復變函數級數泰勒級數和羅朗級數孤立奇點的分類(P35)第三章2/1/20231第三章基本內容：函數級數的基本概念、冪級數、泰勒級、羅朗級數、孤立奇點分類基本運算：將給定函數展開成冪級數，是本章的重點和難點級數理論是分析復變函數的有力工具，它不但在理論上有意義，而且有很重要的實用價值，故本章也是復變函數論的重要內容之一簡介2/1/20232第三章1復變函數級數的基本概念

2復變函數級數的性質

3絕對收斂性的判別法

§3.1復變函數級數和解析函數級數2/1/20233第三章1復變函數級數的基本概念

，前n項和

在某點z存在，則稱（3.1）在z點收斂，該極限稱為級數在z點的和，否則稱為在z點發散.

其中（3.1）（3.2）若級數2/1/20234第三章

復變函數級數歸結為兩個實變函數項級數收斂的必要條件（3.3）2/1/20235第三章任意給定一個小的正數

>0，總存在充分大的正整數N，當n>N時對于任何自然數P，恒有柯西判據：收斂的充要條件絕對收斂：

若在z點收斂，則

在該點絕對收斂

一致收斂：設(k=1,2,…)定義在域D(或曲線l)上,若對任意給定

>0存在與z無關的正整數N,使得當n>N時,對任何自然數P,(3.4)恒成立，稱級數（3.1）在D(或l)上一致收斂2/1/20236第三章定理一：絕對收斂級數，一定是收斂級數

定理二：絕對收斂級數的乘積也是絕對收斂的，乘積的和等于和的乘積(且與排列次序無關)定理三：

在區域D內連續，且

在D內一致收斂級數和在D內也是連續的.2復變函數級數的性質2/1/20237第三章定理四：若在曲線l上連續，且

則級數和S(z)在l上也是連續的，且可在l上逐項積分，即在l上一致收斂，定理五：

若在區域D內滿足實常數且收斂，則在D內是絕對且一致收斂的.2/1/20238第三章魏爾斯特拉斯(Weierstrass)定理:若

在閉區域上是單值解析的，

在l上是一致收斂的，則(ⅰ)在上一致收斂；(ⅱ)級數和S(z)在D內是解析的(ⅲ)在D內有==(n=1,2,…),且該級數在D內任何閉區域上都一致收斂.2/1/20239第三章(1)達朗貝爾(d’Alembert)判別法：如果(至少當k充分大時)(2)柯西(Cauchy)判別法如果(至少當k充分大時)3絕對收斂性的判別法2/1/202310第三章(3)高斯判別法：如果(至少當k充分大時)(其中μ是常數）

當μ>1時，級數絕對收斂，而當μ1時，

發散.各判據依次增強，其復雜程度依次增加.解析、絕對且一致收斂級數，可進行四則運算、逐項積分、逐項求導

2/1/202311第三章1冪級數的斂散性

2冪級數的收斂圓§3.2冪級數的收斂性2/1/202312第三章以b為中心的冪級數

阿貝爾(Abel)定理：若在數在圓域內絕對收斂，而且在該圓域內的任何閉解析).1冪級數的斂散性

收斂，則該級域上一致收斂.即在絕對且一致收斂(連續、2/1/202313第三章證明：在

收斂的必要條件

存在正數M，

使得(k=0,1,2,…),在區域

(:)上有，而幾何級數是收斂的，則由§3.1定理五

在上是絕對且一致收斂的.2/1/202314第三章推論一:若在發散，則該級數在圓

外處處發散.利用Abel定理采用反證法證明.推論二:對于冪級數,必存在一個R0,使得在圓內處處收斂，而在圓外處處發散.2/1/202315第三章收斂圓：

，R為收斂半徑，在該圓內處處絕對且一致收斂，在圓外處處發散.定理:在收斂圓內冪級數可逐項積分或求導任意次，收斂半徑不變2冪級數的收斂圓2/1/202316第三章證：每一項是冪函數都解析，必連續，而級數在收斂圓內絕對且一致收斂可逐項積分或求導.反證法證收斂半徑不變：類似可證收斂性的強弱

收斂半徑：運用達朗貝爾或Cauchy判別法或.積分或求導雖不改變收斂半徑，但改變2/1/202317第三章冪級數在收斂圓內是一個解析函數，本節討論在圓內解析的函數展開成Taylor級數的問題

1解析函數的Taylor級數

2多值函數的泰勒級數§3.3解析函數的Taylor級數展開(P40)2/1/202318第三章定理：若f(z)在1解析函數的Taylor級數內是解析的，則f(z)

在該圓域內可展開為絕對且一致收斂的冪級數

，且此展開是唯一的2/1/202319第三章證：一致收斂是指在閉域內，故對任何

，證明級數在上是絕對收斂對如圖(

)，

應用Cauchy公式

對于上任一點z,注意到

，則是絕對且一致收斂的，可逐項積分，代回上式，得2/1/202320第三章已證得展開式，其絕對一致收斂性和展開唯一性的論證見書P41-42

2/1/202321第三章a）按定理計算b）據展開的唯一性及冪級數在收斂圓內絕對且一致收斂(且解析)的性質，可利用

等函數的展開式，通過級數的四則運算、逐項積分、求

導、函數復合或宗量代換等.1.1展開方法：、ez、sinz、cosz等初2/1/202322第三章：a）按定理R=展開中心b到與b最鄰近的奇點之間的距離(這是最直觀最方便的方法，實變函數的冪級數理論中無此結果)；

b）或求得展開式后，據

或求.

1.2收斂半徑2/1/202323第三章a）確定b是f(z)的解析點，與b最鄰近的奇點收斂半徑

b）按定理，或將待展開的f(z)通過代換、四則運算、求導、積分、函數復合或宗量代換等同展開式已知的、、、1.3一般步驟ez、sinz、cosz聯系起來等2/1/202324第三章[例1]證明證：絕對收斂級數可逐項相乘引入指標n=k+l作為新級數的編號，則2/1/202325第三章[例2]證明證：特例：z=x(實數)則(尤拉公式)2/1/202326第三章2多值函數的泰勒級數

在黎曼面上除支點外，其函數值是單值確定的，所以支點是多值函數的奇點.[例3]將ln(1+z)在z=0的鄰域內展開為泰勒級數解:在黎曼面上只有支點性奇點-1和∞則2/1/202327第三章多值函數在每一葉黎曼面上是一個單值分支，上式就是第m個單值分支的展開式，m=0通常稱為主值分支.2/1/202328第三章[例4]將(m為非整數)在z=0的鄰域內展開.解:的支點為-1、∞.

(k=0,1,2,…)

k取不同值對應不同的單值分支.2/1/202329第三章

3.函數(1-z)-1、ez、sinz、cosz在思考與討論題：1.冪級數的收斂半徑為R，該級數在絕對收斂，在內上一致收斂，級數的每一項是解析的，所以，可以逐項求導、逐項積分，且不改變收斂半徑；在共同收斂區域上的冪級數可以進行四則運算.你認為呢？2.為什么Taylor級數的收斂半徑等于展開中心到被展開函數的最近的奇點的距離？4.Taylor展開的條件是什么？將函數以b為中心進行

Taylor展開和在z=b的鄰域內進行Taylor展開有無區別？作業：p55：3.1(1)、(3)，3.2(1)，3.4(1)，3.5內的Taylor展開式.2/1/202330第三章1Laurent級數

2Laurent定理

§3.4解析函數的洛朗(Laurent)級數2/1/202331第三章負冪部分-主要部分正冪部分-解析部分在上收斂令，則負冪部分收斂上收斂若，則Laurent級數發散若，則Laurent級數在上收斂Laurent級數在2/1/202332第三章若f(z)在內單值解析，則f(z)在該環域內可展開為絕對且一致收斂的級數，（l是環域內繞b一周的任意閉曲線）該展開是唯一的.運用復通域上的Cauchy公式證明，證法類似Taylor定理的證明.1)含有(z-b)的負冪項，但b不一定是奇點：Laurent定理2/1/202333第三章2)

∵l內必有被積函數的奇點，故Cauchy導數公式不再成立.特例：R2=0時，b為奇點沒有導數；即使b為解析點，k取負值時的導數也無意義.3)環域的特例

，，4)展開方法：按定理計算回路積分求展開系數；依據Laurent級數在環域內絕對且一致收斂性、展開的唯一性展開.2/1/202334第三章按定理展成Taylor級數與實函冪級數展開相似Laurent級數較復雜根據冪級數在收斂域上是絕對一致收斂且解析的性質，則可運用、ez、sinz、cosz等的展開式和冪級數的四則運算、

逐項求導、

逐項積分、變量代換及函數的復合展開

教材中介紹的幾種展開方法的名稱只能作為參考§3.5泰勒級數和洛朗級數展開的

幾種常用方法(P47)2/1/202335第三章(1)利用

()[例1]在上2/1/202336第三章[例2],).(解:先部分分式i1-1xyoD12/1/202337第三章2/1/202338第三章(2)利用ez、sinz、cosz

等的展開式如(3)級數逐項求導或逐項積分[例3]解:原式=2/1/202339第三章↓

n=k+1

n=k+2

2/1/202340第三章(4)級數相乘或相除[例4]cotzP49運用級數乘法或待定系數法據cotz是奇函數并可知最低冪項為z-1，故設代入2/1/202341第三章依次令2/1/202342第三章(5)其它展開法

例如：將最右端各項展開，即得的展開式.總之：就是將待展開函數通過四則運算、積分、求導、宗量代換

函數復合等方式與展開式已知的函數聯系起來，再運用級數的上述運算將其展開.2/1/202343第三章僅討論單值函數或多值函數單值分支的奇點.設b為f(z)的孤立奇點，則§3.6孤立奇點的分類和特性(P50)()（3.5.1）2/1/202344第三章b是f(z)的奇點，但展開式中無(z-b)的負冪項例如：z=0是的可去奇點但f(z)仍不能在展開成泰勒級數，∵z=b是f(z)的奇點，若經過補充定義可去奇點b成為F(z)的解析點(1)可去奇點2/1/202345第三章，則b是f(z)的m階極點，m=1時為單極點.，則b是f(z)極點，其階數m:(2)極點若2/1/202346第三章例如：極點∵又∵z=0是單極點，z=n(n=0,1,2…)是二階極點.易證：的單極點是0和2/1/202347第三章含有(z--b)的無限多負冪項(有限個負冪項，但無限個負冪項就不存在極限了)不存在.如z=0是的本性奇點(3)本性奇點2/1/202348第三章(在z=∞鄰域上展開)其中正冪部分為主要部分，負冪部分為解析部分.(4)無窮遠點2/1/202349第三章例：是可去奇點是可去奇點z=∞是的本性奇點