《數列的概念與簡單表示法》教學設計（8）一、教學目標：（1）了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；（2）會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項；（3）理解數列的前n項和與的關系。二、教學重點、難點：重點：數列及其有關概念通項公式及其應用難點：根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式.三、設計思路：本節課重視學生在學習過程中，能否發現數列中的項的規律特點，寫出數列的通項公式，或遞推公式。設計流程如下:復習引入復習引入講解范例2數列的遞推公式講解范例3,4,5,6課堂小結四、教學過程：(教學課時:1課時)課題導入[復習引入]（1）數列及有關定義（2）數列的表示方法通項公式法如數列0，1，2，3，4，5，…的通項公式為=－1()；列表法圖象法講授新課[范例講解]課本P35例2如圖中的三角形稱為謝賓斯基（Sierpinski）三角形，著色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖象。教師活動：(1)通過多媒體展示謝賓斯基（Sierpinski）三角形,引導學生觀察著色三角形的個數的變化，尋找規律寫出數列的一個通項公式。(2)啟發學生仿照函數圖象的畫法用圖象表示數列。具體方法是以項數n為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以(n,)為坐標在平面直角坐標系中做出點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在y軸的右側，而點的個數取決于數列的項數．從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢．體會數列的圖象是一系列孤立的點。解（略）數列的遞推公式：問題：如果一個數列{an}的首項=1，從第二項起每一項等于它的前一項的2倍再加1，即（※）你能寫出這個數列的前三項嗎？像上述問題中給出數列的方法叫做遞推法，（※）式稱為遞推公式。遞推公式也是數列的一種表示方法。例1設數列{an}滿足,,寫出這個數列的前五項。分析：題中已給出的第1項即，遞推公式：解：據題意可知：，[補充例題]例2已知，寫出前5項，并猜想．法一：，觀察可得法二：由∴即∴∴例3.觀察鋼管堆放示意圖，尋其規律，建立數學模型．模型一：自上而下：第1層鋼管數為4；即：14＝1+3第2層鋼管數為5；即：25＝2+3第3層鋼管數為6；即：36＝3+3第4層鋼管數為7；即：47＝4+3第5層鋼管數為8；即：58＝5+3第6層鋼管數為9；即：69＝6+3第7層鋼管數為10；即：710＝7+3若用表示鋼管數，n表示層數，則可得出每一層的鋼管數為一數列，且≤n≤7）運用每一層的鋼筋數與其層數之間的對應規律建立了數列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數這會給我們的統計與計算帶來很多方便。讓同學們繼續看此圖片，是否還有其他規律可循？（啟發學生尋找規律）模型二：上下層之間的關系自上而下每一層的鋼管數都比上一層鋼管數多1。即；；依此類推：（2≤n≤7）對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項.例4.已知數列{an}的前n項和為,求。解：當n=1時,當n≥2時，2n2＋3n＋1－2（n－1）2－3（n－1）－1=4n＋1所以6(n=1)4n＋1(n≥2)說明由求要注意n=1時的情況。課堂練習：P36[練習]1、2課堂小結：本節課學習了以下內容：1．遞推公式及其用法；2．通項公式反映的是項與項數之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關系。3.理解數列的前n項和與的關系=五、課后作業P38習題A組的第4，5題B組的第1，2，3題附習題A選擇題1．已知數列的通項公式分別為：且a>b。那么兩個數列中序號與數值均相同的項的個數是()A0個B1個C2個D無窮多個2．若數列｛｝的通項公式為=則正確的結論為（）A.此數列不可以用圖象表示B.此數列的圖象只在第一象限C.此數列的圖象為直線y=3x－3D.此數列的圖象為直線y=3x－3上滿足x∈N*的點集3.數列｛｝中,若，且，則的值為（）A.9B.10C.11D.124.已知數列｛｝滿足，且，則（）A.BCD.無法確定5．在數列｛｝中，若。則數列｛｝中的最小項為（）A.B.C.和D.和6．在數列｛｝中，，，則（）A.20B.21C.22D.23二、填空題7．已知數列｛｝的前n項和,則=。8.已知數列的通項公式為=,若=-3.則n=.三、解答題9．已知數列｛｝的首項且，數列的通項公式為：。（1）求;（2）求.10.已知數列｛｝的前n項和為。求。11．數列｛｝中，（n∈N*）其中f(x)=（1）求。（2）猜想數列｛｝的一個通項公式。答案（習題A）1.（A）由,得2.（D）數列可視為定義在正整數集或其有限子集上的函數3.（C）4.（A）5.（C），當時，，但.所以當或3時，最小6.（D）7.當時，當時，，得8.,得9.（1）、因為，則，得又因為故；（2）、因為，則，又因為，得：故10.當時，；當時，所以：11.（1）.(2)猜想習題B一、選擇題1．已知數列的通項公式分別為：且a>b。那么兩個數列中序號與數值均相同的項的個數是()A0個B1個C2個D無窮多個2．若數列｛｝的通項公式為=則正確的結論為（）A.此數列不可以用圖象表示B.此數列的圖象只在第一象限C.此數列的圖象為直線y=3x－3D.此數列的圖象為直線y=3x－3上滿足x∈N*的點集3.數列｛｝中,若，且，則的值為（）A.9B.10C.11D.124.已知數列｛｝滿足，且，則（）A.BCD.無法確定5．在數列｛｝中，若。則數列｛｝中的最小項為（）A.B.C.和D.和二、填空題6．已知數列｛｝的前n項和,則=。7.已知數列的通項公式為=,若=-3.則n=.三、解答題8．已知數列｛｝的首項且，數列的通項公式為：。（1）求;（2）求.9.已知數列｛｝的前n項和為。求。10、對于任意函數，可構造一個數列發生器，其工作原理如下：（1）輸入數據，經數列發生器輸出；（2）若，則數列發生器結束工作；若，則將反饋回輸入端，在輸出，并依此規律繼續下去.現定義.（1）若輸入，則由數列發生器產生數列，請寫出數列的所有項；（2）若要數列發生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據的值.答案(習題B)1.（A）由,得2.（D）數列