2022年江蘇省南通市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

2.

3.

若y1·y2為二階線性常系數微分方程y〞+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2（）.A.為所給方程的解，但不是通解

B.為所給方程的解，但不一定是通解

C.為所給方程的通解

D.不為所給方程的解

4.當x→0時，x2是x-ln(1+x)的()．

A.較高階的無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.較低階的無窮小

5.

6.A.A.

B.

C.

D.

7.若收斂，則下面命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

8.A.A.

B.

C.

D.

9.

10.A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.無關條件

11.A.A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判定斂散性

12.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

13.設y=e-5x，則dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

14.下列關系式中正確的有()。A.

B.

C.

D.

15.

16.若，則()。A.-1B.0C.1D.不存在

17.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

18.設y=3+sinx，則y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx

19.下列關系正確的是()。A.

B.

C.

D.

20.若函數f(x)=5x，則f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

二、填空題(20題)21.設z=x3y2，則

22.

23.

24.若當x→0時，2x2與為等價無窮小，則a=______．

25.

26.

27.

28.

29.=______．

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.冪級數的收斂區間為______．

37.過點M0(2，0，-1)且平行于的直線方程為______．

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求微分方程的通解．

42.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

43.

44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

45.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

46.

47.

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

50.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

51.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

52.

53.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

54.

55.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

56.

57.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

58.證明：

59.

60.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答題(10題)61.

62.

63.設z=z(x，y)是由F(x＋mz，y＋nz)=0確定的，其中F是可微函數，m、n是

64.

65.設z=z(x，y)由方程z3y-xz-1=0確定，求出。

66.

67.計算

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.要造一個容積為4dm2的無蓋長方體箱子，問長、寬、高各多少dm時用料最省?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此為常系數一階線性齊次方程，其特征根為r=2，所以其通解為y=Ce2x，又當x=0時，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

2.B

3.B

4.C解析：本題考查的知識點為無窮小階的比較．

由于

可知當x→0時，x2與x-ln(1+x)為同階但不等價無窮?。蕬xC．

5.A

6.B本題考查的知識點為級數收斂性的定義．

7.D本題考查的知識點為級數的基本性質．

由級數收斂的必要條件：若收斂，則必有，可知D正確．而A，B，C都不正確．

本題常有考生選取C，這是由于考生將級數收斂的定義存在，其中誤認作是un，這屬于概念不清楚而導致的錯誤．

8.A

9.A

10.D

11.C

12.C

13.A

14.B本題考查的知識點為定積分的性質．

由于x，x2都為連續函數，因此與都存在。又由于0＜x＜1時，x＞x2，因此

可知應選B。

15.D

16.D不存在。

17.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

18.B

19.B由不定積分的性質可知，故選B．

20.C本題考查了導數的基本公式的知識點。f'(x)=(5x)'=5xln5.

21.12dx+4dy；本題考查的知識點為求函數在一點處的全微分．

由于z=x3y2可知，均為連續函數，因此

22.1-m

23.6x2

24.6；本題考查的知識點為無窮小階的比較．

當于當x→0時，2x2與為等價無窮小，因此

可知a=6．

25.x-arctanx+C；本題考查的知識點為不定積分的運算．

26.[01)∪(1+∞)

27.

28.

29.本題考查的知識點為定積分的換元積分法。設t=x/2，則x=2t，dx=2dt．當x=0時，t=0；當x=π時，t=π/2。因此

30.

31.0

32.f(0)．

本題考查的知識點為導數的定義．

由于f(0)＝0,f(0)存在，因此

本題如果改為計算題，其得分率也會下降，因為有些考生常常出現利用洛必達法則求極限而導致運算錯誤：

因為題設中只給出f(0)存在，并沒有給出f(x)(x≠0)存在，也沒有給出f(x)連續的條件，因此上述運算的兩步都錯誤．

33.

34.3本題考查了冪級數的收斂半徑的知識點.

所以收斂半徑R=3.

35.(1+x)2

36.(-2，2)；本題考查的知識點為冪級數的收斂區間．

由于所給級數為不缺項情形，

可知收斂半徑，收斂區間為(-2，2)．

37.

38.

本題考查的知識點為二階常系數線性微分方程的求解．

39.

40.x=-3x=-3解析：

41.

42.由二重積分物理意義知

43.

44.

45.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

46.

47.

則

48.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

49.

列表：

說明

50.由等價無窮小量的定義可知

51.

52.由一階線性微分方程通解公式有

53.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

54.

55.

56.

57.函數的定義域為

注意

58.

59.

60.

61.

62.

63.解

64.解

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.設長、寬、高分別xdmydm