§8-7離散時間序列的傅里葉變換

傅里葉變換：傅里葉反變換：1、離散系列傅里葉級數或離散序列傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform,DTFT）

2、離散時間序列的頻譜圖

3、離散序列傅里葉變換性質一、離散序列傅里葉變換DTFT公式c是一個包圍z平面原點的閉合路徑假設F(z)的收斂區間包括單位圓

可以令c等于單位圓

一、離散序列傅里葉變換DTFT公式正變換反變換DTFT存在的充分必要條件是F(z)的收斂區間包含單位圓。

頻譜密度函數例1：求離散序列的傅里葉變換。

解：

|z|>10<|z|或者：二、離散時間序列的頻譜圖

|F(ej)|幅頻特性曲線

()相頻特性曲線

周期為2的函數F(ej)|是一個周期等于2的函數三、離散序列傅里葉變換性質練習：對連續信號進行時域離散化得到離散樣本序列，間隔試畫出該離散序列的頻譜圖。8-84(一)系統函數零狀態線性E(z)Y(z)H(z)的計算§8-8離散時間系統頻率響應1系統極零圖的描述極(零)點或為實數出現或為共軛的復數成對出現2H(z)與時域響應3H(z)與因果系統穩定性極點都在單位圓的內部，或D(z)=0的特征根的模小于1；

（二）離散時間系統頻率響應一、定義H(jw)=FT{h(t)}離散系統的頻響：系統對復正弦信號ejwk的響應仍然是同頻率的復正弦信號ejwk

，其相位和幅度有所變化；例1

某二階系統由差分方程

試求其幅頻和相頻特性。

解：

例1

某二階系統由差分方程

試求其幅頻和相頻特性。

例1

某二階系統由差分方程

試求其幅頻和相頻特性。

求激勵序列為例2：已知的響應H(z)H(z)H(-1)=32/3穩態響應序列

例3

某二階系統的差分方程

試求響應。

無法用z變換進行分析

解：e(t)=1,w1=0r0=20r1=0r(t)=20二、系統的頻率響應的幾何確定靠近單位圓周的極點附近有尖峰（1）z=0處的零極點對幅頻特性|H(ejw)|沒有影響，只對相位有影響；（2）當z=0旋轉某個極點pi

附近時，例如在同一半徑上時，Bi較短，則|H(ejw)|在該點應當出現一個峰值，Bi越短，pi附近越尖銳。若pi落在單位圓上，則Bi=0，則pi

處的峰值趨于無窮大；（3）對于零點則其作用與極點的作用正好相反。三、頻響曲線的特點4、離散時間系統中，同樣有低通濾波器、高通濾波器以及帶通濾波器等。只不過這時候的頻率只考慮在-<<頻率范圍內。1、幅頻響應是頻率的偶函數，相頻響應是頻率的奇函數；3、幅頻響應函數和相頻響應函數都是頻率w的周期性函數，周期頻率為s=2；2、幅頻響應和相頻響應是頻率w的連續函數；四、幾種特殊的離散時間系統：低通、高通、帶通、帶阻全通系統最小相位系統最小相位系統：極零點全部在單位圓內。全通系統：對任意頻率的離散正弦時間信號都有相同的幅頻響應，除了在z=0處的極點外，其余的極點和零點關于單位圓鏡像對稱（即兩者相角相等，幅度互為倒數,或）全通m=n;2)§8-9離散時間系統與連續時間系統變換域分析法的比較1、s平面和z平面

2、收斂域

拉普拉斯變換中的收斂區間的邊界一般是一條平行與虛軸的直線z變換中的收斂區邊界則往往是一個以原點為圓心的圓

Re[s]Im[s]Re[z]Im[z]3、反變換

s平面中是沿著收斂區間中的一條平行于虛軸的直線進行的線積分

z平面中這時沿著收斂域中一個閉合路徑作圍線積分

部分分式分解法

4、變換域中的系統函數

H(s)H(z)穩定的連續因果系統的極點出現在s平面虛軸以左的半個平面中

穩定的離散時間因果系統的極點出現在z平面單位圓內

羅斯霍維斯準則

5、因果性6、傅里葉變換

離散：傅里葉變換則是z變換在單位圓上的特例。

連續：傅里葉變換可以看成是拉普拉斯變換在虛軸上的特例；s=jw連：h(t)是右邊（有始）信號——>維納.佩利準則離：h(k)是右邊（有始）序列——>m<=n7、頻率響應

連續：H(jw)=|H(jw)|ej()離散：H(z)1、非周期的連續時間信號的頻譜是連續頻率的非周期函數；

F(jω)=F{f(t)}即f(t)的付立葉變換4、周期的離散時間信號的頻譜是離散頻率的周期函數；3、非周期的離散時間信號的頻譜是連續頻率的周期函數；8、信號與頻譜2、周期連續時間信號的頻譜是離散頻率的非周期函數；

一個域的非周期性對應于另一個域的連續性；8、信號與頻譜結論：信號的兩個域：時域與頻域一個域的周期性對應于另一個域的離散性；已知某離散系統的差分方程為

例1：其初始狀態為

求：1）零輸入響應yzi(k)、零狀態響應yzs(k)及全響應y(k)；2）指出其中的自由響應分量和受迫響應分量；3）判斷該系統的穩定性。激勵：系統臨界穩定。

3）系統的特征根為1=0.5（單位圓內），2=1（單位圓上）解：特征根為1=0.5，2=1解：特征根為1=0.5，2=11）

yzi(k)=C10.5k+C2；C1=2，C2=2零輸入響應：yzi(k)=(220.5k)(k)Yzs(z)=H(z)E(z)=零狀態響應：yzs(k)=(0.5k+k1)(k)

全響應：y(k)=(1+k0.5k)(k)

全響應＝零輸入響應＋零狀態響應已知某離散系統的差分方程為

例1：其初始狀態為

激勵：2）零輸入響應：yzi(k)=(220.5k)(k)零狀態響應：yzs(k)=(0.5k+k1)(k)

全響應：y(k)=(1+k0.5k)(k)

已知某離散系統的差分方程為

例1：其初始狀態為

激勵：1）自由響應：(10.5k)(k)受迫響應：k(k)，嚴格地說是混合響應。例2已知某離散時間系統的單位函數響應

2）畫出該系統的框圖。1）求其系統函數H(z)；解一：1）系統函數為：

h(k)={1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,…}k=0=1z-2+z-4

z-6+z-8

z-10+……已知某離散時間系統的單位函數響應

2）

畫出該系統的框圖。1）求其系統函數H(z)；=(1z-2)(1+z-4+z-8+……)=例2解二：2）y(k+2)+y(k)=x(k+2)已知某離散時間系統的單位函數響應

2）

畫出該系統的框圖。1）求其系統函數H(z)；例2解：X

(z)Y(z)z-1∑z-1-x(k)y(k)D∑D-1）3)求其幅頻響解答：例3、已知某離散時間因果系統的極點為p1=0.7和p2=0.9零點的位置不詳。其單位函數響應為

（1）求該系統的系統函數，（2）并作出其模擬框圖。

h(k)=(k)+(C10.7k-1+C20.9k-1)(k-1)h(1)=2,h(2)=1.6h(k)=(k)+(0.7k-1+0.9k-1)(k-1)（1）求該系統的系統函數C1=C2=1解答：例3、已知某離散時間因果系統的極點為p1=0.7和p2=0.9零點的位置不詳。其單位函數響應為

（1）求該系統的系統函數，（2）并作出其模擬框圖。

（2）并作出其模擬框圖∑1.6-0.63∑0.4-0.97Y(z)E(z)例4、已知離散系統差分方程為：

求：y(k+2)+0.4y(k+1)-0.32y(k)=e(k+2)+e(k+1)2）分析系統是否穩定？3）求h(k)1）系統函數H(z);解答：1）系統函數H(z)2）穩定3）練習一:

已知離散因果系統的數學模型為

y(k)-0.25y(k-2)=2e(k)-4e(k-1)+2e(k-2)1、作出該系統的模擬框圖；2、若y(-1)=3，y(-2)=2時，全響應y(k