第八章長期趨勢法第一節長期趨勢法的基本原理第二節線性趨勢法第三節非線性趨勢法一、長期趨勢法的概念又稱外推法、延伸法、趨勢法等。1、依據某類房地產價格的歷史資料和數據將其按時間順序編成時間序列；2、運用預測科學的有關理論和方法，特別是時間序列分析和回歸分析；3、來推測、判斷房地產未來價格的方法。第八章長期趨勢法第一節長期趨勢法的基本原理二、長期趨勢法的理論依據：預測科學1、房地產市場的變化導致房價上下波動，短期內難以看出其變動規律和發展趨勢，但從長期看，會顯現出一定的規律和趨勢；2、可將該宗房地產過去較長時期的歷史價格資料，排成時間序列，分析出房價變化的規律；3、進行類推，得到該宗房地產在估價時點的價格（未來趨勢價格）。第八章長期趨勢法第一節長期趨勢法的基本原理三、長期趨勢法適用的對象和條件1、適用的對象：價格無明顯季節波動的房地產，即價格按平穩的趨勢發展；2、適用的條件：擁有估價對象長期、足夠、真實的歷史價格資料，時間序列最好在10年以上；3、由于估價結果具有一定的預測性，一般不宜單獨使用，只能作為其他方法的補充和驗證。第八章長期趨勢法第一節長期趨勢法的基本原理四、長期趨勢法的操作步驟1、搜集歷史價格資料；2、整理分析資料，編成時間序列；3、找出房價的變動規律，用數學式子表達；4、以此式子去推測判斷出估價對象的價格。第八章長期趨勢法第一節長期趨勢法的基本原理五、長期趨勢法的優缺點1、優點：客觀適用范圍廣估價成本低資料較易獲得2、缺點：估價結果帶有預測性缺乏歷史價格資料的地區無法使用估價結果的準確性取決于估價數據選取的時間，并且易受政策因素的影響第八章長期趨勢法第一節長期趨勢法的基本原理線性趨勢法的概念估價對象房地產的歷史價格序列的逐年增減量大致相同，則其發展趨勢為線性趨勢，就可以采用相應的直線模型來評估房地產的價格。

一次函數一般分為：平均增減量法、線性回歸法。第八章長期趨勢法第二節線性趨勢法一、平均增減量法時間價格序列：P0，P1，P2，······，Pn如果P1－P0，P2－P1，P4－P3，Pn－Pn-1逐期增減量大致相同，也就是顯示出等差數列的特征，就可以采用逐期增減量的平均值來預測:第八章長期趨勢法第二節線性趨勢法一、平均增減量法：第i年的評估價格（未來趨勢價格），

P0：初期價格，

i：年份序號（等差數列的間隔），：年平均增減量。第八章長期趨勢法第二節線性趨勢法年份房地產價格實際值（元/m2）逐年上漲額房地產價格趨勢值（元/m2）1996199719981999200086010281195136515341681671701691028.511971365.51534求2001、2002年的房地產價格？d=(168+167+170+169)÷4=168.5（元/m2）或者=(1534-860)÷4=168.5（元/m2）P2001=P0+5d=860+168.5×5=1702.5（元/m2）P2002=P0+6d=1871（元/m2）年份房地產價格實際值（元/m2）逐年上漲額房地產價格趨勢值（元/m2）20022003200420052006177018801993210722201101131141131882.519952107.52220求2007、2008年的房地產價格？d=(110+113+114+113)÷4=112.5（元/m2）或者=(2220-1770)÷4=112.5（元/m2）P2007=P0+5d=1770+112.5×5=2332.5（元/m2）P2008=P0+6d=2445（元/m2）二、線性回歸法（直線回歸趨勢法）1、基本原理估價對象時間序列散點圖表現出明顯的直線趨勢，即表現為近似直線的上升或下降趨勢。

公式：

P：房地產各期的實際價格（因變量），

t：時間序號（年、月、季度，自變量），

a、b：2個待定系數，

n：時間序號的個數。第八章長期趨勢法第二節線性趨勢法如何求出待定系數a、b呢？基本公式：根據基本公式列出方程組：再進行變形，也就是把a、b直接算出來：該方程組是按最小二乘法列出。那么，什么是最小二乘法呢？Leastsquaremethod1、歷史簡介：（1）1801年，意大利的朱賽普·皮亞齊發現谷神星，隨后谷神星失蹤，人們開始尋找但沒找到。（2）時年24歲的高斯應用最小二乘法計算谷神星的軌道。奧地利的海因里希·奧爾伯斯根據其計算出的軌道重新發現谷神星。（3）法國的勒讓德于1806年獨立發現“最小二乘法”，但因不為世人所知而默默無聞。（4）1829年，高斯提供了“最小二乘法”的優化結果強于其他方法的證明，被稱為高斯—莫卡夫定理。最小二乘法

Leastsquaremethod2、基本原理：假設有一系列成對的數據（x1y1；x2y2；x3y3；·

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xnyn），畫在直角坐標系中：從圖上看出：這些點大致在一條直線附近。xy0最小二乘法

Leastsquaremethod2、基本原理：可以令這條直線為：其中a，b是任意實數，為建立該方程就要確定a和b。實測值yi與利用上式的計算值的離差的平方和，使其最小作為優化依據。

令：則：最小二乘法

Leastsquaremethod2、基本原理：當為最小時，可將函數Ψ對a、b取偏導數，令這兩個偏導數為0，則：即：

先消去a，求比較出b，再代入求出a。

用最小二乘法來計算的最簡單例子：

n個人對同一只鉛筆的長度進行測量，得到n個長度數據：x1，x2，x3，······xn，那么這支鉛筆的合理長度x，應該使所有偏差的平方和最小。則應使：化簡為：求出：相關系數：（1）衡量直線與點距配合好壞程度的指標。（2）通常：－1≤r≤1，負號表示負相關，房地產價格呈下降趨勢；正號表示正相關，房地產價格呈上升趨勢。（3）r越接近于+1或-1，相關程度越高。

為了計算方便，令：∑t=0

則：令：∑t=0

其方法是：（1）當時間序列的項數n為奇數時，設中間項=0，之前的依次為-1，-2，-3，···，之后的依次為1，2，3，···。（2）項數n為偶數時，設中間兩項相對稱，之前的依次為-1，-3，-5，···，之后的依次為1，3，5，···。例：某類房地產2010年1~9月的價格如下表第2列所示，用直線回歸趨勢法預測該類房地產2010年10月和11月的價格。月份價格PttPt2122002240032700430005340063800742008470095300解：令∑t=0，已知項數n=9為奇數，故設中間項t=0，則t的值如表第3列所示，∑P、∑tP、∑t2的積算結果見第2、4、5列底行。

求出a、b：

則方程為：

預測10月和11月的價格：

月份價格PttPt212200-4-88001622400-3-7200932700-2-5400443000-1-300015340000063800138001742002840048470031410099530042120016總數∑P=31700∑t=0∑tP=23100∑t2=60非線性趨勢法的概念估價對象房地產的歷史價格序列逐年增減量的變動范圍較大，則其長期趨勢就不是直線趨勢，而是非線性趨勢，如折現、指數曲線、二次曲線等。一般分為：移動平均法（簡單移動平均法、加權移動平均法）、指數平滑（修勻）法、指數曲線法（平均發展速度法、指數曲線回歸法）、二次曲線法。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法一、移動平均法（包括簡單移動平均法、加權移動平均法）概念：將房地產價格的時間序列，按一定跨越期進行平均，逐項遞移，逐一球的移動平均值，并將接近估價時點的最后一個移動平均值，作為估價額。由于周期變動和不規則變動影響，起伏較大，可用該法消除這些因素的影響。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法一、移動平均法（包括簡單移動平均法、加權移動平均法）1、簡單移動平均法（1）概念：將n個時期的實際價格的簡單算術平均數作為該n個時期的中間1個時期的趨勢值。

n為移動周期/項數。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法一、移動平均法（包括簡單移動平均法、加權移動平均法）1、簡單移動平均法（2）確定移動周期n的原則：①包含大量隨機成分時，為消除隨機成分，應采用較多的項數，這樣修勻程度越大，反應越遲鈍，波動較小；②趨勢可能要發生變化時，應取較少的項數，這樣可以對價格的靈敏性做出反應，易于把隨機干擾表現出來，波動較大。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法一、移動平均法（包括簡單移動平均法、加權移動平均法）2、加權移動平均法（1）概念：在簡單移動平均法中，每期價格數據的出現機會看成是坪等的（相當于是1/n）。但實際上，越近期的數據對預測值影響越大，遠期的較小。可對近期數據賦予較大權重，遠期數據賦予較小權重。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法二、指數平滑（修勻）法1、概念：將本期的觀察值（實際值）和預測值作為根據，修勻得出下一期的預測值。2、公式：α為平滑（修勻）系數，α∈（0,1）；為估價誤差。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法二、指數修勻法

平滑系數α的取值非常重要，一般通過試算來確定，取0.1，0.2，·

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0.9。哪個修正出來的預測值與實際值的誤差最小，就取哪個。當α取0.1時，忽視實際值，重視預測值；當α取0.9時，重視實際值，忽視預測值。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法三、指數曲線法（平均發展速度法、指數曲線回歸法）概念：第t（2，3，·

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·，n

）的價格Pt與t-1年的價格Pt

-1的比值基本相同，則可判定該房地產價格呈指數曲線趨勢。為第t年的房地產趨勢價格（預測值）；t為時期序號，a、b為待定系數。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法三、指數曲線法（平均發展速度法、指數曲線回歸法）1、平均發展速度法：房地產價格時間序列的逐期環比發展速度大致相同，就可以計算出逐期發展速度的平均數，即平均發展速度。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法1、平均發展速度法：公式：為第t期的預測價格，P0為初期價格，x為平均發展速度，t為期數。第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法例：某地區某類房地產2002年～2006年的價格及其逐年上漲速度建下表第2、3列，試預測2007年和2008年的價格。年份實際價格（元/m2）逐年上漲速度%2002112020031350120.520041638121.320051967120.120062400122.0解：由上表可知該類房地產價格逐年上漲速度大致相同，可用平均發展速度法計算。房地產價格平均發展速度：或：預測2007年的價格：

2008年的價格：2、指數曲線回歸法：公式：進行指數曲線的擬合，將其轉化為直線形式。兩邊同時取對數：

令：則：第八章長期趨勢法第三節非線性趨勢法2、指數曲線回歸法：對于該公式：按直線回歸趨勢法，確定系數A和B，即根據方程組：