可以看成是m行的一維數(shù)組，或者n列的一維數(shù)組。N維數(shù)組的特點：n個下標(biāo)，每個元素受到n個關(guān)系約束一個n維數(shù)組可以看成是由若干個n－1維數(shù)組組成的線性表。a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

am1am2…amn

Amn=數(shù)組特點7N維數(shù)組的數(shù)據(jù)類型定義n_ARRAY=(D,R)其中：

Ri={<aj1,j2,…ji…jn,aj1,j2,…ji+1…jn

>|

aj1,j2,…ji…jn,aj1,j2,…ji+1…jn

D}數(shù)據(jù)關(guān)系：R={R1,R2，….Rn}數(shù)據(jù)對象：D={aj1,j2…jn|ji為數(shù)組元素的第i維下標(biāo)，aj1,j2…jn

Elemset}數(shù)組的抽象數(shù)據(jù)類型定義略，參見教材P90構(gòu)造數(shù)組、銷毀數(shù)組、讀數(shù)組元素、寫數(shù)組元素基本操作：85.2數(shù)組的順序存儲表示和實現(xiàn)問題：計算機(jī)的存儲結(jié)構(gòu)是一維的，而數(shù)組一般是多維的，怎樣存放？解決辦法：事先約定按某種次序?qū)?shù)組元素排成一列序列，然后將這個線性序列存入存儲器中。例如：在二維數(shù)組中，我們既可以規(guī)定按行存儲，也可以規(guī)定按列存儲。95.2數(shù)組的順序存儲表示和實現(xiàn)注意：若規(guī)定好了次序，則數(shù)組中任意一個元素的存放地址便有規(guī)律可尋，可形成地址計算公式；約定的次序不同，則計算元素地址的公式也有所不同；C一般采用行優(yōu)先順序10無論規(guī)定行優(yōu)先或列優(yōu)先，只要知道以下三要素便可隨時求出任一元素的地址（意義：數(shù)組中的任一元素可隨機(jī)存取）：ac1,c2…ac1,d2…aij…

ad1,c2…ad1,d2

Amn=①開始結(jié)點的存放地址（即基地址）②維數(shù)和每維的上、下界；③每個數(shù)組元素所占用的單元數(shù)數(shù)組元素隨機(jī)訪問11計算二維數(shù)組元素地址的通式設(shè)一般的二維數(shù)組是A[c1..d1,c2..d2]，這里c1,c2不一定是0或1二維數(shù)組列優(yōu)先存儲的通式為：LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*L單個元素長度aij之前的行數(shù)數(shù)組基址總列數(shù)，即第2維長度aij本行前面的元素個數(shù)則行優(yōu)先存儲時的地址公式為：

LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)]*L12a(0,0)a(0,1)……a(0,3)a(1,0)a(1,1)……a(1,3)………………………………a(3,2)………………………………………………a(6,0)…………a(6,3)01230123456例1：如何求出a(3,2)的存儲地址？要事先確定：①是行優(yōu)先方式還是列優(yōu)先方式？②數(shù)組的首地址是多少？③每個元素的長度？否則無法求出結(jié)果13例2:一個二維數(shù)組A，行下標(biāo)的范圍是1到6，列下標(biāo)的范圍是0到7，每個數(shù)組元素用相鄰的6個字節(jié)存儲，存儲器按字節(jié)編址。那么，這個數(shù)組的體積是

個字節(jié)。288答：Volume=m*n*L=(6-1+1)*(7-0+1)*6=48*6=288二維數(shù)組體積計算14例3：已知二維數(shù)組Am,m按行存儲的元素地址公式是：

Loc(aij)=Loc(a11)+[(i-1)*m+(j-1)]*K,請問按列存儲的公式相同嗎？答：盡管是方陣，但公式仍不同。應(yīng)為：

Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K二維數(shù)組求地址通式15例4：〖計算機(jī)專業(yè)考研題〗

：設(shè)數(shù)組a[1…60,1…70]的基地址為2048，每個元素占2個存儲單元，若以列序為主序順序存儲，則元素a[32,58]的存儲地址為

。根據(jù)列優(yōu)先公式Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K得：LOC(a32,58)=2048+[(58-1)*60+(32-1)]*2＝8950答：請注意審題！想一想：若數(shù)組是a[0…59,0…69]，結(jié)果是否仍為8950？8950維界雖未變，但此時的a[32,58]不再是原來的a[32,58]二維數(shù)組某元素存儲地址計算（考點）16Loc(j1,j2,…jn)=LOC(0,0,…0)＋若是N維數(shù)組，其中任一元素的地址該如何計算？其中Cn=L,Ci-1=bi×Ci，1<i≤n每個元素長度數(shù)組基址前面若干元素占用的地址字節(jié)總數(shù)第i維長度與所存元素個數(shù)有關(guān)的系數(shù)，可用遞推法求出教材已給出低維優(yōu)先的地址計算公式，該式稱為n維數(shù)組的映像函數(shù)：三維數(shù)組且列優(yōu)先時的元素地址要會計算！17例5：假設(shè)有三維數(shù)組A7×9×8，每個元素用相鄰的6個字節(jié)存儲，存儲器按字節(jié)編址。已知A的起始存儲位置（基地址）為1000，末尾元素A[6][8][7]的第一個字節(jié)地址為多少？答：末尾元素A[6][8][7]的第1個字節(jié)地址＝

1000+(7×9×8)×6－6=4018

只要計算出任一數(shù)組元素的地址，就能對其輕松地進(jìn)行讀寫操作！計算地址的意義：多維數(shù)組某元素存儲地址計算18#defineMAX_ARRAY_DIM8//假設(shè)最大維數(shù)為8typedefstruct{ELemType*base;//數(shù)組元素基址

intdim;//數(shù)組維數(shù)

int*bound;//數(shù)組各維長度信息保存區(qū)基址

int*constants;//數(shù)組映像函數(shù)常量的基址

}Array;即Ci信息保存區(qū)數(shù)組的基本操作函數(shù)說明（有5個）1、N維數(shù)組的順序存儲表示數(shù)組的存儲表示19^……行指針向量a11a12…^a1nam1am2…^amn補(bǔ)充：數(shù)組的鏈?zhǔn)酱鎯Ψ绞健脦兄羔樝蛄康膯捂湵韥肀硎尽Ｗⅲ烘準(zhǔn)綌?shù)組的運算請參見“稀疏矩陣的轉(zhuǎn)置”注意：本章所討論的數(shù)組與高級語言中的數(shù)組有所區(qū)別：高級語言中的數(shù)組只是順序結(jié)構(gòu)；而本章的數(shù)組既可以是順序的，也可以是鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，用戶可根據(jù)需要選擇。2、數(shù)組的鏈?zhǔn)酱鎯Ψ绞?05.3矩陣的壓縮存儲(重點）問題討論：1.什么是壓縮存儲？若多個數(shù)據(jù)元素的值都相同，則只分配一個元素值的存儲空間，且零元素不占存儲空間。2.所有二維數(shù)組（矩陣）都能壓縮嗎？未必，要看矩陣是否具備以上壓縮條件。215.3矩陣的壓縮存儲(重點）問題討論續(xù)：3.什么樣的矩陣具備以上壓縮條件？一些特殊矩陣，如：對稱矩陣，對角矩陣，三角矩陣，稀疏矩陣等。4.什么叫稀疏矩陣？矩陣中非零元素的個數(shù)較少（一般小于5%）重點介紹稀疏矩陣的壓縮和相應(yīng)的操作。22一、稀疏矩陣的壓縮存儲問題：如果只存儲稀疏矩陣中的非零元素，那這些元素的位置信息該如何表示？解決思路：對每個非零元素增開若干存儲單元，用來存放其所在的行號和列號，便可準(zhǔn)確反映該元素所在位置。實現(xiàn)方法：將每個非零元素用一個三元組（i，j，aij）來表示，則每個稀疏矩陣可用一個三元組表來表示。二、稀疏矩陣的操作5.3矩陣的壓縮存儲(重點）23例2：寫出右圖所示稀疏矩陣的壓縮存儲形式。解：至少有4種存儲形式。例1：三元素組表中的每個結(jié)點對應(yīng)于稀疏矩陣的一個非零元素，它包含有三個數(shù)據(jù)項，分別表示該元素的

、

和

。行下標(biāo)列下標(biāo)元素值5.3矩陣的壓縮存儲(重點）0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700245.3矩陣的壓縮存儲一、稀疏矩陣的壓縮存儲形式有4種壓縮方式：線性表、三元組矩陣、

帶輔助向量的三元組表、十字鏈表其中，前面兩種存儲相似。做加減操作時很方便做轉(zhuǎn)置操作時很方便25法1：用線性表表示：0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-7000

1290000

00000-30001400

024

0000

18000015

00-700(1,2,12)

，(1,3,9)，(3,1,-3)，(3,5,14)，

(4,3,24)，(5,2,18)，(6,1,15)，(6,4,-7)26法2：用三元組矩陣表示0

129

0000

00000

-3000

1400

0

24

0000

18

000015

00

-7

00121213931-3351443245218611564-7注意：為更可靠描述，通常再加一行“總體”信息：即總行數(shù)、總列數(shù)、非零元素總個數(shù)668ijvalue稀疏矩陣壓縮存儲的缺點：012345678將失去隨機(jī)存取功能！27法三：用帶輔助向量的三元組表示

方法：

增加2個輔助向量：①記錄每行非0元素個數(shù)，用NUM（i）表示；②記錄稀疏矩陣中每行第一個非0元素在三元組中的序號，用POS（i）表示。76531211202NUM(i)6543POS(i)21i0

1290000

00000-3000

1400

0240000

18000015

00-700-7461516182524341453-3139311221866vji0123456783用途：便于高效訪問稀疏矩陣中任一非零元素。POS(i)如何計算？POS(1)＝1POS(i)＝POS(i-1)+NUM(i-1)也可以是每列存儲輔助信息。用途后續(xù)28法四：用十字鏈表表示用途：方便稀疏矩陣的加減運算方法：每個非0元素占用5個域rightdownvji同一列中下一非零元素的指針同一行中下一非零元素的指針122100H19311825稀疏矩陣的加減運算容易實現(xiàn)29法四：用十字鏈表表示十字鏈表的特點：①每行非零元素鏈接成帶表頭結(jié)點的循環(huán)鏈表；②每列非零元素也鏈接成帶表頭結(jié)點的循環(huán)鏈表。則每個非零元素既是行循環(huán)鏈表中的一個結(jié)點；又是列循環(huán)鏈表中的一個結(jié)點，即呈十字鏈狀。稀疏矩陣的加減運算容易實現(xiàn)30例3：下面的三元組表表示一個稀疏矩陣，試還原出它的稀疏矩陣。64612221123134445366116ijvalue01234566460

0000

00000000

0000

0000

0000

20012

000

30000

0040

06016

000三元組表示法31typedefstruct{

Triple

data[MAXSIZE+1];//三元組表，以行為主序存入一維向量

data[

]中

intmu;

//矩陣總行數(shù)

intnu;

//矩陣總列數(shù)

inttu;//矩陣中非零元素總個數(shù)}TsMatrix;三元組表的順序存儲表示（見教材）對三元組表的整體定義

#defineMAXSIZE125000//設(shè)非零元素最大個數(shù)125000typedefstruct{inti;//元素行號

intj;//元素列號

ElemTypee;//元素值}Triple;對表中每個結(jié)點的結(jié)構(gòu)定義32二、稀疏矩陣的操作0

1290000

00000-3000

14

00

0

24

0000

18

000015

00

-7000

0–3001512

00018

0

90024000

0000-70

0140000

00000(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)(1,3,-3)(1,6,15)(2,1,12)(2,5,18)(3,1,9)(3,4,24)(4,6,-7)(5,3,14)已知三元組表a.data求三元組表b.data轉(zhuǎn)置后MT（以轉(zhuǎn)置運算為例，加減用十字鏈表）目的：按行優(yōu)先存放轉(zhuǎn)置之后按行優(yōu)先存放33答：肯定不正確！除了：（1）每個元素的行下標(biāo)和列下標(biāo)互換（即三元組中的i和j互換）；還需要：（2）T的總行數(shù)mu和總列數(shù)nu也要互換；（3）重排三元組內(nèi)各元素順序，使轉(zhuǎn)置后的三元組也按行（或列）為主序有規(guī)律的排列。上述（1）和（2）容易實現(xiàn)，難點在（3）。

若采用三元組壓縮技術(shù)存儲稀疏矩陣，只要把每個元素的行下標(biāo)和列下標(biāo)互換，就完成了對該矩陣的轉(zhuǎn)置運算，這種說法正確嗎？有兩種實現(xiàn)轉(zhuǎn)置的方法壓縮轉(zhuǎn)置快速(壓縮)轉(zhuǎn)置提問：二、稀疏矩陣的操作34方法1：壓縮轉(zhuǎn)置思路：反復(fù)掃描a表（記為a.data）中的列序，從j=1～n依次進(jìn)行轉(zhuǎn)置。已知三元組表a.data求三元組表b.data①(1,3,-3)②(1,6,15)③(2,1,12)④(2,5,18)⑤(3,1,9)⑥(3,4,24)⑦(4,6,-7)⑧(5,3,14)(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)1122colq1234每個元素的列分量表示為：a.data[p].jp1234......35方法2快速轉(zhuǎn)置已知三元組表a.data求三元組表b.data③(1,3,-3)①(2,1,12)⑥(2,5,18)②(3,1,9)⑧(4,6,-7)④(5,3,14)⑦(1,6,15)⑤(3,4,24)(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)思路：依次把a(bǔ).data中的元素直接送入b.data的恰當(dāng)位置上（即M三元組的p指針（下標(biāo)）不回溯）。關(guān)鍵：怎樣尋找b.data的“恰當(dāng)”位置？轉(zhuǎn)置之前每列第一個非0元素的序號等于轉(zhuǎn)置之后在以行優(yōu)先存放的三元組序號p1234q3536如果能預(yù)知M矩陣每一列(即T的每一行)的非零元素個數(shù)，又能很快得知M矩陣每一列第一個非零元素在b.data中的位置,則掃描a.data時便可以將每個元素準(zhǔn)確定位(因已知若干參考點)設(shè)計思路請注意a.data特征：每列首個非零元素必定先被掃描到。37技巧：為實現(xiàn)轉(zhuǎn)置運算，應(yīng)當(dāng)按列生成M矩陣三元組表的兩個輔助向量，讓它攜帶每列的非零元素個數(shù)NUM(i)以及每列的第一個非零元素在三元組表中的位置POS(i)

等信息。設(shè)計思路i123456NUM(i)202112POS(i)133567計算式：POS(1)＝1POS(i)＝POS(i-1)+NUM(i-1)輔助向量的樣式：38令：M矩陣中的列變量用col表示；

num[col]：存放M中第col列中非0元素個數(shù)

cpot[col]：存放M中第col列的第一個非0元素的位置（即b.data

中待計算的“恰當(dāng)”位置所需參考點）討論：求出按列優(yōu)先的輔助向量后，如何實現(xiàn)快速轉(zhuǎn)置？col123456num[col]222110cpot[col]1計算式：cpot(1)＝1cpot[col]

＝

cpot[col-1]+num[col-1]

357890

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700Mcol123456由a.data中每個元素的列信息，可以直接從輔助向量cpot[col]中查出在b.data中的“基準(zhǔn)”位置，進(jìn)而得到當(dāng)前元素之位置。三元組表a.data(6,4,-7)(6,1,15)(5,2,18)(4,3,24)(3,5,14)(3,1,-3)(1,3,9)(1,2,12)colp1234...想一想：是從原始矩陣M中統(tǒng)計num[col]方便些，還是從對應(yīng)的三元組表a.data中統(tǒng)計更快？39Status

FastTransposeSMatrix（TSMatirxM,TSMatirx&T）{T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;if(T.tu){for(col=1;col<=M.nu;col++)num[col]=0;for(i=1;i<=M.tu;i++){col=M.data[i].j;++num[col];}cpos[1]=1;for(col=2;col<=M.nu;col++)cpos[col]=cpos[col-1]+num[col-1];for(p=1;p<=M.tu;p++){col=M.data[p].j;q=cpos[col];T.data[q].i=M.data[p].j;T.data[q].j=M.data[p].i;T.data[q].value=M.data[p].value;

++cpos[col];}//for}//ifreturnOK;}//FastTranposeSMatrix;快速轉(zhuǎn)置算法描述：(重點）//M是順序存儲的三元組表，求M的轉(zhuǎn)置矩陣T//先清0再統(tǒng)計每列非零元素個數(shù)//再生成每列首元位置輔助向量//p指向a.data，循環(huán)次數(shù)為非0元素總個數(shù)tu//查輔助向量得q，即T中位置前3個for循環(huán)用來產(chǎn)生兩個輔助向量重要！修改向量內(nèi)容（列坐標(biāo)加1），預(yù)備給同列的下一非零元素定位之用元素轉(zhuǎn)置401.

與常規(guī)算法相比，附加了生成輔助向量表的工作。增開了2個長度為列長的數(shù)組(num[]和cpos[]）。快速轉(zhuǎn)置算法的效率分析2.從時間上，此算法用了4個并列的單循環(huán)，而且其中前3個單循環(huán)都是用來產(chǎn)生輔助向量表的。

for(col=1;col<=M.nu;col++){};循環(huán)次數(shù)＝nu（列數(shù)）;for(i=1;i<=M.tu;i++){};循環(huán)次數(shù)＝tu（非0元素個數(shù)）;for(col=2;col<=M.nu;col++){};循環(huán)次數(shù)＝nu;

for(p=1;p<=M.tu;p++){};循環(huán)次數(shù)＝tu;該算法的時間復(fù)雜度＝nu+tu+nu+tu=O(nu+tu）41傳統(tǒng)轉(zhuǎn)置：O(mu*nu)壓縮轉(zhuǎn)置：O(nu*tu)壓縮快速轉(zhuǎn)置：O(nu+tu)討論：最惡劣情況是矩陣中全為非零元素，此時tu=nu*mu而此時的時間復(fù)雜度也只是O(mu*nu)，并未超過傳統(tǒng)轉(zhuǎn)置算法的時間復(fù)雜度。小結(jié)：增設(shè)輔助向量，犧牲空間效率換取時間效率。快速轉(zhuǎn)置算法的效率分析425.4廣義表的定義（考點）廣義表是線性表的推廣，也稱為列表（lists）記為：

LS=(a1,a2,……，an)

廣義表名表頭(Head）

表尾(Tail)1、定義：①第一個元素是表頭，而其余元素組成的表稱為表尾；②用小寫字母表示原子類型，用大寫字母表示列表。n是表長在廣義表中約定：討論：廣義表與線性表的區(qū)別和聯(lián)系？廣義表中元素既可以是原子類型，也可以是列表；當(dāng)每個元素都為原子且類型相同時，就是線性表。432、特點有次序性有長度有深度可遞歸可共享一個直接前驅(qū)和一個直接后繼＝表中元素個數(shù)＝表中括號的重數(shù)自己可以作為自己的子表可以為其他廣義表所共享特別提示：任何一個非空表，表頭可能是原子，也可能是列表；但表尾一定是列表！44E=(a,E)=(a,(a,E))=(a,(a,(a,…….)))，E為遞歸表1）A=()2）B=(e)3）C=(a,(b,c,d))4）D=(A,B,C)5）E=(a,E)例1：求下列廣義表的長度n=0，因為A是空表n=1，表中元素e是原子n=2，a為原子，(b,c,d)為子表n=3，3個元素都是子表n=2，a為原子，E為子表D=(A,B,C)=((),(e),(a,(b,c,d)))，共享表45ABDCeabcd②A=(a,(b,A))例2：試用圖形表示下列廣義表.（設(shè)

代表子表，代表元素）

e①D=(A,B,C)=((),(e),(a,(b,c,d)))Aab①的長度為3，深度為3②的長度為2，深度為∞深度＝括號的重數(shù)＝結(jié)點的層數(shù)46介紹兩種特殊的基本操作GetHead(L)——取表頭(可能是原子或列表)GetTail(L)——取表尾(一定是列表)

廣義表的抽象數(shù)據(jù)類型定義見教材P107-108471.GetTail【(b,k,p,h)】＝