第二章數學知識基礎本章主要提供一些求解線性反演問題所需的必備數學知識。因此本章的內容既不完備也不謹慎，只是希望能從數學上對觀測數據的性質有深刻的理解。主要內容有：一、映射與模型空間

二、線性方程組求解

線性映射的基本方程是：一般說來任何實驗都只能得到有限的數據。也就是說，觀測數據在位置xj處進行采樣，因而數據公式成為：

j=1,2,…..n或

j=1,2,…..n(2.1)

為第j個數據，(y)為第j個核函數,N為觀測數據總數m(y)為模型一個基本的問題是“只知道有限個，可得到模型m(y)的什么結論？”第一節

映射與模型空間

模型空間：模型空間是所有可能函數的集合。為了對這些函數進行操作，因此要求模型空間是一個向量空間（vectorspace）。向量空間對反演問題的求解有很大的幫助。模型空間的每一個元素都是一個向量。盡管模型空間的特征與常規歐拉空間（Euclidean）一樣，但與常規歐拉空間的向量不盡相同。模型空間屬于Hilbert(希爾伯特)空間。自然模型空間的任何一個元素作為向量時都認為是特定方向上的一個點。有了方向的概念，則進一步可以有正交（Othogonality）的概念?？梢远x線性依賴關系并定義一組模型空間的正交，從而所有函數都可以寫成這些向量基的線性形式。同時也可以測量長度。為了建立向量空間，首先要定義內積和范數，前者確定兩個向量是否正交，后者確定向量的長度。

第一節

映射與模型空間設f(x)和g(x)為定義在[0，a]上的兩個函數，f和g的內積定義為：

(2.2)(f,g)是內積形式的縮寫。若內積為零，則稱兩個函數是互相垂直的。即：

N維歐拉空間兩個向量和的內積為：當=90時為垂直，此時內積函數之間的正交是非常普遍的，例如定義[0，a]上函數f(x)的Fourier表示，有下式：

（2.3）

第一節

映射與模型空間第一節

映射與模型空間函數系數在[0，a]上是正交的，即：（2.4）式中的常數不等于單位值，若為單位值，則這些函數稱為（標準）單位正交（Orthonormal）。

模（norm）模型空間里長度的概念是非常重要的，任何函數的長度可用“模”來衡量?！澳！钡倪x擇有多種，這里主要使用兩種模，即：

l1模：

（2.5）

l2模

（2.6）

顯然對于不同的模，同一個函數f(x)有不同的長度。例如定義在[0,1]上的函數f(x)=x，其l1模為1/2，l2模為。在簡介里我們提到多個可能的模型產生同樣的數據，如何選擇特定的模型呢？首先必須引入模，然后尋找具有最小或最大模并仍符合觀測數據的模型。反演問題求解的一個重要方面是對特定的問題選擇適當的模。什么是適當的模取決于我們尋找的解的性質。不同的模獲得的模型具有不同的特征，主要體現在所建立模型是否為物理參數數值最小、振蕩、平滑或分段連續。例如層狀介質的波阻抗就是分段連續的。關于這個問題的回答由研究人員根據具體的地球物理反演問題來確定。對于大多數地球物理反演問題，取決于用觀測數據所要解決的地質問題。第一節

映射與模型空間第一節

映射與模型空間與歐拉向量空間相似，n維向量空間的l1與

l2模為：（2.7）（2.8）例如向量f=(1,1,0)和g=（0，1.1414，0）的模為：可以看到盡管兩個向量的l2模是一樣的（或說能量相同），但只有一個脈沖的向量的l1模最小。這在反演地震記錄獲得對應于層狀介質模型的反射率（系數）函數時十分有用，目前地震反演中的稀疏脈沖反演就是根據l1模來編制算法的。

基（Basis）:定義內積和模以后，可在模型空間產生一組基。若基是完備的，則空間的任何函數都可用這組基的線性組合來表示。也就是說若表示第i個基函數，則任意函數f(x)可表示為：

（2.9）特例：定義在[0,a]上的任何函數都可用公式（2.3）表示。這里的基函數是簡單的正弦函數。基函數的選擇不是唯一的，有無窮多個選擇。但是最方便的基是單位正交基，即（，=1。我們來計算（2.9）所示函數與的內積，有：第一節

映射與模型空間第一節

映射與模型空間

所以有：這就是說是f(x)在基向量上的投影，或等價地說，f(x)在方向的長度，這是幾何學上內積的定義。模型函數m(x)和的內積，產生

m(x)在方向的投影。如我們的公式：

j=1….n(2.10)可知每個觀測數據都是模型m在核函數上的投影。值得注意的是模型空間的維數是無限的。這個事實可由函數的Fourier表示法（公式2.3）得知。也就是說為了唯一確定f(x)，需要無窮多個Cj，假設公式（2.10）中核函數(x)為Fourier基函數，則觀測數據就是Fourier系數。N個數據表示已知N個Fourier展開項的系數。這是試驗所提供的所有模型信息，顯然不足以確定模型函數。在此舉一個歐拉空間的例子，考慮三維空間的向量模型：，定義常規的基：實驗數據：

就像用一束光從方向照射，然后分別從，方向測量影子的長度，問題是：我們對=(m1,m2,m3)知道多少？

第一節

映射與模型空間第一節

映射與模型空間假如m1和m2是精確已知，但是不知道m3。所以，任何

=(2,3,x),，滿足觀測數據即實驗數據提供了三維空間模型在二維子空間的信息，如下圖所示：

D∥是核函數，（,,0）是拓展形成的。是形成的空間。若將模型分為兩部分：

(2.11)

式中∈D∥,

∈

則被觀測數據完全確定，而則無任何信息。實際上對該問題來說為零化子。第一節

映射與模型空間上面的問題對函數空間也同樣成立，(x)拓展成模型子空間如下圖：第二節線性方程組求解（本節內容可參考各類計算數學教材，這里不講。）第三章線性問題最小平方反演

－廣義矩陣法

線性問題可采用如下矩陣形式表示：求:其中為觀測數據，為所求的模型（本書中若不加特別說明不帶轉置符號的向量為列向量）。對于精確數據，有由于實驗誤差，Gauss（1809）指出，實際數據不能精確擬合，必然存在差值，即：

所以求唯一解的最好方法是使平方和最小，從而有：對求偏導數，并令之為零，得：合并，寫成矩陣形式為：

――正則方程

稱為非約束最小平方解，統計學上稱為的無偏估算。

注：嚴格來講，G不是方陣，通常意義下的逆并不存在，實際上是G的廣義逆（最小平方）。的計算關鍵在于的求取，可看成是一方陣，求逆的方法較多，這里主要介紹一下奇異值分解法(SVD)。(其他方法有Gramer法則，Gauss消去法，Gauss-Jordan法，LU(三角形)分解法等，請參考相關數學教材。)。設G為n*n或n*p的矩陣，(n為行數，p為列數)，其中行數表示觀測數據數目，列數表示模型參數數目。根據奇異值分解方法有：U和V為酉矩陣，滿足：

為n*p的特征向量，對應著數據空間

為p*p的特征向量，對應著模型參數空間是一的對角陣，包含最多r個G的非零特征值

()

中對角線項

()稱為G的奇異值，這個分解稱為G的奇異值（或譜）分解，簡寫成SVD。奇異值分解主要用來分析數學上的穩健――數值計算的穩定性。在地球物理反演中還能提供模型狀態及觀測數據特征信息，可進行模型解析和協方差研究。

若一個矩陣的特征值很小，則稱該矩陣為病態的。對于線性問題d=Gm，最小平方解為

用G的SVD表示上述反演方程：

因為所以說明：上式消去了中關于觀測數據空間的信息，只剩下與模型參數有關的信息。因而反演問題實際上是求取觀測數據中有關模型參數的確定信息。

所以（因為）從而也就是說（廣義逆）

得或第四章約束線性最小平方反演主要內容一、帶先驗信息的反演二、帶有平滑度措施的反演三、帶有平滑度措施反演的幾何解釋一、帶先驗信息的反演：

Dm=約束方程

D為除對角線元素外都是零的對角陣，與m作用得到包含在向量h中的m的先驗值，而希望向偏量(與無偏估算相對應)

求解過程：

lim=對m求偏導數，并令其為零，則有：

標準方程若D為單位陣，則：

約束解為：

上式為約束線性反演公式，該解稱為：偏置線性估算技術。它的主要有點是對于存在觀測誤差的超定或欠定問題，均能從無限多個（似是而非）解中獲得單一解。單但其合理性則取決于約束條件（當然合理并不意味著與實際模型一致）。例：地震數據折射數據的直線約束擬合：已知表示地震折射波至，試用直線（折射波時距曲線）來擬合旅行時與炮檢距的關系，并假定擬合必須經過點（注意“擬合必須經過點”是一個已知條件而非約束條件。反演結果不一定滿足約束條件，但必定滿足已知條件）。

解：所以：Dm-h=0其中：

所以-Lagrange算子

二、帶有平滑度措施的反演

對于有限不精確觀測數據集，最有效的反演解法是強制要求解是平滑的。對于多解性問題，尤其是具有很小奇異值（解不穩定）的反演問題，處理的基本思想是：有懷疑就平滑非唯一性問題的補救方法

1、公式化：A：期望模型參數隨位置緩慢變化，獲得物理參數上平滑的模型（顯然各模型參數應屬于同一類物理屬性），則選擇相鄰兩個參數模型之間差最?。?/p>

D為(l=p-1)階，h為維。B：模型參數不隨位置緩慢變化：

這實際上是無已知條件的偏置估算形式，但可有效的衰減解的長度，從而得到穩定的反演過程。這樣原反演問題變成了約束反演問題，相當于增加了下式的平方度量約束：

（解的平方度）

平方度量的加入，使得多解性反演問題變成在不完整、不一致、不充足的觀測數據條件下，在所有解中，根據找出最平滑的解。

從數學上講，等效于在或更廣義的下求的極小值，式中H=為最大允許剩余錯配值。小結為：2、求解對求導有：

標準方程

A，最平滑解：(D為一階差分算子)

B，D=I時有：

實際上就是所共知的阻尼最小平方解，這與下面的C在數學上是一致的。C，在矩陣的本征值上附加了一個正的常數，用于改善反演條件(Marquaudt(1970)解法)?；仡櫡羌s束最小平方解：即對角矩陣用置換，這樣的結果與B的情況稍有不同。

而阻尼最小平方法，可解的在本征值上加一個小偏差

已知G=，對應的最小平方解為：

又

從而

從而產生約束解為：

注意上面的推導并沒有在向量d中添加任何零值，因此，c與a，b稍有差別，在應用上，前面的算法，a，b更有適應性，因為c要求出。但在結果分析中c更清晰。

3.帶有平滑度措施反演的幾何解釋：

用下圖表示和，圖中等值線為常數和的l維超平面，和的約束條件的解就在和兩條線的相切點C。值的選取非常重要，當然也很重要。由于是不定的，一般計算出多個的方法選擇一個解。

的結果，再用統計ABCC’q1=q0q1=qTq1=aq2=rq2=r’圖在函數空間中求解軌跡的二維示意圖本章回顧：－觀測數據－n×p的矩陣，由核函數離散而來（稱為設計矩陣或數據核）－模型參量精確解：

非約束最小平方解：（或稱無偏估算）增加約束方程有：

式中若，則為約束線性最小平方解法，使向偏置;若為一階差分算子，即h=[00….0]的轉置矩陣則為最平滑解，若D=I，h=[0]，則(最小平方解)

即為阻尼最小平方解對于Marquaudt解，在本征值上加一個小偏差G=

從而

從而：產生約束解為：

最小二乘法

第五章

線性反演誤差分析實驗誤差是如何轉換成模型誤差的？根據統計結果來分析，反演理論不僅提供了參數估計，還討論反演用的“優度”。

主要內容一、觀測誤差的處理二、擬合優度三、參數解析矩陣

四、參數估算的誤差邊界

一、觀測誤差的處理假定n個標準數據誤差，是零均值的高斯分布，并且是統計獨立的，則定義一個的對角加權矩陣W則約束反演問題成為：

一、觀測誤差的處理當D＝I時，

（式中僅為一個值）當然對于

，最好采用待定因子的對角矩陣。式中，用，則與Bayesian估算形式相當。注：B和為對角陣，轉置與本身相等，左乘與右乘相等。

二、擬合優度1、若觀測數據相對于它的期望值呈正態分布，并已知其有不確定性（實驗誤差），則由下式定義的統計參數q評估觀測數據與期望數據之間的擬合度：

j＝1,p

或加權簡化為：對于n個獨立的觀測值和p個獨立的參數，q具有呈分布且具有（n－p）度自由度。二、擬合優度q的期望值是n（統計特性），根據q值來確定一個模型是可接受或排除：若q滿足2、若實驗誤差不可知，無偏差估計的由下式給出：則解的優度的另一種預測方法為：二、擬合優度對于加權解有：

此時的期望值為“1.0”。3、具有個獨立約束方程解的自由度為：，并用來代替前面的

三、參數解析矩陣1、非約束解（最小平方）：用

表示：把括號里的量用表示，在估算中用作廣義逆，右乘設計矩陣（或數據核）得解析矩陣：即解唯一確定（精確）。：三、參數解析矩陣

的維數為（r為問題的非零本征值數目）。若，則所有模型參數都被唯一確定。中的行與單位矩陣行的偏差一般認為是有關模型參數解的優劣尺度。2、阻尼解：

所以解不可能是完美的解。

三、參數解析矩陣3、帶先驗的數據反演

或用分塊矩陣（增廣矩陣）：則。(為增廣矩陣的分量)。

因此這個解也是完美的，雖然在形式上與相類似。但增加的數據約束可能是某種程度的虛假信息。四、參數估算的誤差邊界

<1>參數協方差矩陣

利用協方差矩陣將數據誤差轉換成參數（模型）誤差（Menke，1984）設最小平方解為－反演中使用的廣義逆（算子）。即是的模中線性變換。則的數學期望為：

假設試驗數據互不相關，且具有等方差，則根據誤差傳遞規律，有：因為，所以上式成立。對marquardt型阻尼最小平方解：協方差矩陣為：

四、參數估算的誤差邊界四、參數估算的誤差邊界對于約束解（