全等三角形復習題及經典文件全等三角形復習題及經典文件全等三角形復習題及經典文件第十一章全等三角形綜合復習切記：“有三個角對應相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”的兩個三角形不用然全等。例1.如圖，A,F,E,B四點共線，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求證：ACFBDE。例2.如圖，在ABC中，BE是∠ABC的均分線，ADBE，垂足為D。求證：21C。例3.如圖，在ABC中，ABBC，ABC90o。F為AB延伸線上一點，點E在BC上，BEBF，連結AE,EF和CF。求證：AECF。例4.如圖，AB//CD，AD//BC，求證：ABCD。例5.如圖，AP,CP分別是ABC外角MAC和NCA的均分線，它們交于點P。求證：BP為MBN的均分線。第1頁共10頁例6.如圖，D是ABC的邊BC上的點，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中線。求證：AC2AE。例7.如圖，在ABC中，ABAC，12，P為AD上隨意一點。求證：ABACPBPC。同步練習一、選擇題：1.能使兩個直角三角形全等的條件是( )A.兩直角邊對應相等B.一銳角對應相等C.兩銳角對應相等D.斜邊相等2.依照以下條件，能畫出唯一ABC的是()3，A30oA.AB3，BC4，CA8B.AB4，BCC.C60o，B45o，AB4D.C90o，AB63.如圖，已知12，ACAD，增加以下條件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。其中能使ABCAED的條件有()A.4個B.3個C.2個D.1個第2頁共10頁4.如圖，12，CD，AC,BD交于E點，以下不正確的選項是( )A.DAECBEB.CEDEC.DEA不全等于CBED.EAB是等腰三角形5.如圖，已知ABCD，BCAD，B23o，則D等于()A.67oB.46oC.23oD.無法確定二、填空題：6.如圖，在ABC中，C90o，ABC的均分線BD交AC于點D，且CD:AD2:3，AC10cm，則點D到AB的距離等于__________cm；7.如圖，已知ABDC，ADBC，E,F是BD上的兩點，且BEDF，若AEB100o，ADB30o，則BCF____________；8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則CBD的大小為_________；第3頁共10頁9.如圖，在等腰RtABC中，C90o，ACBC，AD均分BAC交BC于D，DEAB于E，若AB10，則BDE的周長等于____________；10.如圖，點D,E,F,B在同一條直線上，AB//CD，AE//CF，且AECF，若BD10，BF2，則EF___________；三、解答題：11.如圖，ABC為等邊三角形，點M,N分別在BC,AC上，且BMCN，AM與BN交于Q點。求AQN的度數。12.如圖，ACB90o，ACBC，D為AB上一點，AECD，BFCD，交CD延伸線于F點。求證：BFCE。第4頁共10頁第5頁共10頁答案例1.思路分析：從結論ACFBDE下手，全等條件只有ACBD；由AEBF兩邊同時減去EF獲取AFBE，又獲取一個全等條件。還缺少一個全等條件，能夠是CFDE，也能夠是AB。BDF90o，再加上AEBF，AC由條件ACCE，BDDF可得ACEBD，能夠證明ACEBDF，進而獲取AB。解答過程：QACCE，BDDFACEBDF90o在RtACE與RtBDF中AEBFQACBDRtACERtBDF(HL)ABQAEBFAEEFBFEF，即AFBE在ACF與BDE中AFBEQABACBDACFBDE(SAS)解題后的思慮：此題的分析方法實際上是“兩端湊”的思想方法：一方面從問題或結論下手，看還需要什么條件；另一方面從條件下手，看能夠得出什么結論。再比較“所需條件”和“得出結論”之間可否吻合或擁有明顯的聯系，進而得出解題思路。小結：此題不只告訴我們怎樣去搜尋全等三角形及其全等條件，而且告訴我們怎樣去分析一個題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明21C比較困難，我們能夠間接證明，即找到，證明2且1C。也能夠看作將2“轉移”到。那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將AD延伸交BC于F，則結構了△FBD，可以經過證明三角形全等來證明∠2=∠DFB，能夠由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。解答過程：延伸AD交BC于F在ABD與FBD中ABDFBDQBDBDABDFBD(ASA2DFBADBFDB90o又QDFB1C21C。解題后的思慮：由于角是軸對稱圖形，因此我們能夠利用翻折來結構或發現全等三角形。第6頁共10頁例3.思路分析：能夠利用全等三角形來證明這兩條線段相等，重點是要找到這兩個三角形。以線段AE為邊的ABE繞點B順時針旋轉90o到CBF的地址，而線段CF正好是CBF的邊，故只需證明它們全等即可。解答過程：QABC90o，F為AB延伸線上一點ABCCBF90o在ABE與CBF中ABBCQABCCBFBEBFABECBF(SAS)AECF。解題后的思慮：利用旋轉的見解，不單有利于搜尋全等三角形，而且有利于找對應邊和對應角。小結：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不簡單找到需證明的三角形。這時我們就能夠依照需要利用平移、翻折和旋轉等圖形變換的見解來搜尋或利用協助線結構全等三角形。例4.思路分析：對于四邊形我們知之甚少，經過連結四邊形的對角線，能夠把原問題轉變為全等三角形的問題。解答過程：連結ACAB//CD，AD//BC12，34在ABC與CDA中12QACCA43ABCCDA(ASA)ABCD。解題后的思慮：連結四邊形的對角線，是結構全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要證明“BP為MBN的均分線”，能夠利用點P到BM,BN的距離相等來證明，故應過點P向BM,BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“AP,CP分別是MAC和NCA的均分線”，也需要作出點P到兩外角兩邊的距離。解答過程：過P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F第7頁共10頁QAP均分MAC，PDBM于D，PEAC于EPDPEQCP均分NCA，PEAC于E，PFBN于FPEPFQPDPE，PEPFPDPFQPDPF，且PDBM于D，PFBN于FBP為MBN的均分線。解題后的思慮：題目已知中有角均分線的條件，或許有要證明角均分線的結論時，常過角均分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角均分線的性質或判斷來解答問題。例6.思路分析：要證明“AC2AE”，不如結構出一條等于2AE的線段，爾后證其等于AC。因此，延伸AE至F，使EFAE。解答過程：延伸AE至點F，使EFAE，連結DF在ABE與FDE中AEFEQAEBFEDBEDEABEFDE(SAS)BEDFQADFADBEDF，ADCBADB又QADBBADADFADCQABDF，ABCDDFDC在ADF與ADC中ADADQADFADCDFDCADFADC(SAS)AFAC又QAF2AEAC2AE。第8頁共10頁解題后的思慮：三角形中倍長中線，能夠結構全等三角形，既而得出一些線段和角相等，甚至能夠證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證ABACPBPC，不難想到利用三角形中三邊的不等關系來證明。由于結論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，進而想到結構線段ABAC。而構造ABAC能夠采用“截長”和“補短”兩種方法。解答過程：法一：在AB上截取ANAC，連結PN在APN與APC中ANACQ12APAPAPNAPC(SAS)PNPCQ在BPN中，PBPNBNPBPCABAC，即AB－AC>PB－PC。法二：延伸AC至M，使AMAB，連結PM在ABP與AMP中ABAMQ12APAPABPAMP(SAS)PBPMQ在PCM中，CMPMPCABACPBPC。第9頁共10頁解題后的思慮：當已知或求證中波及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。詳細作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再想法證明較長線段的節余線段等于其他的較短線段，稱為“截長”；或許將一條較短線段延伸，使其等于其他的較短線段，爾后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短”。小結：此題組總結了本章中常用協助線的作法，今后隨著學習的深入還要連續總結。我們不只需總結協助線的作法，還要知道協助線為什么要這樣作，這樣作有什么用途。同步練習的答案一、選擇題：1.A2.C3.B4.C5.C二、填空題：6.47.70o8.90o9.1010.6三、解答題：解：QABC為等邊三角形ABBC，ABCC60o在ABM與BCN中ABBCQABCCBMCNABMBCN(SAS)NBCBAMABQNBC60o。AQNABQBAM12.證明：QAECD，BFCDFAEC90oACECAE90oACB90oACEBCF90oCAEBCF在ACE與CBF中FAECQCAEBCFACBCACECBF(AAS)BFCE。第10頁共10