多元回歸分析異方差1第一頁，共七十二頁，2022年，8月28日ChapterOutline本章提要ConsequencesofHSKofOLSOLS中異方差的影響HSK-RobustInferenceafterOLSestimationOLS估計后“對異方差穩(wěn)健”的統(tǒng)計推斷TestingforHSK檢驗異方差WeightedLeastSquaresEstimation加權(quán)最小二乘估計2第二頁，共七十二頁，2022年，8月28日LectureOutline本課提要WhatisHSK什么是異方差ConsequencesofHSK異方差的影響HSK-RobustInferenceafterOLSestimationOLS估計后的“對異方差穩(wěn)健”統(tǒng)計推斷HSK-robuststandarderror HSK－異方差穩(wěn)健標準差HSK-robustt,F,LMstatistics HSK－異方差穩(wěn)健t,F,LM統(tǒng)計量3第三頁，共七十二頁，2022年，8月28日WhatisHeteroskedasticity(HSK)

什么是異方差

Recalltheassumptionofhomoskedasticityimpliedthatconditionalontheexplanatoryvariables,thevarianceoftheunobservederror,u,wasconstant

同方差假定意味著條件于解釋變量，不可觀測誤差的方差為常數(shù)Ifthisisnottrue,thatisifthevarianceofuisdifferentfordifferentvaluesofthex’s,thentheerrorsareheteroskedastic

如果u的方差隨x變化，那么誤差是異方差的。Example:estimatingreturnstoeducationandabilityisunobservable,andthinkthevarianceinabilitydiffersbyeducationalattainment

例子：估計教育回報并且能力不可觀測，認為能力的方差隨教育水平變化。4第四頁，共七十二頁，2022年，8月28日.Educationlevelprimarysecondaryf(y|x)IllustrationofHeteroskedasticity異方差圖示college..E(y|x)=b0+b1xwage5第五頁，共七十二頁，2022年，8月28日Aspecificexample:histogramsofwageratesforeacheducationdegree,fromonlyeducated1yearto18years.

一個具體例子：每一個教育年限（1－18年）對應(yīng)人群的工資直方圖6第六頁，共七十二頁，2022年，8月28日CheckingtheExistenceofHSK:plottingtheresidualsagainstthefittedvalues7第七頁，共七十二頁，2022年，8月28日Whenthereisheteroskedasticity…

當存在異方差時…

OLSisstillunbiasedandconsistent. OLS無偏且一致R-squaredoradjustedR-squaredarestillfinegoodness-of-fitmeasures. R平方和調(diào)整后的R平方仍可以很好地度量擬合優(yōu)度。TheyareestimatesofthepopulationR-squared,1

–[Var(u)/Var(y)],wherethevariancesaretheunconditionalvariancesinthepopulation.

它們是對總體R平方1

–[Var(u)/Var(y)]的估計，其中的方差是總體中的“非條件”方差。TheyconsistentlyestimatethepopulationR-squared,whetherornotVar(u|x)

=Var(y|x)dependsonx.

無論Var(u|x)

=Var(y|x)是否依賴于x，它們都可以一致地估計總體R平方。8第八頁，共七十二頁，2022年，8月28日Whydowecare?

為何關(guān)心異方差？Thestandarderrorsoftheestimatesarebiasedifwehaveheteroskedasticity.

如果存在異方差，那么估計值的標準差是有偏的。Ifthestandarderrorsarebiased,wecannotusetheusualtstatisticsorFstatisticsorLMstatisticsfordrawinginferences. 如果標準差有偏，我們就不能應(yīng)用通常的t統(tǒng)計量或F統(tǒng)計量來進行統(tǒng)計推斷。9第九頁，共七十二頁，2022年，8月28日Whattodo?

怎么辦？Econometricianshavelearnedhowtoadjuststandarderrors,t,F,andLMstatisticssothattheyarevalidinthepresenceofheteroskedasticityofunknownform.

計量經(jīng)濟學(xué)家已經(jīng)知道如何調(diào)整標準差，t，F(xiàn)，LM量，使得它們當未知形式的異方差存在時仍然有效。White(1980)showsthatthevariances,,canbeestimatedinthepresenceofheteroskedasticity.

White（1980）指出，在存在異方差時，方差也是可以估計的。10第十頁，共七十二頁，2022年，8月28日VariancewithHeteroskedasticity

異方差存在時的方差11第十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日VariancewithHeteroskedasticity

異方差存在時的方差12第十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日VariancewithHeteroskedasticity

異方差存在時的方差13第十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日VariancewithHeteroskedasticity

異方差存在時的方差Thesquarerootofiscalled:

開平方被稱為Heteroskedasticity-robuststandarderror,or

對異方差穩(wěn)健的標準差，或Whitestandarderror,or White標準差，或Huberstandarderror,or Huber標準差，或Eickerstandarderrors,or Eicker標準差14第十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日RobustStandardErrors

穩(wěn)健標準差

Nowtherobuststandarderrorscanbeusedforinference

穩(wěn)健標準差可以用來進行推斷。Sometimestheestimatedvarianceiscorrectedfordegreesoffreedombymultiplyingbyn/(n–k–1)

有時可以將估計的方差乘以n/(n–k–1)來修正自由度Asn→∞it’sallthesame,though.

當n→∞時，沒有區(qū)別。15第十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日Example:robustseversususualse

例子：穩(wěn)健標準差與常規(guī)標準差16第十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日Example:robustseversususualse

例子：穩(wěn)健標準差與常規(guī)標準差Whatdowelearn?

我們學(xué)到了什么？Robuststandarderrorscanbeeitherlargerorsmallerthantheusualstandarderrors.

穩(wěn)健標準差可能比常規(guī)標準差大，也可能小。Butempiricallytherobuststandarderrorsareoftenfoundtobelargerthanthestandarderrors.

但是實證中常常發(fā)現(xiàn)穩(wěn)健標準差要大些。Ifthedifferencesbetweenthesetwoerrorsarelarge,thentheconclusionsforstatisticalinferencecanbeverydifferent.

如果這兩種標準差的差異很大，那么統(tǒng)計推斷的結(jié)論可能有很大差異。17第十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日Now,whycareabouttheusualse?

為何要考慮常規(guī)標準差？Giventhatrobuststandarderrorsarevalidwhetherornotheteroskedasticityispresent,thenwhydowestillneedtheusualstandarderror?

如果穩(wěn)健標準差無論異方差存在與否都是適用的，為什么我們還需要常規(guī)標準差？NoticethatRobuststandarderrorsarejustifiedonlywhenthesamplesizeislarge.

我們應(yīng)當注意到，穩(wěn)健標準差的適用性依賴于大樣本。18第十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日RobustStandardErrors

穩(wěn)健標準差Whenthesamplesizeissmallandthehomoskedasticyassumptionactuallyholds,theusualtstatisticshaveexacttdistribution,butthiswillnotbethecaseforrobuststandarderrors,henceinferencesmaynotbecorrect

如果是小樣本同方差情形，那么常規(guī)的t統(tǒng)計量精確地服從t

分布，但是這并不適用于穩(wěn)健標準差，因此，在這種情況下使用穩(wěn)健標準差就可能導(dǎo)致推斷錯誤。

Whenthesamplesizeislarge,reportingrobuststandarderrors(ortogetherwiththeusualstandarderrors)arerecommended,esp.inusingcross-sectionaldata.

在大樣本情形下，特別是應(yīng)用截面數(shù)據(jù)的時候，我們推薦報告穩(wěn)健標準差（或同時報告常規(guī)的標準差）。19第十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日Heteroskedasticy(HSK)-robustInferenceafterOLSestimation

OLS估計后的HSK-穩(wěn)健推斷LetrsedenoteHSK-robuststandarderrors

trse=(estimate-hypothesizedvalue)/(rse)

記rse為對異方差穩(wěn)健的標準差

trse=(估計值-假設(shè)值)/(異方差穩(wěn)健的標準差)TheHSK-RobustFstatistic對異方差穩(wěn)健F統(tǒng)計量WithHSKtheusualFstatisticisnolongerFdistributed.

在異方差下，常規(guī)F統(tǒng)計量不再服從F分布。TheHSK-RobustFstatisticisalsocalledWaldstatistic HSK－穩(wěn)健F統(tǒng)計量也稱為Wald統(tǒng)計量Stataautomaticallycalculateitafterrobustregression Stata在穩(wěn)健回歸后自動計算20第二十頁，共七十二頁，2022年，8月28日

Example:usebirth.dta,comparetheusualandrobustregressions:theusualregressions

例子：比較常規(guī)回歸和穩(wěn)健回歸：常規(guī)回歸21第二十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日

desobs:1,388vars:143Jun199713:47size:55,520(99.5%ofmemoryfree)storagedisplayvaluevariablenametypeformatlabelvariablelabelfamincfloat%9.0g1988familyincome,$1000scigtaxfloat%9.0gcig.taxinhomestate,1988cigpricefloat%9.0gcig.priceinhomestate,1988bwghtint%8.0gbirthweight,ouncesfatheducbyte%8.0gfather'syrsofeducmotheducbyte%8.0gmother'syrsofeducparitybyte%8.0gbirthorderofchildmalebyte%8.0g=1ifmalechildwhitebyte%8.0g=1ifwhitecigsbyte%8.0gcigssmkedperdaywhilepreglbwghtfloat%9.0glogofbwghtbwghtlbsfloat%9.0gbirthweight,poundspacksfloat%9.0gpackssmkedperdaywhilepreglfamincfloat%9.0glog(faminc)22第二十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日Example:usebirth.dta,comparetheusualandrobustregressions:therobustregressions

例子：比較常規(guī)回歸和穩(wěn)健回歸：穩(wěn)健回歸23第二十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日Example:usebirth.dta,Fstatisticfortheusualregression

例子：應(yīng)用birth.dta，常規(guī)回歸的F統(tǒng)計量24第二十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日Example:usebirth.dta,Fstatisticfortherobustregression

例子：應(yīng)用birth.dta,穩(wěn)健回歸的F統(tǒng)計量25第二十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日ARobustLMStatistic

穩(wěn)健的LM統(tǒng)計量

RunOLSontherestrictedmodelandsavetheresiduals?

在有限制模型下進行OLS，保存殘差?Regresseachoftheexcludedvariablesonalloftheincludedvariables(qdifferentregressions)andsaveeachsetofresiduals?1,?2,…,?q

將每一個排除變量對全部未排除變量進行回歸（q個回歸）并將每一組殘差?1,?2,…,?q保存Regressavariabledefinedtobe=1

on?1?,?2?,…,?q?,withnointercept

將1向量對?1?,?2?,…,?q?進行無截矩回歸。TheLMstatisticisn

–SSR1,whereSSR1isthesumofsquaredresidualsfromthisfinalregression LM定義為n

–SSR1其中SSR1

為最后一次回歸的殘差平方和。26第二十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:theLMfortheusualregression(1)

例子birth.dta：常規(guī)回歸的LM27第二十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:theLMfortheusualregression(2)

例子birth.dta:常規(guī)回歸的LM28第二十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:therobustLMstatistic(1)

例子birth.dta:穩(wěn)健LM統(tǒng)計量（1）29第二十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:therobustLMstatistic(2)

例子birth.dta:穩(wěn)健LM統(tǒng)計量（2）30第三十頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:therobustLMstatistic(3)

例子birth.dta:穩(wěn)健LM統(tǒng)計量（3）31第三十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:therobustLMstatistic(4)

例子birth.dta:穩(wěn)健LM統(tǒng)計量（4）32第三十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日ChapterOutline本章提要ConsequencesofHSKofOLS OLS中異方差的影響HSK-RobustInferenceafterOLSestimation OLS估計后“異方差－穩(wěn)健”的統(tǒng)計推斷TestingforHSK 檢驗異方差WeightedLeastSquaresEstimation 加權(quán)最小二乘估計33第三十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日LectureOutline本課提要TestingforHSK檢驗異方差TheBreuschnTest B-P檢驗TheWhiteTest White檢驗WeightedLeastsquares 加權(quán)最小二乘法WLSwhenHSKisknownuptoamultiplicativeconstant

當在比例意義上已知異方差時的加權(quán)最小二乘法WLSwhenHSKisofunknownform:thefeasibleGLS

當異方差具有未知形式時的加權(quán)最小二乘法：可行GLS34第三十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日TestingforHSK

檢驗異方差ThoughwehavemethodsofcomputingHSK-robustt,FandLMstatistics,therearestillreasonsforhavingsimpleteststhatcandetectthepresenceofheteroskedasticity.

雖然我們有辦法計算HSK－穩(wěn)健的t,F和LM統(tǒng)計量，我們?nèi)匀挥欣碛扇ふ铱梢宰R別異方差的簡單檢驗。35第三十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日TestingforHSK

檢驗異方差ReasonNo.1:WemayprefertoseetheusualOLSstandarderrorsandteststatisticsreportedunlessthereisevidenceofheteroskedasticity.

理由1：除非有證據(jù)顯示異方差存在，我們?nèi)詴糜诔Ｒ?guī)OLS的標準差及檢驗統(tǒng)計量。ReasonNo.2:Ifheteroskedasticityispresent,theOLSestimatorisnolongertheBLUE,thenitispossibletoobtainabetterestimatorthanOLS.

理由2：如果異方差存在，OLS不再是BLUE，那么就有可能得到比OLS更好的估計量。36第三十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差

EssentiallywewanttotestH0:Var(u|x1,x2,…,xk)=s2,whichisequivalenttoH0:E(u2|x1,x2,…,xk)=E(u2)=s2

本質(zhì)上，我們想檢驗H0:Var(u|x1,x2,…,xk)=s2這等價于檢驗H0:E(u2|x1,x2,…,xk)=E(u2)=s2Ifweassumetherelationshipbetweenu2andxjwillbelinear,cantestitasasetoflinearrestrictions

如果我們假設(shè)u2

和xj之間具有線性關(guān)系，則可以通過一組線性約束來完成檢驗。So,foru2=d0+d1x1+…+dkxk+vthismeanstestingH0:d1=d2=…=dk=0

所以,對于u2=d0+d1x1+…+dkxk+v

這意味著檢驗H0:d1=d2=…=dk=037第三十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差Underthenullhypothesis,itisoftenreasonabletoassumethattheerrorvisindependentofx1,…,xk.

在零假設(shè)下，通常可以假定誤差v與x1,…,xk獨立TheneitherForLMstatisticsforoverallsignificanceoftheindependentvariablesinexplainingu2canbeusedtotestHSK.

那么，如果將u2視為被解釋變量，檢驗全部解釋變量顯著性的F或LM統(tǒng)計量就可以用來檢驗異方差。Theyareasymptoticallyvalidtestsinceu2isnotnormallydistributedinthesample.

由于u2在樣本中不是正態(tài)分布，這些統(tǒng)計量只在漸近的意義下適用。38第三十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差TheerrorcannotbeobservedbycanbeestimatedfromOLSresiduals.

不可觀測的誤差可以通過OLS殘差進行估計。Afterregressingtheresidualssquaredonallofthex’s,canusetheR2toformanForLMtest. 將殘差平方對所有的x回歸之后，可以通過R2構(gòu)造F或LM檢驗。39第三十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差40第四十頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差41第四十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差42第四十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差I(lǐng)fwesuspectthatHSKdependsonlyuponcertainregressors,wecanmodifytheBPtesttoregressresidualsfromstep1onthoseregressorsandcarryouttheappropriateForLMtest.

如果我們懷疑HSK僅依賴與某些特定的解釋變量，我們可以做一些調(diào)整：將第一步的殘差只對那些解釋變量回歸，并進行適當?shù)腇或LM檢驗。43第四十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheWhiteTestforHSK

用White檢驗檢驗異方差

TheBreusch-Pagantestwilldetectanylinearformsofheteroskedasticity B-P檢驗可以識別任意線性形式的異方差TheWhitetestallowsfornonlinearitiesbyusingsquaresandcrossproductsofallthex’s White檢驗通過加入x平方項和交叉項引入了一定的非線性。StilljustusinganForLMtotestwhetherallthexj,xj2,andxjxharejointlysignificant

仍然是用F和LM檢驗來檢驗xj,xj2,xjxh是否聯(lián)合顯著44第四十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日TheWhiteTestforHSK

用White檢驗檢驗異方差Thiscangettobeunwieldyprettyquickly.

這個辦法很快就會顯出其笨重之處。Forexample,ifwehavethreeexplanatoryvariables,x1,x2,and

x3thentheWhitetestwillhave9restrictions:3onlevels,3onsquares,and3oncross-products.

例如，如果我們有三個解釋變量x1,x2,x3那么White檢驗有9個約束，三個對線性項，三個對平方項，三個對交叉項。Withsmallsamples,degreesoffreedomwillsoonberunoutwithmoreregressors.

在小樣本情形，自由度將會隨著解釋變量數(shù)目增加而迅速減少。45第四十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日AlternateformoftheWhitetest

White檢驗的變形

ConsiderthatthefittedvaluesfromOLS,?,areafunctionofallthex’s

考慮到OLS的預(yù)測值?是所有x的函數(shù)。Thus,?2willbeafunctionofthesquaresandcrossproducts.Therefore,?and?2canproxyforallofthexj,xj2,andxjxh.

因此，?2是平方項和交叉項的函數(shù)。?

和?2可以用來替代所有的xj,xj2,xjxh46第四十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日AlternateformoftheWhitetest

White檢驗的變形Regresstheresidualssquaredon?and?2andusetheR2toformanForLMstatistic,

將殘差平方對?

和?2回歸，用R2來構(gòu)建F或LM統(tǒng)計量Nowweonlyneedtotest2restrictionsnow.

現(xiàn)在只需要檢驗兩個約束47第四十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:theBPtest48第四十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:theBPtest(1)49第四十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:theBPtest(2)TheFtestisjusttheoverallsignificancetest.SinceF(6,1184)=0.84,andprob>F=0.5382,theBPtestdoesnotrejectthenullofHMK. F檢驗就是全局顯著性檢驗，由于F(6,1184)=0.84，且

prob>F=0.5382,B-P檢驗不能拒絕同方差零假設(shè)。TheLMstatisticcanbegotbytyping LM統(tǒng)計量可以通過“display1190*0.0042”得到“display1190*0.0042”instata.TheLMstatisticis4.998,thecriticalvalueoftheChi-square(5%sig.Level)is12.95,doesnotrejectthenullofHMKeither. LM統(tǒng)計量為4.998，卡方分布5％的臨界值為12.95，也無法拒絕同方差零假設(shè)。50第五十頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:theWhitetest(1)51第五十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日Examplebirth.dta:theWhitetest(2)52第五十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日FinalcommentsaboutHSKtests

對HSK檢驗的最后評價ItispossiblefortheHSKtesttorejectthenullwhenimportantvariablesareomitted,eventhoughthetruthisthereisnoHSK. 即便真實的情況并無異方差，HSK檢驗可能由于重要變量的遺漏而錯誤的拒絕零假設(shè)。HSKcouldindicatemisspecification,therefore,whenpossible,thespecificationtestsshouldbecarriedoutearlierthantheHSKtest. HSK可能意味著模型設(shè)定錯誤，因此，如果可能的話，應(yīng)當在HSK檢驗之前進行模型設(shè)定檢驗。53第五十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日WeightedLeastSquares

加權(quán)最小二乘法

Whileit’salwayspossibletoestimaterobuststandarderrorsforOLSestimates,ifweknowsomethingaboutthespecificformoftheheteroskedasticity,wecantransformthemodelintoonethathashomoskedasticerrors–calledweightedleastsquares.

對OLS估計穩(wěn)健標準差總是可能辦到的，但是，如果我們知道一些關(guān)于異方差結(jié)構(gòu)的信息，我們可以將原模型轉(zhuǎn)化為具有同方差的新模型，這稱為加權(quán)最小二乘法。54第五十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日WeightedLeastSquares

加權(quán)最小二乘法InsuchcasesweightedLeastsquaresismoreefficientestimatesthanOLS,anditproducestandFstatisticsthathavetandFdistributions. 在這些情況中，加權(quán)最小二乘法比OLS更為有效。對應(yīng)的t和F統(tǒng)計量具有t和F分布。55第五十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日Caseofformbeingknownuptoamultiplicativeconstant

異方差結(jié)構(gòu)在比例意義上已知的情況

SupposetheheteroskedasticitycanbemodeledasVar(ui|xi)=s2i=s2

hi,wherehi=h(x)dependsonlyontheobservedcharacteristics,x.

假設(shè)異方差可以由模型Var(ui|xi)=s2i=s2

hi刻畫，其中hi=h(x)只依賴于可觀測特征xInsuchsituation,let’sdefineui*=ui/√hiandconsiderhowdoestheGauss-Markovassumptionsperformforthetransformedmodel.

在這種情況下，定義ui*=ui/√hi并考慮轉(zhuǎn)化后的模型是否服從Gauss-Markov假設(shè)。56第五十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日Caseofformbeingknownuptoamultiplicativeconstant

異方差結(jié)構(gòu)在比例意義上已知的情況57第五十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日Caseofformbeingknownuptoamultiplicativeconstant

異方差結(jié)構(gòu)在比例意義上已知的情況58第五十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日Caseofformbeingknownuptoamultiplicativeconstant

異方差結(jié)構(gòu)在比例意義上已知的情況59第五十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日Caseofformbeingknownuptoamultiplicativeconstant

異方差結(jié)構(gòu)在比例意義上已知的情況60第六十頁，共七十二頁，2022年，8月28日GeneralizedLeastSquares

廣義最小二乘法

EstimatingthetransformedequationbyOLSisanexampleofgeneralizedleastsquares(GLS)

通過OLS估計變換后的方程可以作為廣義最小二乘法（GLS）的一個例子GLSwillbeBLUEinthiscase GLS在這種情形下為BLUEGLSisaweightedleastsquares(WLS)procedurewhereeachsquaredresidualisweightedbytheinverseofVar(ui|xi) GLS是加權(quán)最小二乘法（WLS）在權(quán)重為Var(ui|xi)倒數(shù)時的特例。61第六十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日WeightedLeastSquares

加權(quán)最小二乘法

WhileitisintuitivetoseewhyperformingOLSonatransformedequationisappropriate,itcanbetedioustodothetransformation

盡管對變換后的模型做OLS是直觀的，但是變換本身可能很繁瑣。Weightedleastsquaresisawayofgettingthesamething,withoutthetransformation

加權(quán)最小二乘法可以完成相同的目的，但是不需要進行變換。Ideaistominimizetheweightedsumofsquares(weightedby1/hi)

想法是最小化加權(quán)平方和（權(quán)重為1/hi）62第六十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日WeightedLeastSquares

加權(quán)最小二乘法63第六十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日MoreonWLS

WLSisgreatifweknowwhatVar(ui|xi)lookslike

如果我們知道Var(ui|xi)的形式，WLS很棒Inmostcases,won’tknowformofheteroskedasticity

在大多數(shù)情況下，我們并不清楚異方差的形式64第六十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日FeasibleGLS

可行GLS

Moretypicalisthecasewhereyoudon’tknowtheformoftheheteroskedasticity

更典型的情形是你并不知道異方差的形式Inthiscase,youneedtoestimateh(xi)

此時，你需要估計h(xi)Typically,westartwiththeassumptionofafairlyflexiblemodel,suchas

我們可以從一個非常靈活的方程形式入手 Var(u|x)=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)Sincewedon’tknowthed,mustbeestimated 由于d未知，我們必須對它進行估計。65第六十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日FeasibleGLS(continued)

可行GLS

Ourassumptionimpliesthat

我們的假定意味著 u2=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)v, whereE(v|x)=1.ln(u2)=a0

+d1x1+…+dkxk+eWhereE(e)=1andeis