第59講空間直線、平面平行位置關(guān)系的證明【知識要點】、空間直線、平面平行位置關(guān)系的判定和證明空間直線、平面平行位置關(guān)系的判定和證明一般有兩種方法 ^方法一（幾何法）：線線平行 線面平行面面平行，它體現(xiàn)的主要是一個轉(zhuǎn)化的思想八 /位直大系定義判定定理性質(zhì)定理直線和平面平行直線和平面沒有公共點.如果小在一個平囿內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（記為：線線平行，則線面平行）如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平囿相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行.（記為：線面平行，則線線平行）平囿和平囿平行如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面互相平行①如果一個平囿內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行（記為：線面平行，則面面平行）①如果兩個平囿平行，那么其中一個平面內(nèi)的任何一條直線平行于另一個平囿.（記為：囿囿平行，則線面平行）②如果兩個平行平囿同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.③平行于同一個平面的兩個平面平行.④兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.⑤夾在兩個平行平囿間的兩條平行線段相等.方法二（向量法）：它體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化的思想和向量的工具性rr r r其中向量a,b是直線a,b的方向向量，且a（x1,y1,4）,b（x2,y2,z2）

irr ur r向量m,n是平面,的法向量，且m（兄，丫323）,n（X4,y4,Z4）rr直線aP直線rr直線aP直線baPbXiX2,y1丫2,Zjz2（其中a，b分別為直線a,b的方向向量）直線aP平面的法r ir ru r ur直線aP平面的法amagm0 \*§丫1丫3za0（其中a為直線a的方向向量，m為平面向量）urr urr平面 P平面mPnX3X4,y3 ￥4,勺z4（其中m,n分別為平面 ， 平面 P平面、空間的幾何元素的位置關(guān)系從低到高有三個層次：線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系三、空間平行位置關(guān)系的證明，總是把要證明的平行關(guān)系首先轉(zhuǎn)化成最靠近它的位置關(guān)系去證明 .如果要證明線線平行，只能首先轉(zhuǎn)化成證明線面平行；如果要證明線面平行，可以首先轉(zhuǎn)化成證明線線平行或者面面平行；如果要證明面面平行，只能首先轉(zhuǎn)化成證明線面平行【方法講評】方法一幾何方法使用情景轉(zhuǎn)化的直線或平囿比較容易找到解題步驟按照線線平行 線面平行 面面平行的思路分析解答，找到關(guān)鍵的直線或平面 .【例1】【2017山東，文18］由四棱柱ABCDAiBiCiD截去三棱錐G-BCD后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABC時正方形，O為AC!BD的交點工為AD的中點，AiE平面ABCD（I）證明：AO//平面BCD;（n）設(shè)M是OD勺中點，證明：平面AEM 平面BCD.88【解析】（I）取用"中點連接由于四s—4與G「1為四棱柱，所以4。"。9.4口產(chǎn)?,因此四邊形4。皿1為平行四邊形,所以AO//OiC,又OiC平面BiCDi,AO平面BiCDi,所以AO//平面B所以AO//OiC,(II)因為dCLBA,民航分別為血)和8的中點？所以碼_1_班,又4F_L面*⑵』班仁平面/￡53所以4后_1_丑0因為BQ\"BD所以國M_L%2,WE，用B又3皿u平面4瓦44￡。區(qū)廿=E，所以上平面d囪丸又陋仁平面Bid,所以平面&EM［平面4CQ.口1B C【點評】(1)本題就是利用幾何法證明線面平行， 把證明AO//平面BCD轉(zhuǎn)化成證明A1O//O1C.(2)找平行線時，先看平面內(nèi)已知的線是否和它平行，如果沒有和它平行的線，就要通過作輔助線作出和它平行的線.作輔助線時，可以把已知的直線平移到平面內(nèi)的各特殊點，看哪個地方方便作出平行線并好證明【例2】(2016年山東高考文科第18題)在如圖所示白^幾何體中， D是AC的中點，EF//DB(I)已知AB=BCAE=EC求證：AC!FB;(II)已知GH分別是EC^FB的中點.求證：GH/平面ABC【解析】(I))證明：因EF〃BD,所以EF與BD確定一個平面，連接DE,因為AEEC,E為AC的中點，所以DEAC；同理可得BDAC,又因為BDDED,所以AC平面BDEF,因為FB平面BDEF,ACFB.

([I)設(shè)FC的中點為I,連G上由，在ACER中，G是CE的中點"所以田力EF.,又EFHDB、所以由力功：在AC?學(xué)中，V是FB的中點，的以田NBC,又GFCHT=L所以平面函〃平面ABC,因為附u平面GW,所以GE"平面4ffC口【點評】(1)本題就是利用幾何法證明面面平行， 把證明GH平面ABC專化成證明平面GHI〃平面ABC.(2)證明線面平行可以轉(zhuǎn)化成證明最靠近的線線平行或者面面平行，但是此題要轉(zhuǎn)化成證明線線平行比較困難，所以轉(zhuǎn)化成證明面面平行.到底轉(zhuǎn)化成哪一個更簡潔，取決于已知條件和你的判斷，所以我們要學(xué)會分析和判斷，提高解題效率.【反饋檢測1】【2017課標(biāo)II,理19]如圖，四棱錐P-ABCDK側(cè)面PAM等比三角形且垂直于底面1 C ABCDABBC—AD,BADABC90o,E是PD的中點.(1)證明：直線CE//平面PAB(2)點M在^^PC上，且直線BMW底面ABC斷成角為45o,求二面角MABD的余弦值.

方法二向量法使用情景轉(zhuǎn)化的直線或平面不容易找到，而已知條件方便建立空間直角坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)比較容易寫出.解題步驟建立空間直角坐標(biāo)系 寫出點的坐標(biāo)，求出直線方向向量的坐標(biāo)和平面的法向量 利用向量的關(guān)系得到直線和平面的關(guān)系.【例3】(2017天津理科第17題)如圖，在三^B隹PABC中，PA，底面ABC,BAC90.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點，M是線段AD的中點，PAAC4,AB2.(I)求證：MN//平面BDE; (n)求二面角CEMN的正弦值；(m)已知點H在^^PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為叵,求線段AH的長.21A C【解析】如圖,以融為原點，分別以屈，前，而方向為T軸］丁軸、了軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系一依題意可得d(0,0,0￡B⑵0,0),C<0,4,0),PE,0,4),D(必072),E(072,2)iM⑼①13N(1,2；0).uuir uur(I)證明：DE=(0,2,0),DB=(2,0, 2).設(shè)n(x,y,z),為平面BDE的法向量,uurinDE0_2y0 uuuu 一，『uuuu則uur,即y.不妨設(shè)z1,可得n(1,0,1).又MN=(1,2, 1),可得MNn0.nDB02x2z0因為MN平面BDE,所以MN//平面BDE.C口)解:易如、=ao,0＞為平面CEM的T法向量遙啊=口以“為平面ew的法向量，則一"一八"八不妨謖y=1，可得%=(-4T-2).Jt+%T=0一"一八"八不妨謖y=1，可得%=(-4T-2).Jt+%T=0R一，因為皿=((X—Z—l)j =D,斫以1nl3^=0就匕有/AJ/ 于是畫＜和嗎A里L(fēng)1n111nli ＜21所以j二ESC-EM-M的正弦值為孚一■1(ID)解：依題意，設(shè)AHhh(ID)解：依題意，設(shè)AHhh(0h4),則H(0uumi uur0,h),進(jìn)而可得NH(1,2,h),BE(2,2,2).uumuur, - uuuuuuu|nhuumuur, - uuuuuuu|nhBEI由已知，得|cosNH,BE|-uuuu-uuu-|NH||BE||2h2|-h252.3TOC\o"1-5"\h\z<7,整理得10h221h80,解得hA或h二.

21 5 2所以，線段AH的長為8或1.5 2【點評】本題如果把線面平行轉(zhuǎn)化成證明線線平行，不是很方便 .由于已知條件中有PAL底面ABCBAC90,方便建立空間直角坐標(biāo)系，也方便寫出點的坐標(biāo)，所以選擇向量法更合適 ^【反饋檢測2】如圖，平面PAC平面ABC,ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形， E,F,O分別為PA,PB,AC的中點，AC16,PAPC10.(I)設(shè)G是OC的中點，證明：FG//平面BOE;(II)證明：在ABO內(nèi)存在一點M,使FM平面BOE,并求點M到OA,OB的距離.

高中數(shù)學(xué)常見題型解法D3納及反饋檢測第 59講:空間直線、平面平行位置關(guān)系的證明參考答案【反饋檢測1【反饋檢測1答案】（1）證明略；（2）105【反饋檢測I詳細(xì)解析】（口取入的申點連結(jié)&LAP一因為￡是丑D的申點，所以班〃AD7EF=-AD7^Z￡AD=ZABC=9^^BCUAD?又BC=L&,所以麗義8C“四邊形山如2 2為平行四邊形，CE"方尸.又3Fu平面降,3r叱平面無，故謂"平面巴通.（2）由已知得BAAD,以A為坐標(biāo)原點，AB的方向為x軸正方向，AB為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則則A(0,坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則則A(0,0,0),B(1,0,0)C(1,1,0),P(0,1,V3),PC(1,0,曲),AB(1,0,0)則uuuuBMuuuu -uuuuBM(x1,y,z),PM(x,y1,z百)因為MB與底面ABCD所成的角為45°,而n因為MB與底面ABCD所成的角為45°,而n（0,0,1）是底面ABCD的法向量,所以uiuurcosBM,n0sin45，(x1)2y2 z2;即(x1)2 y2z2 0.二 uuuuuur又M在^PC上，設(shè)PMPC,則x,y1,z設(shè)機(jī)■（與產(chǎn)州,4）是平面ABAf的法向量，貝i設(shè)機(jī)■（與產(chǎn)州,4）是平面ABAf的法向量，貝i「km^AB(2-而)%+2箍+ =0飛二"所以可取南二（Oi-柩,2）.干是由曰舊產(chǎn)=同卜I="V因此二面房M-AB-D的余弦侑為膽.09 9【反饋檢測2答案】（1）見解析；（2）M（4,一,0），點M到OA,OB的距離為4--4 4【反饋檢測2詳細(xì)解析】證明：（I）如圖，連結(jié)OP,以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)B,OC,OP所在直線為x軸，【反饋檢測2詳細(xì)解析】證明：（I）如圖，連結(jié)OP,以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)B,OC,OP所在直線為x軸，y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,則。0,0,0,A(0,8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,4,3),F4,0,3,由題意得，G0,4,0，因uuuuurOB(8,0,0),OE(0,4,3),因此平面BOE勺法向量為n(0,3,4),uuur

FGruuur(4,4,3得nFG0,又直線