2022年江蘇省南通市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.A.2xy3

B.2xy3-1

C.2xy3-siny

D.2xy3-siny-1

2.設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

3.A.A.

B.

C.

D.

4.

5.

6.

7.設z=ln(x2+y)，則等于()。A.

B.

C.

D.

8.A.x2+C

B.x2-x+C

C.2x2+x+C

D.2x2+C

9.當x→0時，3x是x的（）．

A.高階無窮小量B.等價無窮小量C.同階無窮小量，但不是等價無窮小量D.低階無窮小量

10.滑輪半徑r=0．2m，可繞水平軸O轉動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A，如圖所示。已知滑輪繞軸0的轉動規律φ=0．15t3rad，其中t單位為s，當t=2s時，輪緣上M點的速度、加速度和物體A的速度、加速度計算不正確的是()。

A.M點的速度為vM=0．36m／s

B.M點的加速度為aM=0．648m／s2

C.物體A的速度為vA=0．36m／s

D.物體A的加速度為aA=0．36m／s2

11.

12.擺動導桿機構如圖所示，已知φ=ωt(ω為常數)，O點到滑竿CD間的距離為l，則關于滑竿上銷釘A的運動參數計算有誤的是()。

A.運動方程為x=ltan∮=ltanωt

B.速度方程為

C.加速度方程

D.加速度方程

13.

A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與a有關

14.

A.2e-2x+C

B.

C.-2e-2x+C

D.

15.設z=y2x，則等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

16.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=20C.極大值f(-4,1)=-1D.極小值f(-4,1)=-1

17.

18.

19.微分方程y''-2y=ex的特解形式應設為（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

20.設函數f(x)在區間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量二、填空題(20題)21.22.

23.24.微分方程xy'=1的通解是_________。

25.

26.

27.

28.

29.30.31.

32.

33.

34.

35.y=lnx，則dy=__________。

36.37.38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

43.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．45.求曲線在點(1，3)處的切線方程．46.證明：

47.

48.求微分方程的通解．49.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則50.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．51.52.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

53.

54.

55.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．57.58.

59.

60.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．四、解答題(10題)61.

62.

63.(本題滿分10分)

64.65.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．

66.

67.

68.

69.

70.(本題滿分10分)五、高等數學(0題)71.

且k≠0則k=________。

六、解答題(0題)72.(本題滿分8分)

參考答案

1.A

2.B由導數的定義可知

可知，故應選B。

3.A

4.D解析：

5.A

6.A

7.A本題考查的知識點為偏導數的計算。由于故知應選A。

8.B本題考查的知識點為不定積分運算．

因此選B．

9.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

應依定義考察

由此可知，當x→0時，3x是x的同階無窮小量，但不是等價無窮小量，故知應選C．

本題應明確的是：考察當x→x0時無窮小量β與無窮小量α的階的關系時，要判定極限

這里是以α為“基本量”，考生要特別注意此點，才能避免錯誤．

10.B

11.D解析：

12.C

13.A

本題考查的知識點為級數絕對收斂與條件收斂的概念．

14.D

15.D本題考查的知識點為偏導數的運算．

z=y2x，若求，則需將z認定為指數函數．從而有

可知應選D．

16.D本題考查了函數的極值的知識點。

17.B

18.B

19.A由方程知，其特征方程為，r2-2=0，有兩個特征根r=±.又自由項f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可設為Aex.

20.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

21.f(x)本題考查了導數的原函數的知識點。22.本題考查的知識點為重要極限公式。

23.

24.y=lnx+C

25.

26.-2-2解析：

27.2

28.(1/3)ln3x+C29.e；本題考查的知識點為極限的運算．

注意：可以變形，化為形式的極限．但所給極限通常可以先變形：

30.2本題考查的知識點為極限的運算．

31.

本題考查的知識點為隱函數的求導．

32.坐標原點坐標原點

33.[e+∞)(注：如果寫成x≥e或(e+∞)或x＞e都可以)。[e,+∞)(注：如果寫成x≥e或(e,+∞)或x＞e都可以)。解析：

34.

35.(1/x)dx

36.1+2ln2

37.

38.

本題考查的知識點為二重積分的性質．

39.

40.4x3y

41.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

42.由二重積分物理意義知

43.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

44.

45.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

46.

47.

48.49.由等價無窮小量的定義可知50.函數的定義域為

注意

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.58.由一階線性微分方程通解公式有

59.

則

60.

列表：

說明

61.

62.

63.本題考查的知識點為求解二階線性常系數非齊次微分方程．

相應的齊次微分方程為

代入原方程可得

原方程的通解為

【解題指導】

由二階線性常系數非齊次微分方程解的結構定理可知，其通解y＝相應齊次方程的通解Y＋非齊次方程的－個特解y*．

其中Y可以通過求解特征方程得特征根而求出．而y*可以利用待定系數法求解．

64.65.相應的齊次微分方程為y"-y'-2y=0．其特征方程為r2-r-2=0．其特征根為r1=-1，r2=2．齊次方程的通解為Y=C1e-x+C2e2x．由于f(x)=3ex，1不是其特征根，設非齊次方程的特解為y*=Aex．代入原方程可得

原方程的通解為

本題考查的知識點為求解二階線性常系數非齊次微分方程．

由二階線性常系數非齊次微分方程解的結構定理可知，其通解y=相應齊次方程的通解Y+非齊次方程的一個特解y*．

其中Y可以通過求解特征方程得特征根而求出．而yq*可以利用待定系數法求解．

66.67.本題考查的知識點為求解－階線性微分方程．

將方程化為標準形式

求解一階線性微分方程常可以采用兩種解法：

解法1利用求解公式，必須先將微分方程化為標準形式y＋p(x)y＝q(x)，則