第2單元復雜直流電路分析2.1含獨立電源網絡的等效變換

2.2支路電流法2.3節點電壓法

2.4網孔電流法2.5疊加定理

2.6戴維南定理2.1.1等效的概念

任何具有2個出線端的部分電路都稱為二端網絡。若二端網絡中含有電源稱為有源二端網絡，如二端網絡內不含電源，則稱為無源二端網絡，如下圖所示。2.1含獨立電源網絡的等效變換

如果一個二端網絡的端口電壓、電流關系與另一個二端網絡的端口電壓、電流關系相同，則稱其為等效二端網絡或等效電路。對于兩個等效的二端網絡總可以用一個去替換另一個，這種替換稱為等效變換，如下圖所示。2.1.2理想電源的串聯和并聯

1．理想電壓源的串聯

在電路中如果有多個理想電壓源串聯時，可以等效成一個理想電壓源，其電壓值是各個電壓源的代數和。此二端網絡的端電流I由外電路決定，其等效電路如下圖所示。2．理想電流源的并聯

在電路中如果有多個理想電流源并聯時，可以等效成一個理想電流源，其電流值是各個電流源的代數和。此二端網絡的端電流U由外電路決定，其等效電路如下圖b所示。

3．理想電壓源的并聯

只有理想電壓源相等且極性一致時才允許并聯，否則將違反KVL。此時，等效的電壓源為并聯電壓源中的一個，如下圖所示。4．理想電流源的串聯

只有理想電流源相等且流向一致時才允許串聯，否則將違反KCL。此時，等效的電流源為串聯電流源中的一個，如下圖所示。

5．理想電壓源與二端網絡并聯

由理想電壓源特點可知，其端電壓與流過它的電流無關。所以，理想電壓源與任何二端網絡（不包括不同值的理想電壓源）并聯，對外電路而言，都可以等效為該理想電壓源，如下圖所示。6．理想電流源與二端網絡串聯

由理想電流源特點可知，其輸出電流與它兩端的電壓無關。所以，理想電流源與任何二端網絡（不包括不同值的理想電流源）串聯，對外電路而言，這部分電路可以等效為該理想電流源，如下圖所示。

【例】求下圖所示電路的最簡等效電路?！窘?】在圖a圖中，12V電壓源與2A電流源并聯，可等效為12V電壓源，如圖b所示；在圖b圖中，12V電壓源與4A電流源串聯，可等效為4A電流源，如圖c所示。2.1.3兩種實際電源模型的等效變換

實際電源模型之間的等效變換有兩種，一是實際電壓源等效變換為實際電流源；二是實際電流源等效變換為實際電壓源。如下圖所示。

不難看出，當Ru=Ri，US=RiIS時，它們之間為是互為等效電路。

實際電源在等效變換時應注意以下幾點：

（1）實際電源的相互轉換，只是對電源的外電路而言的，它們吸收或供出的功率總是一樣的，但對電源內部則是不等效的。如電流源，當外電路開路時，內阻上仍有功率損耗；電壓源開路時，內阻上并不損耗功率。（2）變換時要注意兩種電路模型的極性必須一致，即電流源流出電流的一端與電壓源的正極性端相對應。

實際電源在等效變換時應注意以下幾點：

（3）實際電源的相互轉換中，不僅只限于內阻，可擴展至任一電阻。凡是理想電壓源與電阻R串聯的有源支路，都可以變換成理想電流源與電阻R并聯的有源支路，反之亦然。（4）理想電壓源與理想電流源不能相互等效變換。理想電壓源的電壓恒定不變，電流取決于外電路負載；理想電流源的電流是恒定的，電壓取決于外電路負載，故兩者不能等效?！纠壳髨Da所示電路的等效電流源模型；求圖b所示電路的等效電壓源模型?！窘?】根據實際電源模型等效變換的條件，可以求出等效電流源參數

Ru=Ri=6Ω

；其等效電路如圖c所示。

同理，根據實際電源模型等效變換的條件，可以求出等效電壓源參數為Ru=Ri=4Ω其等效電路如圖d所示。【解】

首先將32V實際電壓源轉換為8A實際電流源，如下頁圖a所示。第二步，合并圖a中的兩個電流源，將兩個電阻并聯合并成一個電阻，電路簡化為下頁圖b。第三步，將圖b中的10A實際電流源轉換為實際電壓源，如下頁圖c所示。最后，將圖c中的兩個各電壓源合并成一個電壓源，將兩個電阻合并成一個電阻，電路簡化為下頁圖d所示的實際電壓源?！纠侩娐啡缦聢D所示，求其最簡等效電路。

【例】如下圖a所示電路，已知R1=1Ω，R2=2Ω，R3=10Ω，

US1=18V，US2=28V應用兩種實際電源模型的等效變換，求電阻R3所在支路的電流I?！窘?】因電壓源與某電阻串聯的支路，可以變換成電流源與電阻并聯的支路，故先將圖a所示的電路，等效變換成圖b所示的電路，其中

再將兩個電流源合并成一個電流源，如圖c電路所示，其中并聯電阻R1、R2的等效電阻為【解:】因電壓源與某電阻串聯的支路，可以變換成電流源與電阻并聯的支路，故先將圖a所示的電路，等效變換成圖b所示的電路，其中

再將兩個電流源合并成一個電流源，如圖c電路所示，其中并聯電阻R1、R2的等效電阻為最后，應用分流公式可求出R3支路電流為2.2支路電流法

支路電流法是以支路電流作為未知變量，利用基爾霍夫定律列寫方程組，而后聯立求解未知的電路電流的方法。支路電流法求解電路的方法如下：（1）首先確定電路中的支路數，假設為b條，然后設每個支路電流為未知量，并在相應的支路處標出各個電流的參考方向。（2）然后標出電路中的節點，根據KCL列寫方程。注：若在電路中有n個節點，根據KCL只能列出（n-1)個獨立的節點方程。

（3）確定電路中的所有網孔，設定各網孔的繞行方向，并根據KVL列寫回路方程。（4）將（2）（3）步中列出的方程組成一個方程組，求解出支路電流。以下圖所示的電路為例來說明支路電流法的分析步驟。

在該電路中支路數b=3，節點數n=2，以支路電流I1、I2、I3為變量，設定各支路電流的參考方向如上圖所示，共要列出三個獨立方程。

首先，根據支路電流的參考方向，流出節點的電流前取“－”號，流入節點的電流前取“＋”號，列出（n-1)個獨立的節點方程。由于該電路中節點數n=2，只需列寫一個節點方程即可，對于節點a列寫KCL方程或以b為參考節點列寫KCL方程

其次，選擇回路，應用KVL列出其余所需獨立方程。通常，可取網孔來列KVL方程。電路圖中有兩個網孔，按順時針方向繞行，對網孔回路Ⅰ列寫KVL方程：按順時針方向繞行，對網孔回路Ⅱ列寫KVL方程：網孔的數目恰好等于b-(n-1)=3-(2-1)=2。因為每個網孔都包含一條互不相同的支路，所以每個網孔都是一個獨立回路，可以列出一個獨立的KVL方程。應用KCL和KVL，一共可列出(n-1)+［b-(n-1)］=b個獨立方程，它們都是以支路電流為變量的方程，因而可以解出b個支路電流。

【例】下圖所示的電路中，已知US1=36V，US2=24V，R1=8Ω，R2=4Ω，R3=8Ω，R4=4Ω，試求各支路電流I1、I2、I3。

【解:】

以支路電流為變量，電流參考方向與網孔回路繞行方向如圖所示，以a為節點列寫出KCL方程為對網孔回路Ⅰ和Ⅱ可列出KVL方程為聯立方程組為代入數據，得整理為解之，得I1=2A，I2=0.5A，I3=2.5A

【例】試用支路電流法求下圖所示電路的支路電流。

【解:】

為了用支路電流法求解，就必須先給6A電流源兩端設定一個未知的電壓U，參考方向如圖所示。該電路有1個獨立的節點，兩個網孔回路，設定各支路電流和網孔回路繞行方向如圖所示。

列方程組為解之，得

I1=-2A，I2=4A，I3=6A

，U=90V

2.3節點電壓法

2.3.1節點電壓方程的一般形式

在電路中任選某一節點做為參考節點，把其他節點與此參考節點之間的電壓稱為節點電壓。節點電壓的參考極性一般規定參考節點為負，其余獨立節點為正。以下圖為例，電路中有3個節點，分別為0、1、2。設節點0為參考節點，節點1和節點2到參考節點的電壓分別為U1和U2。

根據KCL，可以列兩個獨立的電流方程（2-3）將式（2-3）中各支路電流用節點電壓表示為代入式（2-3），整理得

（2-4）式（2-4）也可寫成（2-5）將式（2-5）改寫為一般形式（2-6）

式（2-6）可以推廣到多個節點的電路。設電路中有n個節點，則有n-1個節點電壓，其方程組形式為

2.3.2節點電壓法的分析步驟應用節點電壓法來分析計算電路的解題步驟如下：（1）確定參考節點，并設定各獨立節點電壓的參考極性。（2）確定各節點的自導和互導，列出節點電壓方程。（3）解方程求各節點電壓。（4）設定各支路電流的參考方向，根據所求得的獨立節點電壓及KVL和VCR關系，即可求出各支路電壓和支路電流。

【例】電路如下圖所示，若已知R1=R2=R3=1Ω，IS1=1A，

US1=US2=2V。列出電路的節點方程并求解?！窘?】若選參考節點如圖b所示，設流過電壓源US1中的電流大小為I0，參考方向如圖b所示，于是可列寫出方程為節點1

節點2節點3

又有

U1-U3=2V代入數據，解之，得

U1=2.5V，U2=2V，U3=0.5V，I0=3A2.3.3彌爾曼定理

下圖所示電路中只有1個獨立節點，可列出1個獨立的節點電壓方程為寫成一般形式為【例】應用彌爾曼定理求下圖所示電路中各支路電流?！窘?】本電路只有一個獨立節點，設其電壓為U1，可得

設各支路電流的參考方向如圖所示，求得各支路電流分別為2.4網孔電流法

2.4.1網孔電流方程的一般形式

下圖所示電路中，共有三個支路，兩個網孔。設想在每個網孔中，都有一個電流沿網孔邊界環流，其參考方向如圖所示，這樣一個在網孔內環行的假想電流叫做網孔電流。

從圖中可以看出，各網孔電流與各支路電流之間的關系為即所有支路電流都可以用網孔電流線性表示。

以網孔電流為變量，應用KVL列出方程組整理得（2-9）

這就是以網孔電流為未知量時列寫的KVL方程，

稱為網孔方程。

方程組（2-9）可以進一步寫成（2-10）方程組（2-10）也可以推廣到具有m個網孔的平面電路，其網孔方程的規范形式為

2.4.2網孔電流法的分析步驟

應用網孔電流法來分析計算電路的解題步驟如下：（1）選定一組獨立網孔，并指定各網孔電流的繞行方向。（2）確定各網孔的自阻和互阻，列出網孔電流方程組。（3）解方程求出網孔電流。（4）由網孔電流求出各支路電流。（5）利用已知的網孔電流，根據各支路電流及各支路的VCR關系，求出其他所需的電量。

【例】應用網孔電流法求下圖a所示電路中各支路電流。已知R1=20Ω，R2=2Ω，R3=4Ω，R4=6Ω，IS1=2A，US1=26V，求各支路電流?！窘?】先將圖a所示的電路中，電流源與電阻的并聯組合等效變換成電壓源與電阻的串聯組合，如圖b所示。在圖b中，假設網孔電流繞行方向如圖b所示，方程組為代入數據，解之，得在圖a所示的電路中，有【例】電路如下圖所示，已知R1=R2=R3=R4=R5=2Ω，IS1=2A，US1=4V，求各支路電流。

【解:】理想電流源支路是網孔3獨享支路，在圖示網孔電流參考方向下，網孔電流Im3等于已知電流源電流IS1。電路只有兩個未知網孔電流，故只需列兩個網孔電流方程。

網孔3Im3=IS1網孔1(R1+R2+R3)Im1－R2IS1－R3Im2=–US1

網孔2(R3+R4+R5)Im2－R3Im1－R4IS1=US1代入數據，聯立求解可求出未知網孔電流根據網孔電流與各支路電流的關系可得各支路電流代入數據，解之，得2.5疊加定理

2.5.1疊加定理的內容

疊加定理可以表述為：在線性電路中，有幾個獨立電源共同作用時，在任一支路所產生的電流（或電壓）等于各獨立電源單獨作用時在該支路所產生的電流（或電壓）的代數和。下面在線性電路中來驗證疊加定理，求下圖所示電路中R2支路電流I。

圖a所示電路中含有兩個獨立電壓源，以支路電流為變量，應用KCL、KVL列出方程組如下解之，得圖b是電壓源US單獨作用下的情況。此時，電流源的作用為零，零電流源相當于無限大電阻(即開路)。在US單獨作用下R2支路電流為

圖2-28c是電流源IS單獨作用下的情況。此時，電壓源的作用為零，零電壓源相當于零電阻(即短路)。在IS單獨作用下R2支路電流為求所有獨立源單獨作用下R2支路電流的代數和，得上例表明：疊加定理在線性電路中是存在的，可以用它來分析計算復雜的線性電路。

2.5.2疊加定理的應用

應用疊加定理進行電路分析的具體步驟如下：（1）標出各支路電流的參考方向。（2）將電路分解為各獨立電源單獨作用的分電路，標出各分電路中電流的參考方向。（3）求解各分電路中電流。（4）疊加合成求解。【例】如圖2-29a所示電路，已知R1=1Ω，R2=2Ω，R3=10Ω，US1=18V,US2=28V,

應用疊加定理，求電阻R3所在支路的電流?！窘?】（1）當電壓源US1單獨作用時，電壓源US2用短路代替，相當于電阻R2和電阻R3并聯后，再與電阻R1串聯，電路如圖所示，電阻R3支路電流為（2）當電壓源US2單獨作用時，電壓源US1用短路代替，相當于電阻R1和電阻R3并聯后，再與電阻R2串聯，電路如圖2-29c所示，電阻R3支路電流為（3）當兩個電壓源US1、US2共同作用時，根據疊加定理，電阻R3支路電流為2.6戴維南定理2.6.1戴維南定理的內容

任何一個有源二端網絡都可以用一個電壓源與電阻相串聯的等效電路來代替，如下圖所示。這個電壓源電壓就是有源二端網絡的開路電壓UOC，這個電阻就是該網絡中所有電壓源短路、電流源開路時的等效電阻Ro，Ro又稱輸出電阻或內阻。我們稱它為戴維南定理，又稱等效電壓源定理。

2.6.2戴維南定理的應用

應用戴維南定理分析計算電路的具體步驟如下：

（1）在一個復雜電路中，若只求解其中一條支路的電流或電壓時，可將此支路斷開去掉，則剩余部分電路可看成一個有源二端網絡。（2）應用戴維南定理，首先求該二端網絡的開路電壓UOC。在求解開路電壓UOC時，前面所講述的電路分析方法都可以使用。（3）將上述有源二端網絡除源(即電壓源用短路代替，電流源用開路代替)，求所得無源二端網絡的等效電阻Ro。（4）UOC和Ro串聯組成等值電壓源，接在待求支路兩端，形成單回路簡單電路，求出其中電流或電壓，即為所求支路的電流或電壓。（5）適用范圍：只求一條支路的電流或電壓。

【例】求下圖a所示電路a、b端