第七章應力狀態分析和強度理論§7–1應力狀態概述

一、一點的應力狀態前面研究了桿件在軸向拉伸(壓縮)、扭轉和彎曲時的強度問題。這些桿件的危險點（發生最大應力的點)或處于單向受力狀態，或處于純剪切狀態，相應的強度條件為例：一個點的所有截面上的應力情況的集合，稱為該點的應力狀態

二、應力狀態單元體

研究一點的應力狀態時，常常圍繞該點從受力構件中截取任意的微小正六面體，這個微小正六面體稱為單元體。單元體的兩個平行截面上的正應力數值相等，符號相同；單元體的兩個正交截面上的剪應力數值相等，符號相反。三、應力狀態的分類

單向應力狀態:只有一個主應力不等于零的應力狀態二向應力狀態(平面應力狀態):兩個主應力不等于零的應力狀態三向（空間）應力狀態:三個主應力均不等于零的應力狀態

剪應力為零的平面稱為主平面。主平面上的正應力稱為主應力，用s1、s2、s3

表示，并按代數值排列，即

s1>s2>

s3,在各個面上只有主應力（單元體的三組正交平面都是主平面）的單元體稱為主單元體。§7–2二向應力狀態分析一、用解析法研究二向應力狀態ba圖a所示的是一個平面應力狀態單元體，又可以圖b來表示。現在來討論該單元體在各個方位的變化。1、任意斜截面上的應力

ασxτxσyτy

ατyσyσxτxσαταnt

αdAdAsinαdAcosαΣN=0,σαdA+τxdAcosαsinα-σxdAcosαcosα+τydAsinαcosα-σydAsinαsinα=0ΣT=0,ταdA-τxdAcosαcosα-σxdAcosαsinα+τydAsinα

sinα+σydAsinα

cosα

=0任意斜截面上的應力式(1)(2)就是任意斜截面上的應力計算式。由式(1)又可得：

式(3)表明互相垂直截面上的正應力之和是常數，與截面位置無關。

2.主應力與主平面

由式(1)，令，可得：

以表示正應力取得極值的方位，則有：

正應力隨角度變化而變化，其極值等于多少？又在什么方位呢？

從式(4)可得到和相互垂直的主平面的方位。兩個主平面上的正應力，一個是最大正應力，一個是最小正應力。計算式為：式(a)表示正應力為極值的截面，也就是剪應力的截面。這個截面就是主平面，極值應力就是主應力。由式(a)可得到主應力的方位：

主應力單元體見右圖minmax同樣最大正應力與最小正應力之和應滿足式(3)，即

以表示剪應力取得極值的方位，上式可化為：

3.極值剪應力及其方位

剪應力也隨角度變化而變化，同理，由式(2)，令，得：

由式(6)可得到和兩個剪應力極值所在的平面，最大、最小剪應力所在平面是相互垂直的，其值為：比較式(5)和式(7)可得

比較式(4)和式(6)得：

式(9)說明

或

即：剪應力極值所在平面和主平面成45度角（見上圖）。

maxminmaxmin圖

中的主應力表示的單元體為主應力單元體，以主剪應力表示的單元體為主剪應力單元體。下面以實例說明數解法的求法。極值剪應力又稱主剪應力。此時主剪應力所在平面上有正應力存在，其值為：

maxminmaxmin例1

已知平面應力狀態如圖示。試用數解法求：

①斜面上的應力并表示于圖中（斜面法線與x軸成30度）；②主應力大小及方位，并繪主應力單元體；③最大剪應力大小及方位，并繪主剪應力單元體。例1圖解（一）斜面上的應力

已知：

（壓應力）

（拉應力）

（逆時針）將代入式(1)和式(2)可得：

（拉應力）（逆時針）將表示于圖中。

（二）主應力大小及方位

將代入式(4)可得：

解出：一個主平面的方位角為，另一主平面的方位角為，將兩個方位角分別代入式(1)可得兩個面上的主應力。

也可由式(5)求出主應力

應當指出，由于平面應力狀態單元體前后兩平面是零應力平面，主應力為零，因此，它也是主平面，按三個主應力排列次序，應為：

繪主應力單元體圖如下：

主應力單元體圖

（三）主剪應力大小及方位

將代入式(6)(7)得：

解得：

將代入式(2)可得：為所在方位，則為所在方位。繪主剪應力單元體圖于主應力單元體圖中。主應力單元體圖主剪應力單元體圖§7–3三向應力狀態

tmax的作用面與1和3作用平面夾角均為45。例題：簡支梁受力如圖。試定性地從梁中點5,4,3,2,1處取出應力單元體，并繪應力單元體圖。

§7–4廣義虎克定律a)廣義虎克定律的一般形式

平面應力狀態時（設）

b)主應力表示的虎克定律

二向應力狀態時（設），上式為；

式中，為主應變。體積應變：

例題：

1、工字鋼制成的簡支梁，其彈性模量E=200GPa，泊松比=0.3。已知P=15kN，試求腹板上A點處沿0，45，90方向的線應變0，45，90，及該點處的主應變。根據上述現象，設想梁內部的變形與外表觀察到的現象相一致，可提出如下假設：

a.平面假設：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉過一個角度，仍垂直于變形后梁的軸線。

b.各縱向纖維間無正應力假設：梁由無數縱向纖維組成，各纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓2、已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉的聯合作用。為了用實驗方法測定拉力P與作用在垂直于桿軸平面內的外力偶矩m0的值，可沿軸向及與軸向成45方向測出線應變。現測得軸向應變0=50010-6，45方向的應變u=40010-6。若軸的直徑D=100mm，彈性模量E=200Gpa，泊松比μ=0.3。試求P和m0的值。一、強度理論的概念及材料的兩種破壞形式1．強度理論的概念前面幾章中，討論了四種基本變形時的強度條件，即a．正應力強度條件b．剪應力強度條件§7–5強度理論前式適用于單向應力狀態，式左邊的工作應力常為拉（壓）桿橫截面上的正應力或梁彎曲時最大彎矩橫截面邊緣處的正應力。后者適用于純剪切應力狀態，式左邊的工作應力常為圓軸受扭最大扭矩橫截面邊緣處的剪應力或梁最大剪力橫截面中性軸處的彎曲剪應力。式中的許用正應力和許用剪應力是由軸向拉（壓）試驗和純剪切試驗所測得的極限應力除以安全系數而得。這兩類強度條件是能夠直接通過試驗來建立。

a．正應力強度條件b．剪應力強度條件然而，在工程實際中許多構件的危險點是處于復雜應力狀態下，其應力組合的方式有各種可能性。如采用拉（壓）時用的試驗方法來建立強度條件，就得對材料在各種應力狀態下一一進行試驗，以確定相應的極限應力，這顯然是難以實現的。強度理論就是根據對材料破壞現象的分析，采用判斷推理的方法，提出一些假說，從而建立相應的條件。二、四種常用的強度理論（一）關于脆性斷裂的強度理論1．第一強度理論（最大拉應力理論）這一理論認為最大拉應力是引起材料脆性斷裂破壞的主要因素，即不論材料處于簡單還是復雜應力狀態，只要最大拉應力達到材料在單向拉伸時斷裂破壞的極限應力，就會發生脆性斷裂破壞。建立的強度條件為：實踐證明，該理論適合脆性材料在單向、二向或三向受拉的情況。此理論不足之處是沒有考慮其它二個主應力對材料破壞的影響。2．第二強度理論（最大伸長線應變理論）這一理論認為最大伸長線應變是引起材料脆性斷裂破壞的主要因素，即材料在復雜應力狀態下，當最大伸長線應變ε1達到單向拉伸斷裂時的最大拉應變時，材料就發生斷裂破壞。建立的強度條件為：（二）關于塑性流動的強度理論1．第三強度理論（最大剪應力理論）這一理論認為最大剪應力是引起材料塑性流動破壞的主要因素，即不論材料處于簡單還是復雜應力狀態，只要構件危險點處的最大剪應力達到材料在單向拉伸屈服時的極限剪應力就會發生塑性流動破壞。建立的強度條件為：2．第四強度理論（形狀改變比能理論）這一理論認為形狀改變比能是引起材料塑性流動破壞的主要因素，即不論材料處于簡單還是復雜應力狀態。只要構件危險點處的形狀改變比能，達到材料在單向拉伸屈服時的形狀改變比能，就會發生塑性流動破壞。建立的強度條件為：這一理論較全面地考慮了各個主應力對強度的影響。（三）強度理論的選用1．相當應力四個強度理論可用如下統一的形式表達：式（11-5）中的稱為相當應力。四個強度理論的相當應力分別為：在工程中的受力構件，經常會有一種二向應力狀態（圖11-3），這種應力狀態的主應力為：將主應力代入第三、第四強度理論公式中可得：例1．No20a工字鋼梁受力如圖，已知材料的許用應力，校核其強度。例1圖解：（一）畫梁的剪力圖和彎矩圖危險截面發生在C、D截面MC=32KN·m

QC=100KN

（二）強度校核a．正應力強度校核（K1）點先繪出C截面正應力