2023/2/111.約束極值存在的條件：(K—T條件)

2.迭代算法迭代格式：使得

3.收斂準則①點距準則②目標函數下降量準則③

梯度準則④K-T條件準則知識點回顧2023/2/12第4章一維無約束優化方法2023/2/134.二次插值法（拋物線法）

1.確定初始區間的進退法2.黃金分割法(0.618法）3.牛頓法掌握其基本思想、特點2023/2/14

工程實際中，所有設計問題幾乎都是約束問題。

約束優化設計問題→無約束問題來求解。此外，有些約束優化設計方法，也可以借助于無約束優化方法的策略思想來構造。

引言第4章一維無約束優化方法2023/2/15引言數值迭代格式給定求一個變量一維函數的極值問題機械最優化設計雖大都為多維問題，但在數值迭代計算中要進行一維搜索，即把多維問題轉化為一維問題來處理，一維搜索是優化方法的基礎。第4章一維無約束優化方法2023/2/16一維搜索方法分兩步：（1）確定初始搜索區間；（2）求出該區間內的最優步長因子。第4章一維無約束優化方法2023/2/17一維優化方法分為兩類：（1）直接法——按照某種規律取若干點計算其函數值，然后通過直接比較函數值的大小來確定最優解，常用的有黃金分割法,Fibonaui（分數法）（2）間接法——利用函數的一階導數、二階導數來求解，故又稱解析法，常用的有牛頓法和二次插值法等。第4章一維無約束優化方法2023/2/184.1確定初始區間的進退法探索區間的確定方法有外推法及進退法，常用的是進退法。2023/2/194.1確定初始區間的進退法搜索區間內函數具有單峰性，也就是在區間[a，b]中函數是凸函數，具有高—低—高的特性。在區間上具有唯一的極小值。即當時，有2023/2/1104.1確定初始區間的進退法4.1.1方法的建立給定初始點和初始步長步驟：（1）令??計算，（2）比較、函數值大小。

2023/2/1114.1確定初始區間的進退法4.1.1方法的建立前進運算a.前進運算：

方向正確，作前進運算。計算三點的函數值滿足高—低—高的特性若則搜索區間為

否則，將步長再加倍，重復上述運算，直至函數值滿足高—低—高的特性。2023/2/1124.1確定初始區間的進退法4.1.1方法的建立b.后退運算：方向不正確，作后退運算，即反向搜索。否則，將步長再加倍繼續后退，直至函數值滿足高—低—高的特性。若計算三點的函數值滿足高—低—高的特性搜索區間為2023/2/1134.1確定初始區間的進退法4.1.2程序框圖①前進運算

③②前進運算

2023/2/1144.1確定初始區間的進退法4.1.2程序框圖前進運算

和依次往右趕，始終比較和作代換，計算2023/2/1154.1確定初始區間的進退法4.1.2程序框圖后退運算

①②③2023/2/1164.1確定初始區間的進退法4.1.2程序框圖后退運算計算作代換無論前進還是后退運算，都是左邊的點為，右邊的點為和依次往左趕，2023/2/1174.2黃金分割法Fibonaui（分數法）和黃金分割法都是應用序列消去原理的直接搜索方法。2023/2/1184.2黃金分割法4.2.1序列消去原理基本思想：在搜索區間內選取計算點并比較其函數值，消去部分區間，以縮短搜索區間。消去在縮短了的探索區間內保留了一個點，再取一個新點，比較此兩點的函數值大小，進一步將新區間縮短，直至區間長度小于某一給定的精度ε，則認為找到了極值點。探索區間

2023/2/1194.2黃金分割法4.2.1序列消去原理消去

探索區間在縮短的區間內取兩個點，比較其函數值，才能進一步縮短搜索區間，為了與前兩種情況一至，便簡化迭代程序，將第（3）種情況和（1）、（2）種情況合并，只按以下兩種情況考慮：為縮短后的探索區間。為縮短后的探索區間。消去

消去

2023/2/1204.2.2黃金分割法的基本思想通過計算和比較單峰區間內兩點的函數值，不斷舍棄單峰區間的左端或右端的一部分，使探索區間按等比例等速縮小，直至極小點所在區間縮小到某一給定的精度ε，而得到近似最優解，又稱它為0.618法。2023/2/1214.2.2黃金分割法的基本思想黃金分割法在探索區間的插入點有以下規律：（1）首輪在區間內插入的兩個點與區間兩端點的距離相等，即相距兩端點具有對稱性。2023/2/1224.2.2黃金分割法的基本思想黃金分割法在探索區間的插入點有以下規律：（2）在縮短后的區間內插入一個點，新區間的三段和原區間的三段具有相同的比例分布。如果把區間長度看作是1，則有：解上式得：最長段與較長段之比相等2023/2/1234.2.3黃金分割法的迭代過程①在初始區間取兩個試點

②計算函數值③比較

迭代過程2023/2/1244.2.3黃金分割法的迭代過程③比較求新區間增加一個新點

（a）

2023/2/1254.2.3黃金分割法的迭代過程③比較（b）求（b）新區間增加一個新點

④新區間小于給定的精度ε時，終止迭代，所求的最優點

否則轉第3步繼續迭代。2023/2/1264.2.4程序框圖開始結束TTFF給定a,b,ε2023/2/1272023/2/1282023/2/1296次迭代達最優點2023/2/130練習

1.試用黃金分割法求函數的最優解。初始區間[a,b]=[1,7],精度ε=0.01.最優解：2023/2/131重點內容1、搜索區間內函數應具有什么性質？2、黃金分割法的基本思想是什么？3、黃金分割法的區間縮短實質上采用的是什么原理？4、黃金分割法首輪搜索區間插入點具有什么特點？2023/2/132知識點回顧1.用進退法確定初始區間時，搜索區間內函數具有什么性質？2.用進退法確定初始區間，直至函數滿足什么特性時停止搜索？

3.黃金分割法的基本思想是什么？4.黃金分割法中的0.618的含義是什么？本次課的內容一維牛頓法（切線法）二次插值法（拋物線法）1、基本思想

2、迭代公式和迭代步驟3、程序框圖4、特點2023/2/1344.3一維牛頓法（1）牛頓法的基本思想

用二次函數逐點近似原目標函數，以二次函數的極小點來近似原目標函數的極小點，用切線代替弧線逐漸逼近函數的根值。2023/2/135（1）牛頓法的基本思想

當目標函數有一階連續導數，且二階導數大于零時，函數的極小值點應滿足極值存在的必要條件，所以求函數的極小值點也就是求解方程的根。在曲線上作一系列切線，使之與軸的交點逐漸逼近方程的根。4.3一維牛頓法2023/2/136（2）牛頓法的迭代公式與軸的交點為推廣到k步得迭代公式過點的切線方程為

4.3一維牛頓法2023/2/137（2）牛頓法的迭代公式迭代公式也可由Taylor公式展開得到：

在點附近用二次函數來逼近原目標函數，故在點用Taylor公式展開，保留到二次項。令4.3一維牛頓法2023/2/1384.3一維牛頓法（3）牛頓法的迭代步驟給定搜索區間，初始點，迭代精度ε，令1）計算

2）求

3）終止條件判斷

若滿足條件，則得近似解停止計算，否則轉步驟4）4）令轉步驟1）。自己列出程序框圖2023/2/139（4）牛頓法的程序框圖

給定x(0),a,b,εk=0TF結束開始4.3一維牛頓法2023/2/1402023/2/1412次迭代達最優點2023/2/1424.3牛頓法1）

優點是收斂速度快，2）缺點是需要計算函數的一階和二階導數，增加了每次迭代的工作量。如果用數值微分計算函數的二階導數，其舍入誤差將嚴重影響牛頓法的收斂速度，的值越小問題越嚴重。3）牛頓法要求初始點離極值點不太遠，否則有可能使極小化序列發散或收斂到非極小點。（5）牛頓法的特點2023/2/1434.4二次插值法（拋物線法）4.4.1二次插值法基本思想利用目標函數在三個點的信息:

構造一個與目標函數值相接近的插值多項式，用該多項式的最優解作為原目標函數的近似最優解，隨著搜索區間的逐次縮短，多項式的最優點與原函數最優點的距離逐漸減小，直至滿足精度要求。2023/2/1444.4.2二次插值法的公式推導設函數極值點所在區間內有三個點其函數值為滿足，即滿足高—低—高特性。構造二次插值多項式多項式的最優解（x2,f2)作為原目標函數的近似最優解2023/2/1454.4.2二次插值法的公式推導構造二次插值多項式：（4-3）——待定系數對（4-3）式求導，令導數等于零，得插值多項式的極小點：極小點：2023/2/1464.4.2二次插值法的公式推導構造二次插值多項式：（4-3）將三點的值代入（4-3）即可求待定系數（4-4）2023/2/1474.4.2二次插值法的公式推導由（4-4）可以求得（4-6）

（4-7）將代入得極小點（4-8）2023/2/1484.4.3二次插值法的迭代過程

①確定初始搜索區間給定初始插值點迭代精度ε。②計算

③計算插值多項式的極小點2023/2/1494.4.3二次插值法的迭代過程④終止判斷a.若便可得到極小點

b.若

必須縮小搜索區間根據區間消去原理，先比較和的大小，然后確定從四點中舍去得到新三點，然后再轉步驟③。2023/2/150

4.4.4二次插值法的程序框圖A=0停（失敗）TFFTFT必須縮短搜索區間2023/2/151

4.4.4二次插值法的程序框圖求2023/2/152

4.4.4二次插值法的程序框圖求xm2023/2/153

4.4.4二次插值法的程序框圖A=0停（失敗）TFFTFT采用序列消去原理縮短探索區間2023/2/1544.4.5二次插值法的特點

拋物線法充分利用了函數的性態。對于二次函數用二次插值法求解，在理論上一次迭代可達到最優點。對于非二次函數，在極值點附近函數呈現二次性態，因而收斂速度也較快。4.4.6各種一維優化方法的比較

牛頓法收斂快，但