會計學1第二節換元積分法定理1設u=φ(x)在區間[a,b]上可導,g(u)在[α.β]上有原函數G(u),則不定積分存在,且證明:用復合函數的求導法則，驗證第1頁/共39頁

第一換元積分法(湊元法)的關鍵是把f(x)dx湊成g(φ(x))φ’(x)dx如何湊?這是一個技巧性很強的工作，要求我們熟練掌握基本積分公式。在解題前需要一些三角函數的恒等變換,分子分母的有理化,分子加減某項等方法.但不同的方法得到積分的結果往往不相同,我們可通過求導可知道它們是否同一被積函數.

“湊”的方法：通常把較復雜的函數看成g(φ(x))第2頁/共39頁例1例2的積分，對于形如當m,n中有一個為奇數時，總可以用這個方法處理.第3頁/共39頁例3例4例5第4頁/共39頁(1)關于自變量是線性形式,例如(2)被積函數可寫成常見的湊元法有以下幾種情況:的形式，例如第5頁/共39頁(3)被積函數可寫成f(xn)xn-1

的形式,例如(4)被積函數可寫成g(xn)x2n-1

的形式,例如(5)被積函數可寫成f(sinx)cosx或f(cosx)sinx的形式,例如第6頁/共39頁(6)被積函數可寫成(7)利用三角函數公式,常用的三角形式:①倍角公式②積化和差公式的形式,例如第7頁/共39頁此外，常用的三角公式還有sec2x=1+tg2

x等例如第8頁/共39頁第9頁/共39頁例6第10頁/共39頁例7例8第11頁/共39頁例9例10第12頁/共39頁例11例12例13第13頁/共39頁例14例15第14頁/共39頁例16第15頁/共39頁二、第二換元法

定理設x=ψ(t)是單調,可導的函數,并且ψ’(t)≠0,又設f(ψ(t))ψ’(t)具有原函數φ(t),則有換元公式成立，其中是x=ψ(t)的反函數.第16頁/共39頁證明:第17頁/共39頁公式成立是有條件的.1)等號右邊的不定積分或原函數要存在,且容易積分.2)求出后要用反函數代回原變量.單調性是保證反函數的存在.常用的變量代換有下列四種類型：第18頁/共39頁

利用三角函數進行代換,可以使被積函數簡單

當被積函數含有平方和或平方差的二次根式時,根據恰當的三角恒等式作三角代換.例如對1、三角代換第19頁/共39頁例1求解:第20頁/共39頁例2求解:第21頁/共39頁第22頁/共39頁例3求第23頁/共39頁把x>a及x<-a的結合起來,我們得到第24頁/共39頁從上面的例子可看出:可作代換x=asint化去根式;，如果被積函數含有，可作代換x=atant化去根式;如果被積函數含有如果被積函數含有，可作代換x=±asect化去根式;但具體解題時要分析被積函數的具體情況,選取盡可能簡捷的代換.例如第25頁/共39頁

當被積函數是三角有理式時,作“萬能”代換,將被積函數有理化.第26頁/共39頁例4求第27頁/共39頁還有一部分采用反三角函數代換，例如tx1第28頁/共39頁例5求2、根式代換目的是將無理數變成有理數,便于積分第29頁/共39頁例6求3、倒數代換第30頁/共39頁第31頁/共39頁，應用雙曲代換例7求4、雙曲代換當被積函數含有根號第32頁/共39頁時有類似的結果,綜合得到第33頁/共39頁

下面的積分在今后的計算中常會遇到,我們可把它們作為積分公式處理.第34頁/共39頁例8求解: