年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）壓軸真題解讀11．已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查橢圓方程的求解，平面向量數(shù)量積的坐標運算等知識【答案】B【解析】因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.【規(guī)律總結(jié)】根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法有：(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．(3)橢圓系方程①與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1共焦點的橢圓系為eq\f(x2,a2－k)＋eq\f(y2,b2－k)＝1(k<b2)．②與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有共同的離心率的橢圓系為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(λ>0)．12．已知，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)比較大小【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.【解后反思】1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.16．已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【命題意圖】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用【答案】##【解析】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.【易錯】忽視基本不等式成立的條件20．已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【命題意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識【解析】(1)由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；(2)，則在點處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.21．設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．【命題意圖】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算求解能力【解析】(1)拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；(2)設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.【感悟升華】圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何方法，即通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)變量的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解．壓軸模擬專練1．（2022山東青島二中高三模擬）首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競賽場館，它的設(shè)計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天．中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌．雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示.假設(shè)圓弧所在圓的方程為，若某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，故,所以直線所在的方程為：，代入，解得或（舍，離y軸較遠的點），所以點的坐標為.由于起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，故設(shè)拋物線方程為：，則，則由M點處切線斜率為1可得，，又，解得，所以該拋物線的軌跡方程為，即，故選：C.2．（2022遼寧本溪高級中學(xué)高三模擬）已知橢圓C：的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為，當時，則橢圓方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由長軸長為4得，解得，設(shè)，直線l方程為，，，則，，由得，，即，所以①，又P在橢圓上，所以，即，代入①式得，即，因為點P為橢圓上任意一點，所以該式恒成立與無關(guān)，所以，解得，所以所求橢圓方程為．故選：D．3．（2022湖北襄陽五中高三模擬）設(shè)．則a，b，c大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，故；，故；假設(shè)，有，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，則，所以成立，；故．故選：A．4．（2022浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬）比較，，的大小（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù),則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，即.故選：D.5．（2022江蘇鹽城高三模擬）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，，若的邊BC的中點為D，則中線AD的長度的取值范圍為________【答案】【解析】因為，所以，所以所以，又，所以解法一：因為銳角，所以解法二：銳角的外接圓中，弦BC對應(yīng)劣弧所對圓周角為，點A在弦BC對應(yīng)的優(yōu)弧上如圖，當為時，不妨設(shè)，此時，當頂點A在處時，為等邊三角形，AD過圓心.則．所以AD的長度的取值范圍為．故答案為：6．（2022福建泉州七中高三模擬）銳角中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，有，且，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為，所以.因為,所以，所以.所以.因為為銳角三角形，所以，所以,所以.所以，即.因為為銳角三角形，所以，解得：由正弦定理得：，.所以.因為，所以，所以.因為，所以，所以，所以.即在中，由兩邊之和大于第三邊，所以.綜上所述：.故答案為：7．（2022山東滕州一中高三模擬）已知函數(shù)，.(1)若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)無零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，函數(shù)在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因為函數(shù)，，所以，.因為曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，所以.則，解得.(2)由題意，，設(shè).①當時，，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以在上無零點.②當時，令，得．當，即時，，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以在上無零點.當時，，符號變化如下，0+↘極小值↗所以.當，即時，，所以，所以在上無零點.當，即時，由，，所以至少存在一個零點，所以至少存在一個零點.綜上，若無零點，實數(shù)的取值范圍為.(3)當時，，定義域為．則．由（2）可知，當時，，當時，，所以當時，在上恒成立.此時，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值．當時，，當時，，，所以，單調(diào)遞減.此時不是極小值點．即時，不合題意．綜上，滿足條件的的取值范圍為．8．已知函數(shù)，.(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．【解析】(1)，則，其中，由題意可得，即，解得．(2)函數(shù)的定義域為，則.①當時，對任意的，，由，可得；由，可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當時，則，由可得；由可得或.此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；③當時，對任意的，且不恒為零，此時函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；④當時，則，由可得；由可得或.此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.(3)對任意，均存在，使得，所以，當時，有．在的最大值．由（2）知：①當時，在上單調(diào)遞增，故，所以，，解得，此時；②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，由，知，所以，，則，則.綜上所述的取值范圍是．9．（2022遼寧省實驗中學(xué)高三模擬）已知橢圓的短軸長為2，離心率為，拋物線的焦點為橢圓的右焦點.(1)求橢圓及拋物線的方程；(2)如圖，過作直線l交拋物線于P，Q兩點（P在Q的左側(cè)），點Q關(guān)于x軸的對稱點為，求證直線過定點N；并求當l的傾斜角為時，點M到直線距離d的取值范圍.【解析】(1)由題意得，因為離心率為，∴，，∴,∴橢圓，，所以拋物線.(2)設(shè)，則，，∵，∴，同理可得，把代入l得，所以，所以直線過定點.當l的傾斜為時，∴∴∴且，∴，，令則，，∵在上單調(diào)遞減，∴.10．（2022山東青州一中高三模擬）已知拋物線的焦點為F，點為E上位于第一象限的點，．(1)求拋物線E的方程及點P的坐標；(2)設(shè)拋物線在點P處的切線為直線l，直線與拋物線E交于M，N