.PAGE.目錄TOC\o"1-2"\h\z\u摘要1Abstract2前言3第1章行列式在中學數學中的應用41.1用行列式證明等式41.2用行列式分解因式51.3行列式在解析幾何中的應用6第2章線性方程組在中學數學中的應用7第3章二次型理論在中學數學中的應用8第4章矩陣與變換引入中學數學的意義及應用104.1中學數學引入矩陣的意義104.2中學數學中矩陣與變換114.3線性變換面積定理114.4利用矩陣的秩判斷兩直線位置關系124.5中學數學中矩陣變換的常見類型12第5章用向量法解決初等幾何問題13結論15參考文獻16致謝17摘要線性代數是數學的一個分支,是一門數學基礎課程．近幾年隨著高等數學已漸漸走入初等數學,線性代數在初等數學中也有廣泛應用．本文共分為五個部分：例說行列式在中學數學中的應用,線性方程組在中學數學中的應用,二次型理論在中學數學中的應用,矩陣與變換引入中學數學的意義及應用,用向量法解決初等幾何問題．本文主要是從上述幾個方面分析了線性代數在中學數學中的若干應用以及有關例題的講解過程．關鍵詞：行列式齊次線性方程組二次型矩陣向量AbstractLinearalgebraisabranchofmathematics.Itisamathematicalfoundationcourse.Inrecentyears,somecontentofhighermathematicsarebeguntolearnbymiddleschoolstudents.AndLinearalgebrahasalsowideapplicationinelementarymathematics.Thispaperisdividedintofiveparts.Intheseparts,wewillgivealotofexamplestoshowsomeapplicationsofdeterminant,Linearequations,quadratictheory,matrixandtransform,vectorinelementarymathematics.Keywords:determinanthomogeneouslinearsystemquadraticformmatrixvector前言線性代數是學習自然科學、工程和社會科學的一門高度抽象且邏輯性很強的基礎理論課程,它本身理論性強,并且計算繁雜．作為高等學校基礎課,除了作為各門學科的重要工具以外,還是提高人才的全面素質中起著重要的作用,他在培育理性思維和審美功能方面的作用也得到充分的重視．可以說任何與數學有關的課程都涉及線性代數知識．學習數學就必須解題,解題要以自己的實踐過程來實現．本文在闡述一些重要的概念和定理之后,常常附以具體例子,這樣可以使讀者從實例中了解問題的具體內容,掌握解決問題的思路和算法步驟,以減少理解障礙,從而提高邏輯讀者的推理和判斷的能力．第1章行列式在中學數學中的應用隨著高中數學新課程的實施,行列式在中學數學中的滲透、應用越來越受關注,本文從三個方面淺析其在中學數學中的應用.1.1用行列式證明等式利用行列式證明等式與不等式的方法是對同一行列式用兩種不同的計算方法,利用其結果相等而得到等式的證明.例1已知,求證.證明：令,則,即例2已知,,,求證：.證明：令,則有.例3在中,求證.證明由于所以,在中,成立.例4求證：.證明：因為又,故1.2用行列式分解因式由行列式的定義,.由此啟發,我們可以把一個代數式看成兩個式子的差,而每個式子又可以看成兩個因式的乘積,即<均為代數式>,于是.由此即可根據行列式的性質,對某些多項式進行因式分解.例1分解因式.解：.例2將分解因式.解：.例3分解因式.解：.利用行列式分解因式的關鍵是將所給多項式的形式寫成行列式的形式,并注意行列式的排列規則.1.3行列式在解析幾何中的應用定理1〔1以平面內三點為頂點的的面積的絕對值.〔2通過兩點的直線方程為.例求過點和點的直線的方程.解由,得直線的方程為.〔3平面內三條直線.相較于一點或互相平行的充要條件是：.推論平面上三點在一條直線上的充要條件是.定理2通過平面上三點的圓的方程為.例1平面上給出三個兩兩相交的圓,每兩個圓有一條根軸,則三條根軸互相平行或交于一點.證明：設三個圓的方程分別為.兩兩相減得三條交線正是所述三條根軸,它們所在的直線方程為三條直線方程的系數行列式為故三直線平行或相較于一點.本題實質是求一封閉圖形經過仿射變換后所得圖形的面積.利用線性變換面積定理求解本題,居高臨下,讓人耳目一新.第2章線性方程組在中學數學中的應用線性方程組在中學就學過,主要是研究若干變量的相互關系,比如下面就是一個線性方程組的例子：一個廟里有一百個和尚,這中間有大和尚有小和尚,這一百個和尚每頓飯總共吃一百個饅頭,其中大和尚一個人吃三個,小和尚三個人吃一個,問大和尚和小和尚各多少人?解設大和尚的數目是,小和尚的數目是,則有,解之得其實,更多元的線性方程組也是同樣的解法.定理含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是:方程組的系數行列式等零.例1已知函數,證明、、中至少有一個不小于.解把=1,2,3代入函數表達式,列方程組上述關于a、b、1的齊次線性方程組有非零解,故,展開整理得,假設結論不成立,即,,,易推出,從而產生矛盾,故命題成立.例2已知,,,求證：.證明：由已知得關于得方程組因為不可能為零,所以由定理知化簡得即.由已知條件的結構特征與待解問題之間的關系建立齊次線性方程組,構造三階行列式,其解題思路新穎,能夠巧妙地解決中學數學中的若干棘手問題,凸顯了用高等數學理論與方法解決初等數學問題的優越性.第3章二次型理論在中學數學中的應用考慮一個n元二次型：,其中,.定義一個二次型經過非線型替換變成的平方和,稱為的標準型.定理1實數域上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換變成平方和〔1的形式.定理2一個實二次型可以分解成兩個實數系的一次齊次多項式乘積的充要條件是它的秩等于2和符號差為0,或秩等于1.例1試判斷下列多項式在R上能否分解,若能,分解之.解1>令,則,下面考慮的秩和符號差,對作非線性替換:,即有,可見的秩是3,有定理2,知不能分解,從而也不能分解.解2>令,則下面考慮的秩和符號差.對作非線性替換,即有,從而,可見的秩為2,符號差為0,有定理2,知可以分解,且定理2對于n元實二次型為的特征值,則對于任意,有.例3設是實數,且滿足.則的最大值與最小值是.解令,則的矩陣.令,因此,特征值.由定理得,注意到,解得.又,從而,所以的最大值為9,最小值為1.由此可見,運用高等代數中二次型定理可以順利解決二次型在條件下的取值范圍,解法流程清晰,易于掌握.第4章矩陣與變換引入中學數學的意義及應用新課標中學數學的一個重大變化就是把大量原屬高等數學的內容下放到中學供學生選修,以開闊學生的視野,滿足不同學生的數學需要,促進學生的數學發展.被下放的有矩陣與變換、數列與差分、球面幾何、對稱與群等十幾個專題。下面對中學數學引入矩陣知識的意義及作用,進行初步的探討.4.1中學數學引入矩陣的意義中學數學引入矩陣初步知識的意義,本人認為,主要有四個方面：首先,為表達數據提供新的工具.因此,中學數學引入矩陣知識可為學生提供一個表達數據的新工具,一是學生更好的學習概率、統計、技術原理等課程,也能使學生更好地適應現實生活中的需要；其次,為研究映射提供了一個新平臺.在中學數學中,映射是最重要的基本概念.在新課程中學數學體系中,直接與映射有關的內容就有函數、向量、數列、復數、曲線與方程、極坐標與參數方程等十幾個方面映射不僅是中學數學的重要概念,也是學習高等數學的必備基礎.但映射的表示方法,中學數學中原來只有解析法、列表法和圖像法,這對于擴充學生的知識視野,尤其是對學習高等數學的需要,似嫌不足.因此,中學數學引入矩陣可為表達映射提供一種新的方法;第三,給線性方程組的解法開辟一條新的途徑.引入矩陣知識及行列式以后,就可以得到解線性方程組的公式克拉姆法則,這不僅為中學數學解線性方程組找到一條新的途徑,而且有利于與高等數學相連接；第四,綜合應用,為高等數學與其他模塊的學習提供幫助.例如網絡圖、信息與密碼、概率與統計、生態學等,都可以用矩陣表達或者求解,引入矩陣知識,可為學習這些知識提供有力的工具.4.2中學數學中矩陣與變換中學數學中由矩陣建立的變換就是平面上的坐標變換,其中,矩陣起著"對應法則"的作用.用二階矩陣確定的變換,就是構造映射,使平面上的點變成點,這個映射的對應法則就是左乘,在這個變換中,矩陣稱之為變換矩陣,變換矩陣不同,得到的是不同的變換.例1已知在一個二階矩陣對應變換作用,點變成了點,點變成了點,求矩陣.解設,則,.所以,解得,所以.4.3線性變換面積定理定理1線性變換將平面上所有圖形的面積放大或縮小同一倍數,這個倍數就是變換行列式的絕對值.例1在平面直角坐標系中,已知平面區域,則平面區域的面積為.解依題意,平面區域A是由,,圍成的三角形,面積S為,平面區域變成平面區域所對應的變換矩陣為,則變換行列式的絕對值,所以平面區域的面積為.4.4利用矩陣的秩判斷兩直線位置關系定理2設空間兩直線：,設矩陣的秩為,矩陣的秩為,則1當=4時,兩直線異面；2=2時,兩直線重合；3==3時,兩直線相交；4==3時,兩直線平行.例判斷兩直線和的位置關系.解故==2,所以直線與直線重合.4.5中學數學中矩陣變換的常見類型中學數學中由矩陣確定的變換的常見類型,列表說明如下：表1中學數學中矩陣變換的常見類型變換名稱變換矩陣幾何特征恒等變換圖形變成圖形伸壓變換1、沿軸方向：2、沿軸方向圖形變成圖形,大小和形狀可能變化反射變換關于軸反射關于軸反射關于反射關于原點反射圖形變成圖形,大小和形狀不變,位置可能改變旋轉變換圖形變成圖形,大小和形狀不變,位置可能改變投影變換垂直投到軸：垂直投到軸：圖形變成線或點切變變換1、沿軸方向：2、沿軸方向圖形變成圖形,大小和形狀可能變化第5章用向量法解決初等幾何問題眾所周知,向量是現代數學的基本概念之一。在高中數學教材中引入向量概念也是數學現代化的需要。向量是初等數學與高等數學的銜接點,這也是向量在數學課程改革中受到青睞的魅力所在。向量有利于培養學生數形結合的思想方法,有利于拓寬解題思路,有利于發展學生的運算能力,有利于與高等教育銜接等方面。例1證明三角形的余弦定理.證明在中,設,,且,,,那么即從而所以即.例2求證：連結三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證明分別為三角形的兩邊與的中點,那么,所以∥,且.例3如圖,三菱錐,⊥底面,,,點分別是的中點,求二面角的余弦值.解以BP所在直線為z軸,BC所在直線為y軸,建立空間直角坐標系,則.因為PB⊥平面ABC,所以PB⊥AC,又AC⊥CB,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥PC,所以EF⊥PC.又BE⊥PC,所以PC⊥平面BEF.而,所以平面BEF的一個法向量.設平面ABE的法向量,則,則x:y:z=1:<-1>:1.取x=1,則平面ABE的一個法向量,所以.所以二面角A-BE-F的平面角的余弦值為.結論線性代數是數學的一個組成部分,是學習其它學科的重要工具,可以說任何與數學有關的課程都涉及線性代數知識．而近年來先線性代數以被廣泛的應用到了中學數學中．學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習,高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自習等學習數學的方式．這些方式有助于發揮學生學習的主動性,使學生的學習過程稱為在教師引導下的"再創造"過程,高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探索活動、讓學生體驗數學發現和創造的歷程,發展他們的創新意識．而高等數學進入初等數學正為學生實現這種創新意識提供了很好的教學材料．參考文獻[1]黎伯堂、劉桂真高等代數解題技巧與方法、XX、XX