第3章現代時間序列計量經濟學模型

本章說明關于經典的平穩時間序列分析模型，即自回歸模型（AR）、移動平均模型（MA）、自回歸移動平均模型（ARMA）等，在一般的中級計量經濟學教科書或者經典的時間序列分析教科書中，都有詳細的介紹，本章將不予涉及。本章所討論的，主要是非平穩時間序列。重點是單位根檢驗、協整檢驗和誤差修正模型。向量自回歸模型（VAR）已經成為一類廣泛應用的現代時間序列分析模型，本章將進行簡單的介紹。

§3.1時間序列平穩性和單位根檢驗一、時間序列的平穩性二、單整序列三、單位根檢驗四、趨勢平穩與差分平穩隨機過程五、結構變化時間序列的單位根檢驗一、時間序列的平穩性

StationaryTimeSeries⒈問題的提出經典計量經濟模型常用到的數據有：時間序列數據（time-seriesdata)；截面數據(cross-sectionaldata)平行/面板數據（paneldata/time-seriescross-sectiondata)

時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據。經典回歸分析暗含著一個重要假設：數據是平穩的。數據非平穩，大樣本下的統計推斷基礎——“一致性”要求——被破懷。數據非平穩，往往導致出現“虛假回歸”（SpuriousRegression）問題。表現為兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性。例如：如果有兩列時間序列數據表現出一致的變化趨勢（非平穩的），即使它們沒有任何有意義的關系，但進行回歸也可表現出較高的可決系數。2、平穩性的定義假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochasticprocess）生成的，即假定時間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：均值E(Xt)=是與時間t無關的常數；方差Var(Xt)=2是與時間t無關的常數；協方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數；則稱該隨機時間序列是平穩的（stationary)，而該隨機過程是一平穩隨機過程（stationarystochasticprocess）。寬平穩、廣義平穩白噪聲（whitenoise）過程是平穩的：Xt=t，t~N(0,2)隨機游走（randomwalk）過程是非平穩的：

Xt=Xt-1+t，t~N(0,2)Var(Xt)=t2隨機游走的一階差分（firstdifference）是平穩的：Xt=Xt-Xt-1=t，t~N(0,2)如果一個時間序列是非平穩的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩序列。二、單整序列

IntegratedSeries如果一個時間序列經過一次差分變成平穩的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變成平穩序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。I(0)代表一平穩時間序列。現實經濟生活活中只有少數數經濟指標的的時間序列表表現為平穩的的，如利率等等;大多數指標的的時間序列是是非平穩的，，例如，以當當年價表示的的消費額、收收入等常是2階單整的，，以不變價格格表示的消費費額、收入等等常表現為1階單整。大多數非平穩穩的時間序列列一般可通過過一次或多次次差分的形式式變為平穩的的。但也有一些時時間序列，無無論經過多少少次差分，都都不能變為平平穩的。這種種序列被稱為為非單整的（non-integrated）。三、平穩性的的單位根檢驗驗（unitroottest）1、DF檢驗驗（Dicky-FullerTest）通過上式判斷斷Xt是否有有單位根,就就是時間序列列平穩性的單位根檢驗。隨機游走，非非平穩對該式回歸，，如果確實發發現ρ=1，則稱隨機變變量Xt有一一個單位根。等價于通過該該式判斷是否否存在δ=0。一般檢驗模型型零假設H0：=0備擇假設H1：<0可通過OLS法下的t檢檢驗完成。但是:在零假設（序序列非平穩））下，即使在在大樣本下t統計量也是是有偏誤的（（向下偏倚）），通常的t檢驗無法法使用。Dicky和和Fuller于1976年提出了了這一情形下下t統計量服服從的分布（（這時的t統統計量稱為統計量），即DF分布。由于t統計量量的向下偏倚倚性，它呈現現圍繞小于零零均值的偏態態分布。如果t<臨界界值，則拒絕絕零假設H0：=0，認為時時間序列不存存在單位根，，是平穩的。。單尾檢驗2、ADF檢檢驗（AugmentDickey-Fullertest）為什么將DF檢驗擴展為為ADF檢驗驗？DF檢驗假定定時間序列是是由具有白噪噪聲隨機誤差差項的一階自自回歸過程AR(1)生生成的。但在在實際檢驗中中，時間序列列可能由更高高階的自回歸歸過程生成，，或者隨機誤誤差項并非是是白噪聲，用用OLS法進進行估計均會會表現出隨機機誤差項出現現自相關，導導致DF檢驗驗無效。如果時間序列列含有明顯的的隨時間變化化的某種趨勢勢（如上升或或下降），也也容易導致DF檢驗中的的自相關隨機機誤差項問題題。ADF檢驗模模型零假設H0：=0備擇假設H1：<0模型1模型2模型3檢驗過程實際檢驗時從從模型3開始，然后模模型2、模型1。何時檢驗拒絕絕零假設，即即原序列不存存在單位根，，為平穩序列列，何時停止止檢驗。否則，就要繼繼續檢驗，直直到檢驗完模模型1為止。檢驗原理與DF檢驗相同，只只是對模型1、2、3進行檢驗時，，有各自相應應的臨界值表表。檢驗模型滯后后項階數的確確定：以隨機項不存存在序列相關關為準則。一個簡單的檢檢驗過程：同時估計出上上述三個模型型的適當形式式，然后通過過ADF臨界界值表檢驗零零假設H0：：=0。只要其中有一一個模型的檢檢驗結果拒絕絕了零假設，，就可以認為為時間序列是是平穩的；當三個模型的的檢驗結果都都不能拒絕零零假設時，則則認為時間序序列是非平穩穩的。3、例題演示示檢驗1978~2006年間中國實實際支出法國國內生產總值值GDPC時時間序列的平平穩性。ADF檢驗在在Eviews中的實現現ADF檢驗在在Eviews中的實現現檢驗GDPC，模型3檢驗GDPC，模型3從GDPC(-1)的參參數值看，其其t統計量的的值大于臨界界值，不能拒拒絕存在單位位根的零假設設。同時，由由于時間項T的t統計量量也小于ADF分布表中中的臨界值，，因此不能拒拒絕不存在趨趨勢項的零假假設。需進一一步檢驗模型型2。檢驗GDPC，，模型2檢驗GDPC，，模型2從GDPC(-1)的的參數值值看，其其t統計計量的值值大于臨臨界值，，不能拒拒絕存在在單位根根的零假假設。同同時，由由于常數數項的t統計量量也小于于ADF分布表表中的臨臨界值，，因此不不能拒絕絕不存在在趨勢項項的零假假設。需需進一步步檢驗模模型1。。檢驗GDPC，，模型1檢驗GDPC，，模型1從GDPC(-1)的的參數值值看，其其t統計計量的值值大于臨臨界值，，不能拒拒絕存在在單位根根的零假假設。至此，可可斷定中中國實際際支出法法GDP時間序序列是非非平穩的的。如果果僅需要要檢驗該該時間序序列是否否是平穩穩的，檢檢驗到此此結束。。如果需要要檢驗該該時間序序列的單單整性，，即它是是多少階階的單整整序列，，則需要要對其一一次差分分序列、、二次差差分序列列等進行行單位根根檢驗。。檢驗ΔGDPC，模型型3檢驗ΔGDPC，模型型3從△GDPC(-1)的參數數值看，，其t統統計量的的值大于于臨界值值，不能能拒絕存存在單位位根的零零假設。。同時，，由于時時間項項項T的t統計量量也小于于AFD分布表表中的臨臨界值，，因此不不能拒絕絕不存在在趨勢項項的零假假設。需需進一步步檢驗模模型2。。檢驗ΔGDPC，模型型2從△GDPC(-1)的參數數值看，，其統計計量的值值大于臨臨界值，，不能拒拒絕存在在單位根根的零假假設。同同時，由由于常數數項的t統計量量也小于于AFD分布表表中的臨臨界值，，因此不不能拒絕絕不存在在趨勢項項的零假假設。需需進一步步檢驗模模型1。。檢驗ΔGDPC，模型型1從△GDPC(-1)的參數數值看，，其統計計量的值值大于臨臨界值（（單尾）），不能能拒絕存存在單位位根的零零假設。。至此，，可斷定定△GDPC時時間序列列是非平平穩的。。檢驗Δ（（ΔGDPC）），模型型3檢驗Δ（（ΔGDPC）），模型型3檢驗Δ（（ΔGDPC）），模型型2檢驗Δ（（ΔGDPC）），模型型1從△2GDPC(-1)的參參數值看看，其t統計量量的值小小于臨界界值，拒拒絕存在在單位根根的零假假設。至至此，可可斷定△△2GDPC時間序序列是平平穩的。。GDPC是I(2)過過程。4、關于于ADF檢驗的的幾點討討論關于檢驗驗模型中中滯后項項的確定定模型（1）、（（2）、、（3））中都含含有滯后后項，其其目的是是為了消消除模型型隨機項項的序列列相關，，保證隨隨機項是是白噪聲聲。一般采用用LM檢檢驗確定定滯后階階數，以以及其它它數據依依賴方法法。關于檢驗驗模型中中滯后項項的確定定當采用一一些應用用軟件（（例如Eviews））進行ADF檢檢驗時，，可以自自動得到到滯后階階數，使使得估計計過程更更加簡單單。但是，在在軟件中中一般采采用信息息準則（（例如AIC、、BIC等）確確定滯后后階數，，其明顯顯的缺點點是無法法判斷滯滯后階數數不連續續的情況況，例如如只存在在1階和和3階而而不存在在2階相相關的情情況。另外，從從理論上上講，信信息準則則主要是是基于預預測的均均方誤差差最小，，但對于于單位根根檢驗而而言重要要的是消消除序列列之間的的相關性性。關于檢驗驗模型中中滯后項項的確定定過高定階階和過低低定階對對單位根根檢驗有有著不對對稱的影影響。過高定階階意味著著自相關關已經消消除，但但含有冗冗余回歸歸元，因因此不會會影響檢檢驗的尺尺度(size)，但但會影響響檢驗的的勢，Monte-Carlo試驗驗證實這這種勢的的降低并并不強烈烈。過低定階階意味著著自相關關還沒有有消除，，因此t統計量量的分布布形態將將會發生生改變，，檢驗的的尺度和和勢（power）都都會發生生扭曲。。由于信息息準則相相對于檢檢驗序列列相關的的數據依依賴方法法一般傾傾向于過過低定階階，因此此其在單單位根檢檢驗中的的表現差差于數據據依賴方方法。如何處理理檢驗過過程中的的矛盾現現象？對于模型型（3）），如果果檢驗顯顯示既不不拒絕零零假設：：δ=0，也不不拒絕零零假設：：β=0，既然然就要檢檢驗模型型（2））。如果檢驗驗顯示不不拒絕零零假設：：δ=0，但是是拒絕零零假設：：β=0，，那么回回到模型型（2））是不合合理的。。這就出出現了矛矛盾。一種經驗驗的處理理方法是是采用正正態分布布臨界值值檢驗是是否存在在單位根根，即將將臨界值值適當放放松，如如果仍然然存在單單位根，，即停止止檢驗，，得到該該時間序序列非平平穩的結結論。關于ADF檢驗模型型的進一步步說明如果時間序序列具有明明顯的趨勢勢，則應該該用模型3檢驗；如果時間序序列沒有時時間趨勢，，但繞著一一個非0值值來回游擺擺，則應該該用2模型型；如果時間序序列繞著0來回游擺擺，則應該該用1模型型。如果時間序序列沒有很很明顯的上上述特征，，則應該是是遵循從3到1的檢檢驗順序。。5、其它單單位根檢驗驗方法簡介介PP檢驗（（Phillips-Perron））檢驗模型中中不引入滯滯后項，以以避免自由由度損失降降低檢驗效效力。直接采用Newey-West一致估估計式作為為調整因子子，修正一一階自回歸歸模型得出出的統計量量。一種非參數數檢驗方法法霍爾工具變變量方法用工具變量量法估計ADF檢驗驗模型。用Xt-k和ΔXt-i-k作為yt-1和ΔXt-i的工具變量量。檢驗統計量量仍然服從從ADF分分布。DF-GLS方法法（Elliott,Rothenberg,Stock,ERS）去勢（趨勢勢、均值））。對去勢后的的序列進行行ADF型型檢驗。采用GLS估計檢驗驗模型。證明具有更更良好的性性質。KPSS方方法（Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin）檢驗趨勢平平穩非參數檢驗驗方法其它方法LMC(Leybourne,McCabe)Ng-PerronEviews中提提供的檢驗驗方法四、趨勢平平穩與差分分平穩隨機機過程考慮如下的的含有一階階自回歸的的隨機過程程：ρ=1β=0ρ=0β≠0判斷一個非非平穩時間間序列的趨趨勢是隨機機性的還是是確定性的的，可通過過ADF檢檢驗中所用用的模型（（3）進行行。如果檢驗結結果表明所所給時間序序列有單位位根，且時時間變量前前的參數顯顯著為零，，則該序列列顯示出隨隨機性趨勢勢；如果沒沒有單位根根，且時間間變量前的的參數顯著著地異于零零，則該序序列顯示出出確定性趨趨勢。確定性趨勢勢隨機性趨勢勢隨機性趨勢勢可通過差差分的方法法消除，，該時間序序列Xt稱為差分平穩過過程（differencestationaryprocess））；確定性趨勢勢無法通過過差分的方方法消除，，只能通過過除去趨勢勢項消除，，該時間序序列Xt稱為趨勢平穩過過程（trendstationaryprocess）。五、結構變變化時間序序列的單位位根檢驗說明現代時間序序列分析的的一個前沿沿研究領域域。文獻龐雜。。只介紹幾種種實用的檢檢驗方法。。1、隨機時時間序列的的結構變化化3種基本突突變類型存在水平(level)突變變；存在傾斜(slope)突變變；存在水平和和傾斜突變變。擴展突變類類型2個及多個個斷點。2、ZA檢驗概述ZivotandAndrews(1992)提出出。以原序列是是一個單位位根過程為為零假設。。備擇假設有有三種：原序列是一一個存在水水平(level)突變的趨趨勢平穩過過程；原序列是一一個存在傾傾斜(slope)突變的趨趨勢平穩過過程；原序列是一一個存在水水平和傾斜斜突變的趨趨勢平穩過過程。檢驗模型：：對應于三個個不同的備備擇假設，，ZA檢驗驗有三個不不同的模型型（依次為為模型A、、B、C））：檢驗步驟ZA檢驗采采用迭代的的方法偵察察斷點。在給定的迭迭代區間內內，依次假假定每一個個點為斷點點，逐次進進行回歸得得到tρ序列；找到該序列列的最小值值，即是關關鍵統計量量的值；用該統計量量值與相應應的臨界值值進行比較較，作出判判斷。關于迭代區間間的選擇：ZivotandAndrews(1992)：除樣樣本的兩個端端點以外的任任何區間Perron(1997)：即使包包含樣本端點點也是可以的的。ZA檢驗t統統計量的分布布DUt、DTt類似于時間勢勢的加入，會會影響到統計計量的分布形形態，因此ZA檢驗t統統計量的分布布形態與通常常單位根檢驗驗的分布形態態不一樣。關于ZA檢驗驗t統計量的的分布形態，，各個模型并并不一樣。相關的文獻中中模擬了各個個統計量分布布表。ZA統計量的的漸進分布3、LP檢驗檢驗模型LumsdaimeandPapell(1996)將ZivotandAndrews(1992)的的模型A和模模型C推廣到到兩個斷點。。得到了3個模模型，依次分分別稱之為模模型AA、模模型AC、模模型CC。檢驗步驟LP檢驗對斷斷點的偵察采采用的是與ZA檢驗完全全相同的方法法，即在給定定的迭代區間間內，依次假定定每兩個不相相鄰點為斷點點，逐次進行行回歸得到tρ序列，然后找找到該序列的的最小值，此此最小值就是是關鍵統計量量的值。統計量的分布布9、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業業貧。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。14:51:0914:51:0914:511/1/20232:51:09PM11、以我獨沈沈久，愧君君相見頻。。。1月-2314:51:0914:51Jan-2301-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。14:51:0914:51:0914:51Sunday,January1,202313、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。1月-231月-2314:51:0914:51:09January1,202314、他鄉生生白發，，舊國見見青山。。。01一一月20232:51:09下午午14:51:091月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。。一月232:51下下午午1月-2314:51January1,202316、行動出出成果，，工作出出財富。。。2023/1/114:51:0914:51:0901January202317、做前，，能夠環環視四周周；做時時，你只只能或者者最好沿沿著以腳腳為起點點的射線線向前。。。2:51:09下午午2:51下午午14:51:091月-239、沒沒有有失失敗敗，，只只有有暫暫時時停停止止成成功功！！。。1月月-231月月-23Sunday,January1,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結結果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒沒有有。。。。14:51:0914:51:0914:511/1/20232:51:09PM11、成功功就是是日復復一日日那一一點點點小小小努力力的積積累。。。1月-2314:51:0914:51Jan-2301-Jan-2312、世間成事，，不求其絕對對圓滿，留一一份不足，可可得無限完美美。。14:51:0914:51:0914:51Sunday,January1,202313、不不知知香香積積寺寺，，數數里里入入云云峰峰。。。。1月月-231月月-2314:51:0914:51:09January1,202314、意志堅強的的人能把世界界放在手中像像泥塊一樣任任意揉捏。01一月20232:51:09下午14:51:091月-2315、楚塞三湘接接，荊門九派派通。。。一月232:51下下午1月-2314:51January1,202316、少少年年十十五五二二十十時時，，步步行